新教材高中数学第八章立体几何初步8-3-1棱柱棱锥棱台的表面积和体积同步课件新人教A版必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

必备知识·自主学习1.棱柱、棱锥、棱台的高导思1.什么是棱柱、棱锥、棱台的高?2.怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积?棱柱的高两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,___________(垂线与底面的交点)之间的距离.棱锥的高从顶点向底面作垂线,___________之间的距离.棱台的高两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,___________之间的距离.这点与垂足顶点与垂足这点与垂足2.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的_______.面积和【思考】棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等?提示:是.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小.常把多面体展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积.3.棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱:棱柱的底面面积为S,高为h,则V=___.棱锥:棱锥的底面面积为S,高为h,则V=_______.棱台:棱台的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,则V=_________________.Sh【思考】棱柱、棱锥、棱台的体积之间有什么关系?提示:棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系可以理解为:【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)锥体的体积是等底等高的柱体体积的. (

)(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. (

)(3)多面体无论从哪条棱展开,展开图都是一样的. (

)提示:(1)√.由锥体、柱体的体积公式可得.(2)×.是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.(3)×.展开图不一定相同,但面积相等.2.已知一个正三棱柱的底面边长为,且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为 (

)

【解析】选D.因为正三棱柱的底面边长为,所以底面面积为S=高与侧棱长相等为2,所以该正三棱柱的体积为V=3.(教材二次开发:例题改编)已知一个多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该多面体的体积V= (

)

A.1+ B.1 C. D.1+3.(教材二次开发:例题改编)已知一个多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该多面体的体积V= (

)

A.1+ B.1 C. D.1+【解析】选A.几何体如图:下部分是正方体,棱长为1,

上部分是正四棱锥,高为,所以该多面体的体积V=1×1×1+×1×1×=1+.关键能力·合作学习类型一棱柱、棱锥、棱台的表面积(数学运算)【题组训练】1.(2020·南京高一检测)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为 (

)

A.80 B.240 C.320 D.6402.(2020·武汉高一检测)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为 (

)A.4 B. C.2 D.43.(2020·赣州高一检测)已知正六棱柱的高为2,底面边长为1,则该正六棱柱的表面积为

.

【解析】1.选B.作出一个侧面等腰梯形的高,也是棱台的斜高,则由等腰梯形的性质,可得斜高h′==8.再用棱台侧面积公式,得棱台的侧面积为S侧=×(4+16)×8×3=240.2.选B.设长方体的长,宽,高分别为x,y,z,则可得体对角线的长为3.正六棱柱的高为2,底面边长为1,所以正六棱柱的底由6个全等的等边三角形构成.则正六棱柱的侧面积为S侧=6×1×2=12,正六棱柱的底面积为S底=2×6××1×1×sin所以正六棱柱的表面积为S表=12+3.答案:12+32.选B.设长方体的长,宽,高分别为x,y,z,则可得体对角线的长为3.正六棱柱的高为2,底面边长为1,所以正六棱柱的底由6个全等的等边三角形构成.则正六棱柱的侧面积为S侧=6×1×2=12,正六棱柱的底面积为S底=2×6××1×1×sin所以正六棱柱的表面积为S表=12+3.答案:12+3【解题策略】关于棱锥、棱台的表面积能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加,计算时要注意构造直角三角形,直角梯形,如图四棱锥,四棱台中的直角三角形,直角梯形.【补偿训练】长方体的体对角线长为2,长、宽、高的比为3∶2∶1,那么它的表面积为(

)

A.44 B.88 C.64 D.48【解析】选B.设长、宽、高分别为3x,2x,x,则体对角线长为

所以x=2.所以表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.类型二棱柱、棱锥、棱台的体积(数学运算、直观想象)【典例】1.(2020·东城高一检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,那么四棱锥D1-ABCD的体积是 (

)

2.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 (

)

3.已知正四棱锥的底面边长为2,体积为8,则正四棱锥的侧面积为

.

【思路导引】1.确定底面积、高求体积;2.利用三视图求出上下底面积、高后求体积;3.由条件求出高,再求出侧面的高求侧面积.【解析】1.选B.因为DD1⊥平面ABCD,所以=S正方形ABCD·DD1=×1×1×1=.2.选B.由四棱台的三视图可知,此棱台的上底面积S1=1×1=1,下底面积S2=2×2=4,高h=2,代入台体的体积公式V=3.设正四棱锥的高为h,由于正四棱锥的底面边长为2,体积为8,则V=·h=8,解得h=3,所以正四棱锥的侧面的高为所以正四棱锥的侧面积为4×答案:4【解题策略】常见的求几何体体积的方法(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.【跟踪训练】(2020·贵阳高一检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥B-AB1C1的体积为 (

)【解析】选A.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长AB=1,则三棱锥B-AB1C1的体积为:类型三棱柱、棱锥、棱台表面积、体积的应用(数学运算)

角度1组合体的体积

【典例】(2020·东城高一检测)鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.如图1是某个经典的六柱鲁班锁,如图2是其中一个构件的三视图(图中单位:mm),则此构件的体积为 (

)A.34000mm3 B.33000mm3C.32000mm3 D.30000mm3【思路导引】根据三视图和实物图判断几何体的组成,再利用公式求体积.【解析】选C.由题三视图得,鲁班锁中的一个零件是长为100,宽为20,高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40,宽为20,高为10的小长方体的一个几何体,如图,

所以该零件的体积V=100×20×20-40×20×10=32000(mm3).角度2体积的应用

【典例】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点A到平面A1BD的距离d=

.

【思路导引】利用等体积法求高即为距离d.【解析】在三棱锥A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=a,因为所以所以d=a.答案:a【解题策略】关于点到面的距离利用等体积法求点到面的距离时,一般是先选择适当的顶点求出锥体的体积,再改变顶点,设出所求的点到面的距离,用该距离表示出体积后求距离.【题组训练】1.(2020·银川高一检测)如图所示,正方体的棱长为4,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为

.

【解析】由题意知所得几何体是八面体,且八面体是两个底面边长为2,高为2的四棱锥组成;则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和.又四棱锥的侧棱长为l=所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为:S=8××2×2×sin60°=16.答案:162.(2020·石景山高一检测)若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其表面积的值可能是

.(只需写出一个可能的值)

【解析】由四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,如图,可取三条侧棱长均为2,底面边长BC=BD=2,CD=1.其表面积为故其表面积的一个可能值为答案:(答案不唯一)核心知识方法总结易错提醒核心素养棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.数学抽象：棱柱、棱锥、、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.棱锥棱台棱柱棱柱、棱锥、棱台的体积各面面积之和棱柱、棱锥、棱台展开图求多面体表面积1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．课堂检测·素养达标1.棱长为3的正方体的表面积为 (

)

A.27 B.64 C.54 D.36【解析】选C.根据表面积的定义,组成正方体的面共6个,且每个都是边长为3的正方形.从而,其表面积为6×32=54.2.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥B-AB1C的体积为 (

)

【解析】选D.3.(教材二次开发:练习改编)各面均为等边三角形的四面体的表面积为,则棱长等于 (

)【解析】选A.设各面均为等边三角形的四面体的棱长为a,所以它的表面积由四个边长为a的等边三角形的面积组成,即S=4××a×a×sin60°=a2=,解得a=1.4.如图,ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA′B′B的体积是(

)

【解析】选C.因为VC-A′B′C′=V柱=,所以VC-AA′B′B=1-=.5.如图(1)所示,已知正方体面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图(2)所示的几何体,那么此几何体的全面积为

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【解析】正方体棱长为a,新几何体的全面积为S全=2×a×a+4×=(2+)a2.答案:(2+)a2Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏5.如图(1)所示,已知正方体面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图(2)所示的几何体,那么此几何体的全面积为

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3.(教材二次开发:练习改编)各面均为等边三角形的四面体的表面积为,则