押福建卷第24题【圆与几何综合】(原卷版+解析)

押福建卷第24题圆与几何综合题号分值2022年

中考2021年

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中考2018年

中考2412旋转综合应用三角形综合旋转综合圆与几何综合圆与几何综合解题技巧（1）圆的基础性质：熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角（直径所对圆周角90°）之间的代换；切线的相关性质；圆的内接四边形对角互补的性质；学会挖掘圆中的隐含条件：圆周角，等腰三角形（2）圆与三角形综合熟练运用等积法，斜边中线，中位线，角平分线，特殊三角形，相似三角形等相关性质；圆与四边形综合熟练掌握矩形，菱形，正方形等相关性质。（3）解题关键：化归与转化思想，角化边或边化角【真题1】(2023·福建·统考中考真题）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B,D重合的点，sinA=（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF=33，求证：DF与⊙O【真题2】(2023·福建·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【真题3】(2023·福建·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接(1)求证：AC=AF；(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长（结果保留π）．1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考期中）如果三角形三边的长a、b、c满足a+c=2b，那么我们就把这样的三角形叫做“等差三角形”．如：三边长分别为2、3、4或5、7、9…的三角形都是“等差三角形”．(1)如图1，已知两条线段的长分别为a、c（a<c）．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“等差三角形”（不写作法，保留作图㢃迹）．(2)如图2，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F．若CF=35BE2．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）如图1，已知∠MPN的角平分线PF经过圆心O交⊙O于点E、F，PN是⊙O的切线，B为切点．(1)求证：PM也是⊙O的切线；(2)如图2，在（1）的前提下，设切线PM与⊙O的切点为A，连接AB交PF于点D；连接AO交⊙O于点C，连接BC，AF；记∠PFA为∠α．①若BC=6，tan∠α=12②小华探究图2之后发现：EF2=m⋅OD⋅OP（m3．（2023春·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考阶段练习）如图，已知AC为⊙O的直径，连接AB，BC，OB，过点O作OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF，BF．(1)如图1，设⊙O的半径为2，若∠BAC=30°，求线段EF的长．(2)如图2，设BO交EF于点P，延长BO交⊙O于点D，连接DF．①求证：PE=PF；②若DF=EF，求∠BAC的度数．4．（2023春·福建厦门·九年级厦门双十中学校考期中）已知AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上的动点（两点在AB的异侧且都不与A、B重合），连接CD与AB交于点E，连接AC，BC．(1)如图1，若AB=10，AD=52(2)如图2，在（1）的条件下，若BC=6，求DE的长度；(3)如图2，若AB=4，∠DCB=60°，且对任意的点C，弦CD上都有一点F满足BC=2DF，连接BF，求线段BF的最小值．5．（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连接AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．(1)求证：∠CAG=∠AGC；(2)当点E在AB上，连接AF交CD于点P，若EFCE=2(3)当点E在射线AB上，AB=2，四边形ACOF中有一组对边平行时，求AE的长．6．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．[材料]自从《义务教育数学课程标准(2023年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PM，使PM与⊙O相切于点M”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，以O为圆心，OP长为半径作大圆O；（2）若OP交小圆O于点N，过点N作小圆O的切线与大圆O交于A,B两点（点A在点B的上方）；（3）连接AO交小圆O于M，连接PM，则PM是小圆O的切线．[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长AO交大圆O于C，连接CN，若OA=2，OM=1，求CN的长．7．（2023秋·福建厦门·九年级统考期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC=67.5°，BC的长为22π，点P是射线BC上的动点BP=mm≥2．射线OP绕点O逆时针旋转45°得到射线OD，点Q是射线OD上的点，点Q与点O不重合，连接PQ(1)求⊙O的半径；(2)当n2=m2−2m+2时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记Q1，8．（2023·福建·模拟预测）如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为优弧ACB上的动点（不与端点重合），连接PD．(1)求证：∠APD=∠BPD；(2)在线段PD上有一点I，连接AD、AI．且AI平分∠PAB，求证：AD=DI；(3)如图2，在（2）的条件下，若∠APB=60°，⊙O的半径为2，过点D作⊙O的切线交PA的延长线于点F；当PF=PD时，求PI的长．9．（2023秋·福建莆田·九年级校考期末）已知如图1，在⊙O中，弦AC⊥BD于点P，AP=3，BP=6，PD=4．E是CD的中点．(1)求BC的长；(2)求AE的长；(3)如图2，若AF=BF，连接FD交AB于点Q，试说明∠AQD的度数是否会发生变化，若不变请求出10．(2023秋·福建泉州·九年级校考期末）已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB=AC．(1)如图1，求证：2∠ADB＋(2)如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC=45°时，求证：CE=CG；(3)如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE=CE=35时，求CD押福建卷第24题圆与几何综合题号分值2022年

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中考2412旋转综合应用三角形综合旋转综合圆与几何综合圆与几何综合解题技巧（1）圆的基础性质：熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角（直径所对圆周角90°）之间的代换；切线的相关性质；圆的内接四边形对角互补的性质；学会挖掘圆中的隐含条件：圆周角，等腰三角形（2）圆与三角形综合熟练运用等积法，斜边中线，中位线，角平分线，特殊三角形，相似三角形等相关性质；圆与四边形综合熟练掌握矩形，菱形，正方形等相关性质。（3）解题关键：化归与转化思想，角化边或边化角【真题1】(2023·福建·统考中考真题）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B,D重合的点，sinA=（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF=33，求证：DF与⊙O答案:（1）60°；（2）详见解析分析：(1)连接OB，在Rt△AOB中由sinA=12(2)连接OF，在Rt△OBF中，由tan∠BOF=【详解】解：(1)连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∵sinA=12∴∠AOB=60°，则∠BOD=120°．由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠BED=1故答案为：60°(2)连接OF，由(1)得OB⊥AB，∠BOD=120°，∵OB=3，BF=33，∴tan∴∠BOF=60°，∴∠DOF=60°．在ΔBOF与ΔDOF中，{∴ΔBOF≌ΔDOF(SAS)，∴∠ODF=∠OBF=90°．又点D在⊙O上，故DF与⊙O相切．【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．【真题2】(2023·福建·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.答案:(1)见解析；(2)tan∠BAD=112分析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=AC，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∠ADB＝90°−∠CAD，从而得到（2）易证得BC＝CF＝45，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角形求得tan∠BAD的值．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−1∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°−∠DAC，∴12∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10,AC=10.又BC＝45，设AE＝x,CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2,100－x2=80－(10－x)2,x=6∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE⋅CEBE=6×4∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB•DH＝1∴DH＝BD•AEAB∴BH＝BD∴AH＝AB−BH＝10−445∴tan∠BAD=DHAH=336=【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题．【真题3】(2023·福建·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接(1)求证：AC=AF；(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长（结果保留π）．答案:(1)证明见解析；(2)5π分析：（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B=∠D，等量代换可得∠AFC=∠ACF，即可得出答案；（2）连接AO,CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠AFC=∠B，∴∠AFC=∠ACF，∴AC=AF．（2）解：连接AO,CO，如图，由（1）得∠AFC=∠ACF，∵∠AFC=180°−30°∴∠AOC=2∠AFC=150°，∴AC的长l=150×π×31．（2023春·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考期中）如果三角形三边的长a、b、c满足a+c=2b，那么我们就把这样的三角形叫做“等差三角形”．如：三边长分别为2、3、4或5、7、9…的三角形都是“等差三角形”．(1)如图1，已知两条线段的长分别为a、c（a<c）．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“等差三角形”（不写作法，保留作图㢃迹）．(2)如图2，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F．若CF=35BE答案:(1)见解析(2)△AEF是“等差三角形”，理由见解析分析：（1）设AB=c，在射线BA上截取AE=a，作线段BE的垂直平分线，垂足为F，分别以A，B为圆心，FE，AE为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，AC，△ABC即为所求；（2）根据“等差三角形”的定义，由题目中信息的，利用切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等以及勾股定理可以判断△AEF是否为“等差三角形”．【详解】（1）解：所求图形，如图1所示，（2）解：△AEF是“等差三角形”，理由：连接AD、OD，如图2所示，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴点D是BC的中点，∵点O为AB的中点，∴OD∥AC，∵DF切⊙O于点D，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，∵∠BGD=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF，BD=CD，∴△BGD≌△CFD(ASA∴BG=CF，∵BECF∴BEBG∵∠EGB=∠EFA=90°，∴sin∠AEF=在Rt△AEF中，设AE=5k，AF=3k，由勾股定理得，EF=4k∴AE+AF=2EF，∴△AEF是“等差三角形”．【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理、三角形的中位线性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）如图1，已知∠MPN的角平分线PF经过圆心O交⊙O于点E、F，PN是⊙O的切线，B为切点．(1)求证：PM也是⊙O的切线；(2)如图2，在（1）的前提下，设切线PM与⊙O的切点为A，连接AB交PF于点D；连接AO交⊙O于点C，连接BC，AF；记∠PFA为∠α．①若BC=6，tan∠α=12②小华探究图2之后发现：EF2=m⋅OD⋅OP（m答案:(1)详见解析(2)①4；②4分析：（1）过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB，根据切线的性质可得出OB是⊙O的半径且OB⊥PN，由PF平分∠MPN利用角平分线的性质可得出OA=OB，进而可证出PM也是⊙O的切线．（2）①由PM、PN都是⊙O的切线可得出PA=PB，利用等腰三角形的三线合一可得出OP⊥AB、AD=BD，由三角形中位线的性质可得出OD=3，设⊙O的半径为r，则FD=r+3，AD=12r+3，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求出r的值，将其代入AD=12r+3中即可求出AD的长度；②利用相似三角形的性质可得出O【详解】（1）证明：在图1中，过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB．∵PN是⊙O的切线，B为切点，∴OB是⊙O的半径，且OB⊥PN，∵PF平分∠MPN∴OA=OB∴PM也是⊙O的切线；（2）①∵PM、PN都是⊙O的切线∴PA=PB∵∠APD=∠BPD∴OP⊥AB、AD=BD，∵OD为△ABC的中位线，∴OD=设⊙O的半径为r，则FD=r+3∵tan∴AD=在Rt△AOD中，OA解得：r=5（负根舍去）∴AD=②猜想m=4．证明：∵∠OAP=∠ODA=90°、∠AOP=∠DOA∴△OAP∼△ODA，∴OAOP=又∵EF=2OA∴E∴m=4【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的三线合一找出OA=OB；（2）①在Rt△AOD中，利用勾股定理求出圆的半径；②利用相似三角形的性质证出O3．（2023春·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考阶段练习）如图，已知AC为⊙O的直径，连接AB，BC，OB，过点O作OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF，BF．(1)如图1，设⊙O的半径为2，若∠BAC=30°，求线段EF的长．(2)如图2，设BO交EF于点P，延长BO交⊙O于点D，连接DF．①求证：PE=PF；②若DF=EF，求∠BAC的度数．答案:(1)3；(2)①证明见解析；②45°．分析：（1）解直角三角形求出AB，再证明∠AFB=90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．（2）①过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．想办法证明四边形OEHF是平行四边形可得结论．②想办法证明FD=FB，推出△AOB是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC=30°，OA=2，∴∠AOE=60°，OE=12OA=1∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴∠C=60°，∵OC=OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF=FC,∴BF⊥AC,∴∠AFB=90°,在Rt△ABF中，AB=AE+EB=23，E是AB∴EF=1（2）①证明：如图2中，过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA=∠ABC=90°，∴FG∥∴△OFH∽△OCB，∴FHBC=∴FH=OE，∵OE⊥AB，FH⊥AB，∴OE∥∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE=PF．②解：∵OE∥∴EGGB∴EG=GB，∴EF=FB，∵DF=EF，∴DF=BF，∵DO=OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB=90°，∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．4．（2023春·福建厦门·九年级厦门双十中学校考期中）已知AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上的动点（两点在AB的异侧且都不与A、B重合），连接CD与AB交于点E，连接AC，BC．(1)如图1，若AB=10，AD=52(2)如图2，在（1）的条件下，若BC=6，求DE的长度；(3)如图2，若AB=4，∠DCB=60°，且对任意的点C，弦CD上都有一点F满足BC=2DF，连接BF，求线段BF的最小值．答案:(1)∠DCB=45°(2)DE=(3)13分析：（1）连接OD，根据AD=52π，求出∠AOD的度数，再求出（2）过点C作CG⊥AB于点G，根据勾股定理求出AC=8，根据三角函数求出BG=3.6，根据勾股定理再求出CG=4.8，求出OG=1.4，证明△DOE∽△CGE，得出CGOD=GE（3）连接AD，AF，DO，证明△ADF∽△ABC，得出∠AFD=∠ACB=90°，从而得出点F在以AD为直径的圆上，设点M为AD的中点，连接BM，交⊙M于点H，当点F在点H处时，BF最小，过点M作MN⊥AB于点N，根据勾股定理及含30°直角三角形的性质，求出BM=13【详解】（1）解：连接OD，如图所示：∵AB=10，∴OA=OB=OD=5，∵AD=∴∠AOD的度数为：180°×5∴∠ACD=1∵∠ACB=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°．（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，如图所示：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A∴cos∠CBG=∴610解得：BG=3.6，∴CG=B∴OG=5−3.6=1.4，∵∠AOD=90°，∴∠DOE=180°−90°=90°，∵CG⊥AB，∴∠CGE=90°，∴∠DOE=∠CGE，∵∠OED=∠CEG，∴△DOE∽△CGE，∴CGOD∴4.85解得：OE=5∴DE=O（3）解：连接AD，AF，DO，如图所示：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠DCB=60°，∴∠DCA=90°−60°=30°，∴∠AOD=2∠ACD=60°，∵AO=DO，∴△AOD为等边三角形，∴AD=AO=1∵BC=2DF，∴ADAB∵AC=∴∠ADC=∠ABC，即∠ADF=∠ABC，∴△ADF∽△ABC，∴∠AFD=∠ACB=90°，∴点F在以AD为直径的圆上，设点M为AD的中点，连接BM，交⊙M于点H，当点F在点H处时，BF最小，过点M作MN⊥AB于点N，如图所示：∵△AOD为等边三角形，∴∠OAD=60°，∵∠ANM=90°，∴∠AMN=90°−60°=30°，∵AM=1∴AN=1∴MN=AM2∴BM=B∵MH=AM=1，∴BH=13∴BF的最小值为13−1【点睛】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定，说明点F的运动轨迹，找出使BF取最小值时，点F的位置．5．（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连接AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．(1)求证：∠CAG=∠AGC；(2)当点E在AB上，连接AF交CD于点P，若EFCE=2(3)当点E在射线AB上，AB=2，四边形ACOF中有一组对边平行时，求AE的长．答案:(1)见解析(2)5(3)2−2或分析：（1）设AB与CD相交于点M，由⊙O与AH相切于点A，得到∠BAG=90°，由CD⊥AB，得到∠AMC=90°，进而得到AG∥CD，由平行线的性质推导得，∠CAG=∠ACD，∠AGC=∠FCD，最后由点A关于CD的对称点为E得到∠FCD=∠ACD即可证明．（2）过F点作FK⊥AB于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，证明∠FAD=∠ADC得到DP=AP，再证明△CPA≌△FPD得到PF=PC；最后根据△KEF∽△NEC及△APN∽△AFK得到KEEN=EF（3）分两种情形：当OC∥AF时，当【详解】（1）证明：如图，设AB与CD相交于点M，∵⊙O与AH相切于点A，∴∠BAG=90°，∵CD⊥AB，∴∠AMC=90°，∴AG∥CD，∴∠CAG=∠ACD，∠AGC=∠FCD，∵点A关于CD的对称点为E，∴∠FCD=∠ACD，∴∠CAG=∠AGC．（2）解：过F点作FK⊥AB于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：∠FCD=∠FAD，∵AB为⊙O的直径，且CD⊥AB，由垂径定理得：AC=∴∠ACD=∠ADC，∵点A关于CD的对称点为E，∴∠FCD=∠ACD，∴∠FAD=∠FCD=∠ACD=∠ADC，即∠FAD=∠ADC，∴DP=AP，由同弧所对的圆周角相等得：∠ACP=∠DFP，且∠CPA=∠FPD，∴△CPA≌△FPD，

∴PC=PF，∵FK⊥AB，AB与CD交于点N，∴∠FKE=∠CNE=90°．∵∠KEF=∠NEC，∠FKE=∠CNE=90°，∴△KEF∽△NEC，∴KEEN设KE=2x,EN=5x，∵点A关于CD的对称点为E，∴AN=EN=5x，AE=AN+NE=10x，AK=AE+KE=12x，又FK∥∴△APN∽△AFK∴PAAF∵∠FCD=∠CDA，∴CF∥∴DPCP（3）解：分类讨论如下：如图，当OC∥AF时，连接OC，OF，设∠AGF=α，则∵OC∥∴∠OCF=∠AFC=α，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=3α，∵∠OAG=45°，∴4α=90°，∴α=22.5°，∵OC=OF，OA=OF，∴∠OFC=∠OCF−∠AFC=22.5°，∴∠OFA=∠OAF=45°，∴AF=2∵OC∥∴AE∴AE=2∵OA=1，∴AE=2如图，当AC∥OF时，连接OC，设∠AGF=α，∵∠ACF=∠ACD+∠DCF=2α，∵AC∥∴∠CFO=∠ACF=2α，∴∠CAO=∠ACO=4α，∵∠AOC+∠OAC+∠ACO=180°，∴10α=180°，∴α=18°，∴∠COE=∠ECO−∠CFO=36°，∴△OCE∽∴OC∴1=CECE+1∴CE=AC=OE=5∴AE=OA−OE=3−综上所述，满足条件的AE的长为2−2或3−【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的相关性质，相似三角形，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．6．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．[材料]自从《义务教育数学课程标准(2023年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PM，使PM与⊙O相切于点M”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，以O为圆心，OP长为半径作大圆O；（2）若OP交小圆O于点N，过点N作小圆O的切线与大圆O交于A,B两点（点A在点B的上方）；（3）连接AO交小圆O于M，连接PM，则PM是小圆O的切线．[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长AO交大圆O于C，连接CN，若OA=2，OM=1，求CN的长．答案:(1)作图方法正确；作图见解析；理由见解析(2)7分析：（1）作图方法正确，作出图形，如图所示，要证PM是小圆O的切线，由图及“连半径、证垂直”的方法，先根据条件判定△AON≌△POMSAS，进而得到∠ANO=∠PMO=90°，即可确定PM⊥OM（2）连接BC，如图所示，在Rt△AON中，ON=OM=1，OA=2，利用勾股定理得到AN=OA2−ON2=3，再由垂径定理得到AN=BN=【详解】（1）解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示：以上即为所求作的图形；理由如下：∵AB是小圆O的切线，∴ON⊥AB，∴∠ANO=90°，在△AON和△POM中，ON=OM∠AON=∠POM∴△AON≌△POMSAS∴∠ANO=∠PMO=90°，∴PM⊥OM，又OM为半径，∴PM是小圆O的切线；（2）解：连接BC，如图所示：在Rt△AON中，ON=OM=1，OA=2∴AN=O∵ON⊥AB，OP为圆的半径，∴AN=BN=3∵OA=OC，∴BC=2ON=2，∵AC为大圆O的直径，∴∠ABC=90°，在Rt△BCN中，CN=【点睛】本题考查圆综合，涉及切线证明、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握切线判定、垂径定理及勾股定理的运用是解决问题的关键．7．（2023秋·福建厦门·九年级统考期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC=67.5°，BC的长为22π，点P是射线BC上的动点BP=mm≥2．射线OP绕点O逆时针旋转45°得到射线OD，点Q是射线OD上的点，点Q与点O不重合，连接PQ(1)求⊙O的半径；(2)当n2=m2−2m+2时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记Q1，答案:(1)2(2)相切分析：（1）连接OB,OC，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=67.5°，从而得到∠A=45°，再由圆周角定理可得（2）连接CQ，过点O作OE⊥BC于E，过点Q作QF⊥BC于F．由（1）得：OB=OC=2，从而得到OB=2r=2．进而得到BE=EC=12BC=1，OE=12BC=BE=EC=1．再由BP=m，可得EP=BP−BE=m−1，根据勾股定理可得OP2=m2−2m+2，继而得到PQ=OP，可得到∠OPQ=90°，从而得到∠QPF=∠POE【详解】（1）解：连接OB,OC，设⊙O的半径为∵AB=AC,∠ABC=67.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°．∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=45°．∴∠BOC=2∠A=90°．∵lBC∴90πr180∴r=2（2）解：连接CQ，过点O作OE⊥BC于E，过点Q作QF⊥BC于F．由（1）得，OB=OC=2，∠BOC=90°∴OB=2∵OE⊥BC，∴BE=EC=12BC=1∵BP=m，∴EP=BP−BE=m−1．∵在Rt△OEP中，O∴OP∵PQ=n,n∴PQ2=O∴∠POQ=∠PQO=45°．∴∠OPQ=90°．∴∠QPF+∠OPE=90°．又∵∠POE+∠OPE=90°，∴∠QPF=∠POE．在Rt△POE与Rt△QPF中，∴Rt△POE≌∵BP=m≥2，∴QF=PE=m−1,PF=OE=1．∴CF=CP+PF=BP∴CF=QF．∴在Rt△QCF中，∠FCQ=∠FQC=45°即点Q在过点C，且与射线BP夹角为45°的射线上．∵Q1,Q∴直线Q1,Q∵在Rt△OEC中，OE=EC∴∠EOC=∠ECO=45°．∴∠OCQ=90°，即OC⊥CQ．∵点C在⊙O上，∴直线CQ与⊙O相切．∴直线Q1,Q【点睛】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，弧长公式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键，是压轴题．8．（2023·福建·模拟预测）如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为优弧ACB上的动点（不与端点重合），连接PD．(1)求证：∠APD=∠BPD；(2)在线段PD上有一点I，连接AD、AI．且AI平分∠PAB，求证：AD=DI；(3)如图2，在（2）的条件下，若∠APB=60°，⊙O的半径为2，过点D作⊙O的切线交PA的延长线于点F；当PF=PD时，求PI的长．答案:(1)见解析(2)见解析(3)PI=3分析：（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；（2）证明∠DAI=∠DIA，进而命题可证；（3）连接OA，先计算得出△OAD是等边三角形，作AE⊥DF于点E，求得FA的长，证明△FAD∽△FDP，从而求得结果．【详解】（1）证明：∵AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，∴AD=∴∠APD=∠BPD；（2）证明：∵AD=∴∠APD=∠BAD，∵AI平分∠PAB，∴∠PAI=∠BAI，∵∠DAI=∠BAD+∠BAI，∠DIA=∠APD+∠PAI，∴∠DAI=∠DIA，∴AD=DI；（3）解：连接OA，∵∠APB=60°，∠APD=∠BPD，∴∠APD=∠BPD=30°，∴∠AOD=2∠APD=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴AD=OD=2，∠ADO=60°，∵DF是⊙O的切线，∴∠FDO=90°，∠FDA=30°，∵PF=PD且∠APD=30°，∴∠F=∠PDF=180°−30°∴∠DAF=180°−∠F−∠FAD=75°，∴AD=FD=2，由（2）得AD=DI=2，作AE⊥DF于点E，∴AE=12AD=1∴EF=2−3∴AF=A∵∠FPD=∠FDA=30°，∴△FAD∽△FDP，∴DFPF=AF∴PF=12−3∴PI=PD−DI=2+3【点睛】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．（2023秋·福建莆田·九年级校考期末）已知如图1，在⊙O中，弦AC⊥BD于点P，AP=3，BP=6，PD=4．E是CD的中点．(1)求BC的长；(2)求AE的长；(3)如图2，若AF=BF，连接FD交AB于点Q，试说明∠AQD的度数是否会发生变化，若不变请求出答案:(1)BC=10(2).AE=4(3)∠AQD=45°，不会发生变化，理由见解析分析：（1）连接CD，证明△ABP∽△DCP，可得APDP=BPCP，代入数值求出（2）连接BE，由（1）可知△BCD是等腰三角形，再由E是CD的中点，可得BM⊥CD，则BE是圆O的直径，再由同弧所对的圆周角相等，可知∠ACB=∠BEA，根据tan∠BCP=tan∠BEA（3）设BE与AC的交点为G，过点G作GH⊥BC交于点H，证明Rt△BHG≌Rt△BPG，设GP=x，则GH=x，在Rt△CGH中，由勾股定理求出GP=AP=3，再由BP垂直平分AG，可得AB=GB，则∠ABP=∠GBP=12∠ABE【详解】（1）如图，连接CD．∵∠BAP=∠CDP，∠APB=∠CPD，∴△ABP∽△DCP，∴APDP∵AP=3,BP=6,PD=4，∴34∴PC=8，∴BC=B（2）连接BE，BE交CD的交点为M，∵BC=10,BD=10，∴△BCD是等腰三角形，∵E是CD的中点，∴∠DBE=∠CBE，∴BM⊥CD，∴BE是圆O