考点20相似三角形-2022四川中考数学试题分类汇编(原卷版+解析)

考点20：相似三角形1.(2023凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）

A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm2.(2023眉山）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.(2023雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（）A. B. C. D.4.(2023宜宾）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（）①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④5.(2023宜宾）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．6.(2023凉山州）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．7.(2023成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．8.(2023成都）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．9.(2023达州）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，．以下结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是____．10.(2023绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为_________．11．(2023内江）（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．12.(2023成都）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．13.(2023达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

（1）【初步探究】如图2，当时，则_____；（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．（4）【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．14.(2023乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD中，．求证：．证明：设CE与DF交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______．（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且．求的值．考点20：相似三角形1.(2023凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）

A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm答案:C解析：分析：根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．2.(2023眉山）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案:D解析：分析：利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知④正确．【详解】解：∵旋转得到，∴，∵为正方形，，，在同一直线上，∴，∴，故①正确；∵旋转得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；设正方形边长a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正确；过点E作交FD于点M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．3.(2023雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（）A. B. C. D.答案:D解析：分析：先求解再证明可得【详解】解：＝，DE∥BC，故选D【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．4.(2023宜宾）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（）①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④答案:B解析：分析：证明，即可判断①，根据①可得，由可得四点共圆，进而可得，即可判断②，过点作于,交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质可得，即可判断③，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，根据当共线时，取得最小值，可得四边形是正方形，勾股定理求得，根据即可判断④．【详解】解：和都是等腰直角三角形，，故①正确；四点共圆，故②正确；如图，过点作于,交的延长线于点，

,，,设，则，，则AH∥CE，则；故③正确如图，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，

，当共线时，取得最小值，此时，此时，，，，，，，平分，，四点共圆，，又,，，则四边形是菱形，又，四边形是正方形，，则，，，，，，则，，，，故④不正确，故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．5.(2023宜宾）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．答案:解析：分析：易证△AEF∽△ABC，得即即可求解．【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，即∵，，，∴，∴EF=，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．6.(2023凉山州）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．

答案:解析：分析：如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．【详解】解：如图，由题意得：，，，，同理可得：，，，在和中，，，，，，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．7.(2023成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．答案:解析：分析：根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，，，，根据与的周长比等于相似比可得，故答案为：．【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．8.(2023成都）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．答案:##解析：分析：延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线AC对称可知QD=QB，求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明，可得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明，可求BH，即可得出答案．【详解】延长DE，交AB于点H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴点P的对称点在EF上．由点B，D关于直线AC对称，∴QD=QB．要求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值BF．连接BD，与AC交于点O．∵AE=14,CE=18，∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案为：．【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．9.(2023达州）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持，连接，，．以下结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是____．

答案:①②④⑤解析：分析：连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM，根据正方形的性质及线段垂直平分线的性质定理即可判断①正确；通过证明，，可证明②正确；作，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN，通过证明，可判断③错误；通过证明，，利用相似三角形的性质即可证明④正确；当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，分别求解即可判断⑤正确．【详解】

如图1，连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM，四边形ABCD是正方形，垂直平分BD，，，，，故①正确；，，，，，即，，，，，，，故②正确；

如图2，作，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN，，，，，，即，，故③错误；如图1，四边形ABCD正方形，，，，，，，，，，为等腰直角三角形，故④正确；如图1，当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，，，，，，故⑤正确；故答案：①②④⑤．【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．10.(2023绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为_________．

答案:解析：分析：过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由三角形面积公式求得结果．【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，

∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴△ABC等腰直角三角形，∴，∵∠ADC＝90°，CD=2，∴，∵，∴，∴，∴，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，解得：，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．11．(2023内江）（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．分析：（1）根据矩形的性质，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的中点，即可证明结论；（2）利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的长，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的长，由（2）同理可得答案．【解答】（1）证明：∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵点E为CD的中点，∴CE＝DE，∴BM＝CE＝DE，∵AB＝CD，∴AM＝CE；（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；（3）解：∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴＝，由（2）同理得，，∴，解得AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．12.(2023成都）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．答案:（1）见解析（2）或（3）或解析：分析：（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．【小问1详解】解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；【小问2详解】解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；【小问3详解】解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如图，当FH=BH时，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如图，当FH=BF=nBE时，

，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．13.(2023达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

（1）【初步探究】如图2，当时，则_____；（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．（4）【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．答案:（1）（2）（3）仍然成立，理由见解析（4）解析：分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．【小问1详解】等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案为：

【小问2详解】在与中，又重合，故答案为：

【小问3详解】同（2）可得，过点，作，交于点，

则，，在与中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在与中，，，，，即，【小问4详解】过点作，交于点，

，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．14.(2023乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD中，．求证：．证明：设CE与DF交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且．则______．（3）【拓展应用】