2023湘教版新教材高中数学选择性必修第二册同步练习-2 .4 .1 空间直线的方向向量和平面的法向量

第2章空间向量与立体几何

2.4空间向量在立体几何中的应用

2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量

2.4.2空间线面位置关系的判定

基础过关练

题组一直线的方向向量与平面的法向量

1.(2022湖南邵阳期末)已知平面上两点A(l,2,3),则下列向量是直线AB

的方向向量的是()

A.(-1,1,DB.(l,2,3)

C.(l,2,l)D.(2』,2)

2.(2020四川乐山期末)已知平面a内有一点M(l,-1,2),平面a的一个法向量为

n=(6,-3,6),则下列坐标对应的点在平面a内的是()

A.(2,3,3)B.(-2,0,l)

C.(-4,4,0)D.(3,-3,4)

3.(2022河北张家口一中期中)已知A(3,4,0),B(2,5,2),C(0,3,2),则平面ABC的一个

单位法向量是.

题组二向量与垂直

4.(2022福建长乐一中段考)已知两平面a,P的法向量分别为u=(3,-l,z),v=(-2,-y,l),

若a_L|3,则y+z的值是()

A.-3B.6C.-6D.-12

5.(2022吉林白城大安六中期中)已知直线1的一个方向向量为d=(2,3,5),平面a的

一个法向量为u=(-4,m,n),若l_La，则m=,n=.

6.(2022福建泉州五中期中)如图，在长方体ABCD-ABCD中,AB=2BC=2CG=2,

以D为坐标原点晌量瓦I反，西的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,1为单

位长度，建立空间直角坐标系，点P在平面ABCD上，若DP,平面ACDi,则点P

的坐标是

7.（2020陕西西安中学期末）如图，在正方体ABCD-A1B1GD］中,E为棱DD1的中点,

求证：

（1）BD」平面ABiC;

（2）平面EAC_L平面ABiC.

题组三向量与平行

8.（2022重庆H^一中期中）已知直线1的一个方向向量是a=（-3,2,l）,平面a的一个

法向量是n=（l,2,-1）,则1与a的位置关系是（）

A.l±a

B.l〃a

C.l〃a或lea

D.1与a相交但不垂直

9.（2020山东聊城期中）如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂

直,AB=&,AF=1,M在EF上，且AM〃平面BDE,则点M的坐标为（）

A.(l,l,l)B.停，V,3_2

V2一

C©，¥，I)D.件,4;

10.如图所示，在直四棱柱ABCD-A,B|C1D|中，底面ABCD为等腰梯

形,AB〃CD,AB=4,BC=CD=2,AA]=2,E,E1,F分别是棱AD,AA】,AB的中点.求证:

⑴直线EEi〃平面FCG;

⑵平面ADDiAi〃平面FCCi，

题组四利用空间向量研究线面位置关系

11.(多选)(2022湖南邵东期末)下列利用方向向量、法向量判断线面位置关系的结

论中，正确的是()

A.若两条不重合的直线h,b的一个方向向量分别是a=(2,-2,-l),b=(-2,-2,l),则

B.若直线1的一个方向向量是a=(l,l,2),平面a的一个法向量是n=(-2,-2,-4),则

l±a

C.若直线1的一个方向向量是a=O2,0),平面a的一个法向量是n=(-2,0,2),则l〃a

D.若两个不同的平面a,|3的一个法向量分别是m=(3,-4,2),n=(-2Q3),则a_L|3

12.如图，四边形ABCD为正方形,PDJ_平面

ABCD,PD/7QA,QA=AB=ipDjiJ5FffiPQC与平面DCQ的位置

关系为（）

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.不确定

13.如图所示，在正方体ABCD-ABGD1中,E,F分别在A】D,AC上，且

o1

AiEgADAFgACa)

A.EF至多与AiD,AC之一垂直

B.EF±A1D,EF±AC

C.EF与BDI相交

D.EF与BDi异面

能力提升练

题组用空间向量研究线面位置关系

1.（多选X2022辽宁葫芦岛期末）在正方体ABCD-AiBCQi中,E,F,G,H分别为

BC,CG,AQi,C|D］的中点，则下列结论中正确的是（）

A.AiE±ACi

B.BF〃平面ADD1A）

C.BF1DG

D.GE/7HF

2.（2022浙江绍兴期末）已知正方体ABCD-AiBQiDi,P是线段AC上一点，下列说

法正确的是（）

AR

A.若4e=g碇,则直线AP〃平面BCiD

B.若审=；碇，则直线AP〃平面BCiD

C.若4尸三中,则直线BP_L平面ACD,

D.若4尸弓碇,则直线BP_L平面ACDi

3.(多选X2022福建漳州一检)如图，在四棱锥A-BCED中，已知

EC=BC=AC=4,BD=1,且ACJ_EC,ACJ_BC,BC_LEC,BC_LBD.取BC的中点O,过

点O作OQLDE于点Q4!j()

A.OD1OE

B.四棱锥A-BCED的体积为40

C.BQ,平面ACQ

D.AQ1BQ

4.(2020重庆巴蜀中学期中)在直四棱柱ABCD-ABC1D］中,底面是边长为4的菱

形,NABC=6(T,AAi=4,过点B与直线ACi垂直的平面交直线AAi于点M,则三棱

锥A-MBD的外接球的表面积为.

5.(2022天津南开期末)如图，在四棱锥P-ABCD中,PA,底面

ABCD,AB〃DC,DAJ_AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点，且PE=|PC.

(1)求证:AE_L平面PBC;

(2)求证:PA〃平面BDE.

4r

I)

B

6.(2021云南昆明第一中学检测)如图，在三棱柱ABC-ABG中,四边形AAQC是

边长为次的正方形,CC」BC,BC=1,AB=2.

⑴证明:平面AiBC_L平面ABCi；

(2)在线段AiB上是否存在点M,使得CMLB3?若存在，求出黑■的值;若不存在，请

D/l|

说明理由.

7.(2020安徽合肥一中期末)在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形，四边

形ABCD为等腰梯形,AB〃CD,AB=2BC,NABC=60o,AC_LFB.

(1)求证:AC_L平面FBC;

(2)在线段ED上是否存在点Q,使平面EAC,平面QBC?证明你的结论.

8.(2022北京平谷期末)如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEFJ_平面ABF,四边

形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形，且

AD//BC,ZBAF=90°,AB=AD=l,BC=3.

(1)求证:BFJ_AD;

(2)在线段BD上是否存在点M,使得直线CE〃平面AFM?若存在，求出黑的值;若

DU

不存在，请说明理由.

B

答案与分层梯度式解析

第2章空间向量与立体几何

2.4空间向量在立体几何中的应用

2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量

2.4.2空间线面位置关系的判定

基础过关练

1.D易得方=(-2,-1,-2),因为左与向量(2,1,2)平行,所以选D.

2.A设点P(x,y,z)在平面a内，则加=(x-l,y+l,z-2).

•.•n=(6,-3,6)是平面a的一个法向量，

n-MP=6(x-l)-3(y+1)+6(z-2)=6x-3y+6z-21=0,即2x-y+2z=7.

把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合.

故选A.

3.答案停等多(答案不唯一)

解析XB=(-1,1,2),i4C=(-3,-1,2),

若m=(x,y,z)是平面ABC的法向量，

Ijiyfm-AB=-x+y+2z=0,

(m-AC——3x—y+2z=0,

取y=-l,贝！Jx=l,z=l,贝!Jm=(l,-l,l)是平面ABC的一个法向量，故平面ABC的一个

单位法向量可以是裾=(小今9答案不唯一.

4.B因为a邛所以u-v=0,即(3,-l,z>(-2,-y,l)=0,所以3x(-2)+

(-l)X(-y)+zXl=0,

所以y+z=6.故选B.

5.答案-6;-10

解析Vl±a,d〃u,又Vd=(2,3,5),u=(-4,m,n),券节哼解得m=-6,n=-10.

6.答案

解析由题意得,D(0,0,0),A(l,0,0),C(0,2,0),Di(0,0,D^!|“=(0,2,

-1)面=(-1,2,0),因为点P在平面ABC1D1上，所以设点W111中,1),则加=(111,11』),若

DP_L平面AC%则｛鬻"6即｛累Ui,解得忙彳所以点P的坐标是(1,祠.

7.证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设正方体

ABCD-ABCD的棱长为2,则

E(0,0,l),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2).

(1)易得ac=(-2,2,0),4BI=(0,2,2),BD]=(-2,-2⑵.

设平西ABC的法向量为m=(x,y,z),

则卜.它—2X+2y=。，取x=L则y=l,z=-l,

，m=(l,1,-1)是平面ABiC的一个法向量.

BO；=-2m,/.BD{//m,BDiJ_平面ABiC.

(2)易得荏=(-2,0,1).

设平西EAC的法向量为n=(x',y',z,),

则卜空=-2x，+z，=0,取x7,贝y=l,z，=2,

...n=(l,l,2)是平面EAC的一个法向量.

由(1)知m=(l,1,-1)是平面AB)C的一个法向量.

•.•m・n=l+l-2=0,.•.平面EAC_L平面ABiC.

8.C因为am=-3+4-l=0,所以a±n,

所以1与a的位置关系是l〃a或ka,故选C.

易错警示

当直线1的方向向量与平面a的法向量相互垂直时，直线1也有可能在平面a

内,这种情况容易忽略.

9.C连接OE.设点M的坐标为(x,y,l),

因为ACCIBD=O,

所以O仔,弓0),

又因为E(0,0,l),A(传a,0),

因为AM〃平面BDE,AMu平面ACEF,平面BDECI平面ACEF=OE,所以

OE//AM,即方//AM,

建追

X

崂-

*

2

所2

-V2

迹一&

_

2

V2

y

2

-

2

2

.

,¥，1)

为件

的坐标

点M

所以

.

故选C

腰

为等

BCD

，底面A

中点

B的

是棱A

=2,F

=CD

4,BC

AB=

⑴因为

法一:

明证

10.证

梯形

形，

三角

F为正

△BC

所以

=CF,

F=BC

所以B

0。.

BC=6

=NA

BAD

所以N

LAB,

DM_

M,则

连接D

点M,

的中

取AF

D.

MLC

所以D

立空

度,建

单位长

轴,1为

轴、z

轴、y

别为x

直线分

]所在

C,DD

,DM,D

为原点

以D

，

所示

，如图

标系

角坐

间直

1),

(旧,-1,

“)旧

)风务

。2,2

,0)£

口0,2

百,1,0)

则F(

1,0).

=(6,-

,1),3

=停1

,2),西

=(0,0

所以函

,

x,y,z)

为n=(

法向量

Ci的

西FC

设平

,

y=V3

=l,得

0,令x

&得z=

一丫=

套片

则『

0),

l,V3,

为n=(

法向量

的一个

CCi

平面F

所以

=O,

+Oxl

X(-l)

^+V3

£7=lx

则n-F

.

J_函

所以n

G,

面FC

]0平

线EE

为直

又因

CCi.

平面F

E]〃

直线E

所以

,-l,0),

),A(g

i(0,0,2

Q0),D

得D(0

(2)易

.

0,0,2)

西=(

-1,0),

=(遮,

所以包

D,

],y1,z

m=(X

向量为

,的法

D.A

面AD

设平

则

=0,

2zi

Di=

m-D

令X]=l,得yi=V3,

所以平面ADDIAI的一个法向量为m=(l,V3,0).

结合(1)知m=n,即m〃n,又因为平面ADDA1与平面FCC,不重合，所以平面

ADDiAi〃平面FCCi.

证法二:(1)取AiBi的中点G,连接GG,GF,CG,A]D.

因为A]G=TAB,DC=TAB小心〃口©,口(3〃口(1,所以AiGDDC,

所以四边形AQCG为平行四边形，所以A|D/7CG.

又因为E,Ei分别为AD,AIA的中点，所以EE"/A]D,所以EE/CG.

因为EEiU平面FCCi,CGu平面FCG,

所以EEi〃平面FCCi.

(2)由⑴知AQ〃平面FCCi.

易知DDi〃平面FCCi,

又因为AQu平面ADD]Ai,DD|U平面ADD|A1,且AQCDD尸D,

所以平面ADDiAi〃平面FCCi，

11.BD对于A,因为向量a,b不平行，所以不平行，故A不正确；

对于B,因为n=-2a,所以a〃n,故B正确；

对于C,因为a-n=0x(-2)+2x0+0x2=0,所以a，n,所以l〃a或1在平面a内，故C不

正确；

对于D,因为m.n=-6+0+6=0,所以故D正确.故选BD.

12.B因为PDJ_平面ABCD,ADu平面ABCD,CDu平面ABCD,

所以PD±AD,PD±CD,

因为四边形ABCD为正方形，

所以CD_LAD,即PD,AD,CD两两垂直，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设QA=1,则

D(O,O,O),C(O,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),DQ=(1,1,0)环(0,0』)质=(1,

-1,0),

可得丽•丽=lxl+lx(-l)+0x0=0,5c-丽=0x1+0x(-1)+1x0=0,所以而，而，而±DC,即

PQ±DQ,PQ±DC,

因为DQCIDC=D，所以PQ_L平面DCQ,又因为PQu平面PQC,所以平面PQC±¥

面DCQ.故选B.

d

13.B如图所示，以D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x,y,z轴,1为单位

长度，建立空间直角坐标系，

__c.

\:\

、I'

'I'

旌他工…J-

B

设正方体的棱长为3,则

E(1,0,1),F(2,1,0),A.(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),B(3,3,0),DI(0,0,3),

...加=(1,1,-1),h=(-3,3,0),福=(-3,0,-3),西=(-3,-3,3