江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第四章数列综合训练新人教A版选择性必修第二册

第四章综合训练一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则()A.16 B.8 C.4 D.22.在等差数列中，已知前21项和，则的值为()A.7 B.9 C.21 D.423.在等差数列中，，，当其前项和取得最大值时，()A.8 B.9 C.16 D.174.已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则()A.1033 B.1034 C.2057 D.20585.用数学归纳法证明能被31整除时,从到添加的项数为()A.7 B.6 C.5 D.46.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举架结构，,,,是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中,,,是脊，,,,是相等的步，相邻桁的举步的比分别为,,,,若,,是公差为0.1的等差数列，直线的斜率为，则()图1图2A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.97.已知等比数列的前项和为，公比，，.若数列的前项和为，，则()A. B. C. D.8.[2024新高考Ⅰ]记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论肯定正确的是()A. B.的最小值为 C. D.存在最大值10.已知数列，1，2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是()A.B.C.D.11.已知等比数列的各项均为正数，公比为，且,，记的前项积为，则下列选项正确的是()A. B. C. D.12.[2024江苏盐城月考]设等差数列的前项和为,若,且,则下列说法正确的是()A.数列为递增数列 B.和均为的最小值C.存在正整数,使得 D.存在正整数,使得三、填空题:本题共4小题.13.设等比数列的前项和为，若，，则.14.若等差数列的前项和为,且,,数列满意，且,则数列的通项公式为.15.设数列的前项和为,若,,,则,.16.已知为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为；若已假设且为偶数时等式成立，则还须要用归纳假设证时等式成立.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从条件，，，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求正整数的值.18.设是等差数列，,且,,成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为,求的最小值.19.已知数列和满意,,,（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式.20.已知等比数列满意.（1）求的通项公式;（2）记数列的前项和为,证明：当时,.21.已知等比数列满意,.（1）求数列的通项公式;（2）设,求数列的前项和.22.已知数列的前项和为,且.（1）求数列的通项公式;（2）设,求使对随意恒成立的实数的取值范围.第四章综合训练一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C[解析]因为是1和3的等差中项，所以，即.由等比数列的性质可得.2.C[解析]等差数列的前21项和，.由等差数列的性质可得，则.故选.3.A[解析]依题意，，即，，即，所以，，所以等差数列为递减数列，且前8项为正数，从第9项以后为负数，所以当其前项和取得最大值时，．故选.4.A[解析]由已知可得,,于是，因此.5.C[解析]设,假设当时,能被31整除,当时,,则,则从到共添加了5项.故选.6.D[解析]不妨设,则,，，.由题意得,即.,,.解得.故选.7.C[解析],，，或.，，..，，，即...故选.8.C[解析]甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则,,，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有,，两式相减,得，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，正确.故选.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.AC[解析]等差数列的前项和为，公差,，，解得.，故正确；,,,均小于零，,,，均大于零，,,为的最小值，无最大值，故错误，错误；，，，故正确.故选.10.BCD[解析]由于，，，故不正确，正确；由，，，，，可得，故正确；由于该数列总有，，则，，，，，故，故正确.故选.11.ABC[解析]由于等比数列的各项均为正数，公比为，且,，所以，所以且或且.当且时，,又,所以是递增数列，所以,冲突；当且时，,即.因为，所以，，.故选.12.ACD[解析]设等差数列的公差为,因为时,,即,故,因为,所以,又,所以,即.因为恒成立,所以,故等差数列为递增数列,正确;因为,所以,即,故,由选项知,故,,所以,故为的最小值,错误;.因为,故当时,,所以存在正整数,使得,正确;,,令,因为,解得,所以存在正整数,使得,正确.故选.三、填空题:本题共4小题.13.0[解析]设的公比为，则，，所以，.14.[解析]设的公差为,则解得于是.因此.于是,,故数列的通项公式为.15.1;121[解析]由题意,可得,,所以,.再由,,得,即.又因为,所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列.所以.16.当时，左边，右边，等号成立;[解析]因为为正偶数，则归纳基础为当时，左边，右边,等式成立；归纳假设为当且为偶数时，成立，由于是正偶数，则下一个数应为.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）解若选①.，则，两式作差得，即，，所以是等差数列，首项是，公差是0，故，所以.若选②.，，故.因为，所以，即，，故{}是等差数列，首项是，公差是1，故，故.当时，，且也适合该式，故数列的通项公式.若选③.，，则，两式作差得，化简得.由知，，得，即，数列是等差数列，首项是1，公差为1，故.（2）若选①.由的通项公式知，故.又，，结合题意知，即，解得或，因为是正整数，所以.若选②.，，，结合题意知，即，解得或，因为是正整数，所以.若选③.由的通项公式知，，故.又，，结合题意知，，即，解得或，因为是正整数，所以.18.（1）解设的公差为.因为,所以,,.因为,,成等比数列，所以.所以.解得.所以.（2）由（1）知,.所以,当时，;当时,.所以,的最小值为.19.（1）证明由题设得,即.又因为,所以是首项为1，公比为的等比数列.由题设得,即.又因为,所以是首项为1，公差为2的等差数列.（2）解由（1）知，,.所以,.20.（1）解设等比数列的公比为.因为,所以.又在等比数列中和均不为0,