宁夏回族自治区银川市2025届高考数学三模理试题含解析

Page24宁夏回族自治区银川市2024届高考数学三模（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面五个式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正确的有（）A.②④⑤ B.②③④⑤ C.②④ D.①⑤【答案】A【解析】【分析】依据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.【详解】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误；任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A.2.在下列命题中，①若为复数，则为非负数；②互为共轭的两个复数的差为纯虚数；③若（，），则（是虚数单位），肯定正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】①举出反例即可推断；②结合复数的减法运算以及复数的类型即可推断；③依据虚数不能比较大小即可干脆推断.【详解】①若,则，故①错误；②设，则，所以，若，则差为0，若，则差为纯虚数，故②错误；③虚数不能比较大小，故③错误；故选：A.3.已知，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】，故，，得故选：C4.已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（）A.2 B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】依据斜二测画法可换元原图形，依据原图形计算周长即可.【详解】由直观图可得原图形如图，依据斜二测画法可知，,在中,,又,所以四边形的周长为,故选：D5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据程序框图的循环结构，依次计算，即得解.【详解】初始值：满意：满意：满意：……满意：输出：故选：D【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的实力，属于基础题.6.已知函数，则图象为下图的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据函数图象得到函数为奇函数，依据选项中的函数奇偶性，可得解除A、B；求得函数的导数，结合函数的单调性，可解除C项，即可求解.【详解】由题意，函数，依据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，对于A中，函数不是奇函数，所以A不符合题意；对于B中，函数不是奇函数，所以B不符合题意；对于C中，函数此时函数为奇函数，又由，当时，，此时函数区间单调递增，而图象中先增后减，所以C不符合题意.故选：D.7.将6名学生分成2个小组，参与数学建模竞赛活动，每个小组由3名学生组成，则学生甲､乙在同一组的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于6名学生平均分2组的全部分法有，而甲､乙在同一组的分法有，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】解：由题意得6名学生平均分2组的全部分法有，而甲､乙在同一组的分法有，所以所求概率为，故选：C.8.四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，M为线段HG上一动点，则的最大值为（）A.8 B.16 C. D.32【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，标出四个点的坐标，写出向量的坐标，利用坐标表示，结合变量的范围，即得解【详解】如图所示以为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意，其中因此：因此当时，的最大值为16.故选：B【点睛】本题考查了坐标法求解向量的数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算实力，属于中档题9.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，登记颜色后放回，连续摸3次，则登记的颜色中有红有白但没有黄的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：满意题意时，取到2红1白或者2白1红，据此可得，登记的颜色中有红有白但没有黄的概率为：.本题选择C选项.10.已知过抛物线焦点的直线与交于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的值不行能为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质及基本不等式的应用，属于中档题．

设PQ的方程为可得，可得，利用基本不等式求得最小值，从而作出判定．【详解】易得抛物线的焦点,设，，PQ的方程为，

．

，，则．

，

则．

故选：D．【点睛】PQ的方程为的形式，包括了斜率不存在的状况，可以避开分类探讨.11.已知实数满意，，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.【详解】，令，则，其几何意义为点A与点之间距离的平方，设，则点A和B分别在和的图像上，如下图，明显和互为反函数，其图像关于y=x对称，则A与B的最短距离必定在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，不妨设，则，，设，，当，，在x=1处取得最小值，即，∴当取最小值时，即是取得最小值，的最小值为；故选：D.12.2024年7月24日，中共中心办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教化阶段学生作业负担和校外培训负担的看法》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教化的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点起先向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个漂亮的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一干脆着下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（）A.从正方形起先，连续3个正方形的面积之和为B.C.使得不等式成立的的最大值为4D.数列的前项和【答案】C【解析】【分析】找到规律，得到，推导出等比数列，求出通项公式，推断B选项，进而得到从正方形ABCD起先，连续3个正方形的面积之和，推断A选项，得到的通项公式，解不等式，推断C选项，利用等比数列前n项和公式进行推断D选项.【详解】由题可得，，，……，，则，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，则，明显B正确；由题意可得：，即，，……，，于是，为等比数列，对A：连续三个正方形面积之和，A正确；对C：令，则，而，C错误；对D：，D正确．故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设数列的前项和为，，则_____.【答案】【解析】【分析】利用求得.【详解】当时，，当时，，所以，也符合上式，所以.故答案为：14.过椭圆（）的左焦点作x轴的垂线交椭圆于P，为右焦点，若,则椭圆的离心率为________【答案】【解析】【详解】分析：把代入椭圆方程得P点坐标，进而依据推断出，整理得出，进而求得椭圆的离心率e的大小.详解：由题意知点P的坐标为或，因为，所以，即，所以，所以或（舍去），故答案是.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，须要应用点在椭圆上的条件为点的坐标满意椭圆的方程，代入求得P点的坐标，依据角的大小，得到边之间的关系，从而建立关于a,c的等量关系式，从而将其转化为关于e的方程，求解即可留意其取值范围，做相应的取舍.15.如图，在长方体中，，，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为__．【答案】2【解析】【分析】连接，得出点、、在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，求出点关于直线的对称点的坐标，则答案可求．【详解】连接，则，点、、在平面中，且，，，如图1所示；在△中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，则，，；设点关于直线的对称点为，的方程为，①，直线的方程为，②由①②组成方程组，解得，，直线与的交点，．对称点，．则的最小值为2．故答案为：2．16.锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】先利用三角函数恒等变形求出，利用正弦定理表示出，用三角函数求出的取值范围.【详解】因为，所以.因为,所以，所以.所以.因为为锐角三角形，所以，所以,所以.所以，即.因为为锐角三角形，所以，解得：由正弦定理得：，.所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以.即在中，由两边之和大于第三边，所以.综上所述：.故答案为：【点睛】解三角形的最值问题包括两类：（1）利用正弦定理转化为三角函数求最值；（2）利用余弦定理转化为基本不等式求最值．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：（共60分）17.在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解状况，进行了一次创城学问问卷调查（一位市民只能参与一次）通过随机抽样，得到参与问卷调查的人的得分统计结果如表所示：组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）.①求的值；②利用该正态分布，求或；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参与问卷调查的市民制定如下嘉奖方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）概率现有市民甲参与此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参与问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.参考数据与公式：若，则，，.【答案】（1）①；②；（2）分布列答案见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）①将每组左端点值乘以对应的频率，相加即可得出的值；②计算得出，，利用原则可求得或的值；（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【详解】（1）①；②，所以，，，所以，或；（2），由题意可知随机变量的可能取值有、、、、，，，，，，.18.在四边形中，，.（1）若，求四边形的面积；（2）记和的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）连接，利用余弦定理求得，利用余弦定理求得，进而求得，然后利用三角形的面积公式求得和的面积，相加即可得出四边形的面积；（2）设，可得出，，利用余弦定理求出，进而可得而出关于的表达式，再将转化为的三角函数，利用二次函数的基本性质可得出的最大值.【详解】（1）连接，由余弦定理得，，在中，，，由余弦定理得，，可得，，故四边形面积为；（2）设，在中，有，由余弦定理得，中，有，，故有，即当时，有最大值.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查四边形面积及其最值的计算，解答的关键就是将面积表示为某角为自变量三角函数，考查计算实力，属于中等题.19.如图，在四棱锥中，平面，，，，．（1）求证：平面平面；（2）长为何值时，直线与平面所成角最大？并求此时该角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2），直线与平面所成角最大，此时该角的正弦值为.【解析】【分析】（1）依据已知条件，得到，再利用正切函数的性质，求得，得到，进而可证得平面平面；（2）建立空间坐标系，得到，，，进而得到平面的一个法向量为，进而可利用向量的公式求解【详解】（1）∵平面平面，∴，又，∴，∴，即（为与交点）．又，∴平面，又因平面，所以，平面平面（2）如图，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间坐标系，如图，设，则，则，，，设平面法向量为，则，即，取，得平面的一个法向量为，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，记直线与平面所成角为，则，故，即时，直线与平面所成角最大，此时该角的正弦值为．【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到平面，进而证明平面平面；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线与平面所成角的最大值，难度属于中档题20.已知函数，其中（1）若有两个极值点，记为①求的取值范围；②求证：；（2）求证：对随意恒有【答案】（1）①；②证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）①由题得有两个变号零点，设求出函数的单调性即得解；②利用极值点偏移的方法证明；（2）证明，再利用裂项相消求和即得证.【小问1详解】解：（1）由题得有两个变号零点，所以有两个变号零点，设当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，，当时，，，所以.(2)设，所以，所以在单调递增，又，所以又，所以所以因为，所以.【小问2详解】证明：由（1）知，所以所以对随意恒有，所以所以.21.如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点．（1）当直线与圆相切，且时，求的值；（2）过P作抛物线的两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于．【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）焦点F坐标为，设，利用圆的切线长公式、抛物线的定义建立方程求解即得；（2）设，设直线、斜率,由与抛物线相切求得，，知是方程的两根，得到，求得切点坐标，，得到直线方程并化简整理为，利用已知面积得到，与联立得，然后利用零点存在定理判定解的个数即可.【详解】（1）焦点F坐标为，设，则，由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线的距离，所以，由，得，所以或，所以或，此时与准线垂直，所以或；（2）设，则，设直线方程为，代入，得，整理得①，同理，直线方程为，有②，由①②知，是方程的两根，所以，由切线意义知，在中，，则所以，同理直线方程为即即到直线的距离所以，与联立得所以或，设，明显，又在上递增，所以在上有唯一零点所以存在两个，使得面积等于.【点睛】本题考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，面积问题，零点个数问题，难度较大，其中利用圆的切线长和抛物线的定