2025版新教材高考数学全程一轮总复习第七章立体几何第二节空间点直线平面的位置关系学生用书

其次节空间点、直线、平面的位置关系【课标标准】1.借助长方体，在直观相识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本领实和一个定理，并能用定理解决问题．必备学问·夯实双基学问梳理1.平面的基本领实基本领实1：过________________的三个点，有且只有一个平面．基本领实2：假如一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本领实3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们________________过该点的公共直线．基本领实4：平行于同一条直线的两条直线________．2．三个推论推论1：经过一条直线与______________有且只有一个平面；推论2：经过两条____直线有且只有一个平面；推论3：经过两条____直线有且只有一个平面．3．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线(2)异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．范围为：________．4．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：________________，______________，______________三种状况．5．平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系：________，________两种状况．6．等角定理假如空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角________________．[常用结论]1．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．2．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．()(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面．()(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的随意一条直线．()(4)假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()2．(教材改编)下列命题中正确的是()A．过三点确定一个平面B．四边形是平面图形C．三条直线两两相交则确定一个平面D．两个相交平面把空间分成四个区域3．(教材改编)三个平面最多把空间分成________部分，最少能把空间分成________部分．4．(易错)已知两条相交直线a，b，a∥平面α，b与α的位置关系是()A．b∥α B．b与α相交C．b⊂α D．b∥α或b与α相交5．(易错)假如OA∥O1A1，OB∥O1B1，∠AOB＝π3，则∠A1O1B1关键实力·题型突破题型一平面基本领实的应用例1[2024·辽宁抚顺一中模拟]如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点．(1)证明：E，F，G，H四点共面．(2)证明：EG，FH，AA1三线共点．[听课记录]题后师说共面、共线、共点问题的证明方法巩固训练1(1)[2024·安徽淮南一中模拟]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是()A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面(2)在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，假如EF与GH能相交于点P，那么()A．点P不在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ABC内D．点P必在平面ABC外题型二空间两直线的位置关系例2(1)[2024·河北英才国际学校模拟](多选)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的有()A.直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线

(2)[2024·辽宁沈阳二中模拟]如图，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.[听课记录]题后师说空间两直线位置关系的判定方法巩固训练2(1)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论肯定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定(2)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不行能是()A．垂直 B．相交C．异面 D．平行题型三异面直线所成的角例3[2024·河南焦作期末]在四面体ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为50°，M，N分别是边BC，AD的中点，则异面直线MN和AB所成的角为()A．25°或50° B．25°或65°C．50° D．65°[听课记录]题后师说求异面直线所成角的步骤巩固训练3[2024·全国乙卷]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A．π2 B．C．π4 D．其次节空间点、直线、平面的位置关系必备学问·夯实双基学问梳理1．不在一条直线两个点有且只有一条平行2．这条直线外一点相交平行3．相交直线平行直线任何04．直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行5．平行相交6．相等或互补夯实双基1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不肯定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确．答案：D3．解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．答案：844．解析：因为a，b是两条相交直线，所以a，b确定一个平面β，若β∥α，则b∥α，若β与α相交，则b与α相交．故选D.答案：D5．解析：∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴当直线OA，OA1，OB，OB1中方向都相同或都相反时，∠A1O1B1＝π3当直线OA，OA1，OB，OB1中方向有一条不同，一条相反时，∠A1O1B1＝2π答案：π3或关键实力·题型突破例1证明：(1)如图，连接EF，GH.∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.∵B1E∥C1F，且B1E＝C1F，∴四边形B1EFC1是平行四边形，∴EF∥B1C1，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)如图，延长EG，FH相交于点P.∵P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，∴P∈平面ABB1A1.∵P∈FH，FH⊂平面ACC1A1，∴P∈平面ACC1A1.∵平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，∴P∈AA1，∴EG，FH，AA1三线共点．巩固训练1解析：(1)因为AA1∥CC1，则A，A1，C1，C四点共面．因为M∈A1C，则M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理，O、A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A、M、O三点共线，从而M，O，A1，A四点共面，A，O，C，M四点共面．由长方体性质知：OM，BB1是异面直线，即B，B1，O，M四点不共面．故选C.(2)在空间四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，有E∈平面ABC，F∈平面ABC，则直线EF⊂平面ABC，同理，直线GH⊂平面ADC，因EF、GH能相交于点P，即P∈EF，P∈GH，因此P∈平面ABC，P∈平面ADC，而平面ABC∩平面ADC＝AC，于是有P∈AC，A不正确，C正确，D不正确；又直线AC与BD没有公共点，即点P不在直线BD上，B不正确．故选C.答案：(1)C(2)C例2解析：(1)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；如图，取DD1的中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．故选CD.(2)依据题意，在①中，MG∥HN且MG＝NH，则四边形MGHN是平行四边形，有HG∥MN，不是异面直线；图②中，G、H、N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；在③中，G、M分别是所在棱的中点，所以GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，不是异面直线；图④中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，∴GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．答案：(1)CD(2)②④巩固训练2解析：(1)∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．故A、B、C错误．故选D.(2)∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，∴n在平面α上，m与平面α相交，∵A∈m，A∈α，∴A是m和平面α相交的点，∵m和n异面或相交，肯定不平行．故选D.答案：(1)D(2)D例3解析：取AC中点G，连接GM，GN，∵M、N分别为边BC和AD的中点，∴GM∥AB，GN∥CD，且GM＝12AB，GN＝12∴异面直线AB与CD所成的角是∠MGN或其补角，由GM綊12AB，GN綊12CD，AB＝CD，得GM＝GN，异面直线MN和AB所成的角是∠异面直线AB与CD所成的角为50°，则∠EGF＝50°或130°，若∠MGN＝50°，则∠GMN＝65°，异面直线MN和AB所成的角是65°，若∠MGN＝130°，则∠GMN＝25°，异面直线MN和AB所成的角是25°.故选B.答案：B巩固训练3解析：方法一如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD