2023-2024学年吉林省吉林市友好学校高二下学期期末联考数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省吉林市友好学校高二下学期期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有(

)A.8种 B.12种 C.16种 D.18种2.下列两个变量中能够具有相关关系的是(

)A.人的身高与受教育的程度 B.人的体重与眼睛的近视程度

C.企业员工的工号与工资 D.儿子的身高与父亲的身高3.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数q的值是(

)X012P0.361−2qqA.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.已知函数fx=x2−2x−4lnA.2 B.2−3ln2 C.ln2−35.掷一个均匀的骰子.记A为“掷得点数小于6”，B为“掷得点数为偶数”，则PBA为(

)A.13 B.25 C.356.张老师与甲､乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为(

)A.415 B.15 C.2157.若函数fx=12ax2−A.9,+∞ B.14,+∞ C.−∞,9 8.若函数f(x)=e3x−e2x−A.[−2,+∞) B.[−e,+∞) C.[−e2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(

)A.若任意选择三门课程，选法总数为A73

B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C21C62

10.若随机变量X服从两点分布，其中PX=1=14，EX，DXA.PX=0=3EX B.E2X−1=111.已知函数fx=xlnx−ax+1A.当a=0时，函数fx的最小值为1−1e

B.当a=1时，函数fx的极大值点为x=1

C.存在实数a使得函数fx在定义域上单调递增

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为y=t，则在t=4min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为

13.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8∼12月在D网络平台的月销售额y(单位：百万元)与月份x具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为y=1.2+mx+m，若该国货品牌2023年8∼12月在D网络平台的总销售额为225百万元，则m的值为

14.某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为2:1:1，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为0.2，0.3，p0<p<1，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.275，已知该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，则p的取值范围是

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数y=xln x．(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程．16.(本小题12分)已知在2x2+(1)求n的值；(2)求展开式中含x5的项．17.(本小题12分)某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A，B在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗，为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各100株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图(统计数据分组区间为50,60,60,70，70,80,80,90，(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；(2)填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由．优质花苗非优质花苗合计甲培育法50乙培育法70合计附：χ2=a0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题12分)面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．(1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N60,144，规定X≥84为达标，求进入面试环节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数)(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为12，后两题答对的概率均为13，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩附：若X∼Nμ,σ2σ>0，则Pμ−σ<X<μ+σ≈0.68319.(本小题12分)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球．(1)若最后摸出的2个球颜色相同，求这2个球是从乙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记1分，每个白球记0分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望．

答案解析1.C

【解析】∵小五和小明两人从4门课程中各选修1门，∴由乘法原理可得小五、小明所选的课程的选法有4×4=16(种)．故选：C2.D

【解析】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误；对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误；对于C：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误．对于D：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确．故选：D3.B

【解析】由已知得0.36+1−2q+q2=1，解得q=0.2或q=1.8(故选：B．4.D

【解析】函数fx的定义域为0,+∞因为f所以f′x令f′x=0，则2x+1x−2x=0，解得x0,222,+∞f′−0+f单调递减极小值单调递增由此表可知，当x=2时，fx的取得极小值为f故选：D．5.B

【解析】掷一个均匀的骰子，有1,2,3,4,5,6共6种结果，事件A包含点数为1,2,3,4,5，共5种结果，所以P(A)=5事件AB包含点数为2,4共2种结果，所以P(AB)=2所以PB故选：B6.C

【解析】根据题意可知共有A6第一步，若甲与乙站在一起，可将甲、乙两人看成一个整体再与其他3名同学进行排列，共有A2第二步，又因为张老师必须站排头或排尾，共有A2因此所求概率为P=A故选：C7.C

【解析】解：由

fx=12ax①当

a≤0

时，

f′x<0

，此时函数

f所以当

a≤0

时，函数

fx=12ax②当

a>0

时，令

f′x=0

，可得

x=当

0<x<1a

时，

f′x<0,fx

单调递减；当

x>所以函数

fx

的减区间为

0,1a

，增区间为若函数

fx=12ax只需

13<1a

综上所述，

a<9

．故选：C8.D

【解析】由f(x)=e3x−令g(x)=e则g′(x)=3e当g′(x)>0得x>0，g(x)单调递增，当g′(x)<0得x<0，g(x)单调递减，所以g(x)≥g(0)min=−1当x趋向于正无穷大时，g(x)也趋向于正无穷大，所以函数f(x)存在零点，则a≥−1．故选：D．9.ABD

【解析】解：对于A.若任意选择三门课程，选法总数为C73种，故A错误；

对于B.若物理和化学选一门，有C21种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有C52种选法

若物理和化学选两门，有C22种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有C51种选法

由分步乘法计数原理知，总数为C21C52+C22C51=25种选法，而C21C62=30，故B错误；

对于C.若物理和历史不能同时选，选法总数为C73−C10.ACD

【解析】对A，因为随机变量服从两点分布，且PX=1=1所以EX=0×34+1×对B，E2X−1=2EX对C，DX=(0−1对D，D4X+1=4故选：ACD．11.AD

【解析】因为函数fx=xlnx−ax+1，则当a=0时，则f′x=lnx+1，令当x∈0,1e时，f′当x∈1e,+∞时，f′当x=1e时，fx有极小值，即最小值f当a=1时，则f′x=lnx，令当x∈0,1时，f′x<0当x∈1,+∞时，f′x>0当x=1时，函数fx有极小值，则x=1为极小值点，故B假设存在实数a使得函数fx则f′x≥0在x∈0,+∞上恒成立，即ln所以a≤lnx+1min在x∈0,+∞上恒成立，因为所以函数y=ln故不存在实数a使得函数fx在定义域上单调递增，故C若fx≥0恒成立，即xln即a≤lnx+1令gx=lnx+1x，则当x∈0,1时，g′x<0当x∈1,+∞时，g′x>0当x=1时，gx有极小值，即最小值gxmin=g1故选：AD12.14【解析】解：因为

y=ft=所以

f′t=∴

f′4=故在

t=4min

时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为

14

mm/故答案为：

14

13.3

【解析】由题意可知，x=8+9+10+11+125回归方程必过样本点中心x,则45=1.2+m×10+m，解得：故答案为：314.0.3,0.4

【解析】若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率为0.2×22+1+1+0.3×因为该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，所以p≥0.3，故p的取值范围是0.3,0.4．故答案为：0.3,0.4．15.解：(1)y=xlnx，

∴y′=1·lnx+x·1x=1+lnx

∴y′=lnx+1；

(2)k=y′|x=1=ln1+1=1，

又当x=1时，y=0，所以切点为(1,0)，

∴切线方程为y−0=1·(x−1)【解析】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

(1)运用积函数的求导公式计算这个函数的导数即可．

(2)欲求在点(1,0)处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．16.【小问1详解】二项式2x2+1xn依题意可得Cn1=5【小问2详解】二项式2x2+1x5令10−52r=5所以T3=23C【解析】(1)依题意可得Cn(2)写出展开式的通项，令10−52r=517.【小问1详解】由频率分布直方图可得0.005+a+0.025+0.04+0.02×10=1解得a=0.010，因为0.005+0.01+0.025×10=0.4<0.5，0.005+0.01+0.025+0.04所以中位数位于80,90，令中位数为x，则有0.4+0.04×x−80解得x=82.5，故综合评分的中位数为82.5；【小问2详解】由频率分布直方图可得优质花苗的频率为0.04+0.02×10=0.6所以优质花苗共有2×100×0.6=120株，则非优质花苗共有200−120=80株，所以2×2列联表如下所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法5050100乙培育法7030100合计12080200零假设：优质花苗与培育方法无关，χ2根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为优质花苗与培育方法有关，该推断犯错误的概率不大于0.01；【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1得到方程，求出a的值，再根据中位数计算规则计算可得；(2)首先求出优质花苗的频率，即可得到其数量，从而完善列联表，计算出卡方，即可得解．18.【小问1详解】因为

X服从正态分布N60,144，所以μ=60，σ=12，84=μ+2σ所以PX≥84进入面试的人数Z∼B200,0.023，E因此进入面试大约为5人.【小问2详解】由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，则PY=0PY=2PY=4PY=6所以EY【解析】(1)根据正态分布的性质求出PX≥84(2)依题意可得Y的可能取值为0，2，4，6，求出所对应的概率，即可求出数学期望．19.【小问1详解】依题意从甲箱中摸出