2023-2024学年河南省开封市高二下学期7月期末数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省开封市高二下学期7月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(2,−1,3)，b=(4,2,x)，且a→⊥bA.−6 B.−2 C.2 D.62.一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X=1,抽到次品,0,抽到正品,则E(X)=A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.0953.已知等差数列{an}中，a2+A.−2 B.−1 C.0 D.14.曲线f(x)=cosx在点π2,0A.x=π2 B.x−y−π2=0 5.已知(1+x)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是(

)A.21 B.42 C.84 D.1686.在圆C：(x−2)2+y2=4上任意取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆C上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是(

)(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点A.4x2+(y−2)2=4 B.x7.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个不同的极值点x1，xA.−∞,12 B.14,128.在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且AN=λDA，λ∈(0,1)，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为(

)A.23 B.79 C.7二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.由成对样本数据(xi，yi)，1≤i≤15且i∈Z得到经验回归方程为y=0.8x+25.8，其中yi(单位：cm)A.直线y=0.8x+25.8必经过点(x,y)

B.直线y=0.8x+25.8至少经过点(xi,yi)，1≤i≤15且i∈Z中的一点10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Tn为等比数列{bnA.a3a5=b3+b511.过抛物线y2=8x上一点P作圆C：(x−2)2+y2A.∠APB的最大值为π3 B.∠APB的最大值为2π3

C.|AB|·|PC|可能取到3 D.|AB|·|PC|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆C：x2+y2−2x+4y+1=0，则圆C13.已知双曲线x2a2−y2b14.学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，2个集体节目分别安排在第1个和最后1个，还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有__________种不同的排法(填写数字)．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1(−2,0)，F2(1)求C的标准方程；(2)已知直线l与PF2平行，且与C有且只有一个公共点，求l16.(本小题12分)已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，在(1)求数列{b(2)插入的数构成一个新数列，求该数列前2n项的和T2n．17.(本小题12分)在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，在PA，PB，PC的中点中选择一个记为点E，使得四面体E−BCD为鳖臑．(1)确定点E的位置，并证明四面体E−BCD为鳖臑；(2)若底面ABCD是边长为1的正方形，求平面PAB与平面BDE夹角的余弦值．18.(本小题12分)在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为25，各球的结果相互独立．已知在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且P(X=2)=(1)求p的值；(2)求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值；(3)记事件“X=2n，n∈N ​∗且甲获胜”的概率为P(19.(本小题12分)已知函数f(x)的定义域为D，其中D⊆R.对于点M(a,b)，设S(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2.若S(x)在x=x(1)若f(x)=x32，D=(0,+∞)，M52(2)已知函数f(x)，D=R，M1(t−1,f(t)−et)，M2(t+1,f(t)+et)，证明：对任意t∈R，P(t,f(t))既是答案解析1.B

【解析】解：由

a→⊥b→又因为a=(2,−1,3)，b所以a⋅即x=−2

，2.A

【解析】解：根据X的定义，X=1=“抽到次品”，X=0=“抽到正品”，

则P(X=0)=0.95，P(X=1)=0.05．

那么X的分布列如下表所示．X01P0.950.05E(x)=0×0.95+1×0.05=0.05，3.B

【解析】解：因为a2+a5=8，a又a5−a2a1故选B．4.D

【解析】解：由y=cosx，得y′=−sinx，

∴y′|x=π2=−1，

则函数y=cosx在点π2,0处的切线方程是y−0=−1×(x−π25.A

【解析】解：∵(1+x)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，

∴Cn2=Cn6.D

【解析】解：设M(x,y)，由题意D(x,0)，P(x,y

 ​1)

∵M为线段PD的中点，

∴y

 1+0=2y，y

 1=2y．

又∵P(x,y

 ​1)在圆(x−2)2+y2=4上，

∴(x−2)2+y

 ​1

 ​2=47.C

【解析】解：因为函数f(x)=x2+aln(x+1)，所以f′(x)=2x2+2x+ax+1，

令g(x)=2x2+2x+a，由题意得g(x)=0在(−1,+∞)上2个解8.C

【解析】解：将正四面体ABCD放入正方体中，建立如图所示空间直角坐标系，

因为正四面体ABCD棱长为1，

所以正方体棱长为22，

则A(0,22,22)，D(22,22,0)，M(24,0,24)，C(0,0,0)，

CA=(0,22,22)，DA=(−22,0,22)，AM=(24,−22,−9.AC

【解析】解：经验回归方程必过样本中心点(x,y)，A正确;

直线y=0.8x+25.8

可能不经过任何一个样本点，B不正确；

当x=180时，y=0.8×180+25.8=169.8，C正确；

两位父亲的身高相差10.BCD

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，设等比数列{bn}的公比为q，

对于A，a3a5=a4−da4+d=a42−d2=4−d2，

b3+b5=b4q+b4q=2q+2q11.AD

【解析】解：设P(

x0，

y0)，则y02=8x0，圆(x−2)2+y2=1的圆心为C(2,0)，半径为1，

则|PC|

 ​2=

(x0−2)2+

y02=

(x0−2)2+8x0=

x02+4

x0+4=

(x0+2)2

≥4，

即|PC|的最小值为2，

设

∠APB=

θ，0<θ<π，(如图)

则

sin

θ2=12.2

【解析】解：圆C的方程是x2+y2−2x+4y+1=0，即圆C：(x−1)2+(y+2)13.3【解析】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0，

∴ba=2，即b=2a，

∴在椭圆14.240

【解析】解：第一步，排2个集体节目，有A22=2种排法．

第二步，排中间6个节目，

3个音乐节目全排列，有A33=6种排法，

因为同类节目不能连续安排，分两种情况：

①将2个舞蹈节目和1个小品节目插入3个音乐节目全排列形成的4个空中，每个空最多插入一个节目，且中间2个空必须都有节目，此时有2A33=12种排法；

②将2个舞蹈节目和1个小品节目分成两组，其中一组有1个舞蹈节目和1个小品节目，另一组有1个舞蹈节目，将这两组排在3个音乐节目全排列形成的中间2个空中，此时有C215.解：(1)由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

由椭圆的定义知，c=2，

2a=(52+2)2+(32)2+(52−2)2+(32)2=210，

可得a=10，

所以b2=a2−c2=10−4=6，

【解析】(1)设出椭圆方程，再根据椭圆定义得到参数a值，再由a，b，c的关系得到各个值，进而写出椭圆方程即可；

(2)联立直线和椭圆方程得到二次方程，有唯一的根，则根据判别式等于0即可得．16.解：(1)设数列{bn}的公差为d′，

由题意知，b1=a1=2，b4=a2，d′=b4−b14−1=a2−a13=d3=1，

所以bn=【解析】(1)设数列{bn}的公差为d′，然后得到d′=b4−b14−1=a2−a13=d3=117.解：(1)点E为PC的中点，

因为PD=CD，所以DE⊥PC，

又因为PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PD，

又BC⊥CD，PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，

所以BC⊥平面PCD，

又DE，PC⊂平面PCD，所以BC⊥DE，BC⊥PC，

由DE⊥PC，BC⊥DE，PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，

可得DE⊥平面PBC，

又BE⊂平面PBC，所以DE⊥BE，

所以∠DEC=∠DEB=∠BCD=∠BCE=π2，

所以四面体E−BCD为鳖臑．

(2)如图，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，

AD=CD=PD=1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E(0,12,12)，

AB=(0,1,0)，AP=(−1,0,1)，DB=(1,1,0)，DE=(0,12,12)，

设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z)，

则AB⋅n=0,AP⋅n=0,即y=0,−x+z=0,

取x=1，则平面ABP的一个法向量为n=(1,0,1)，

设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z)，

【解析】(1)点E为PC的中点，由线面垂直的判定与性质证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，得出平面ABP的一个法向量和平面BDE的一个法向量，利用空间向量求解即可．18.解：(1)由题意可知，X=2对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，

所以P(X=2)=p×25+(1−p)×(1−25)=12，解之得p=12；

(2)Y的可能取值为0，1，2，

Y012P311所以E(Y)=310×0+12×1+15×2=910．

(3)X=2n且甲获胜，就是10:10平后，两人又打了2n个球该局比赛结束，

且这2n个球的得分情况为：前2n−2个球是每两球甲、乙各得1分，

最后第2n−1，2n个球均为甲得分;

X=2(n−1)且甲获胜，就是10:10平后，

两人又打了2n−2个球该局比赛结束，且这2n−2个球的得分情况为：前2n−4个球是每两球甲、乙各得1分，最后第2n−3，2n−2个球均为甲得分，

按照甲先发球，甲、乙各得1分的概率为12×35+12×2【解析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式可得结果；

(2)Y的可能取值为0，1，2，得出对应概率，可得Y的分布列和均值；

(3)由题意得P(An19.解：(1)当f(x)=x32，D=(0,+∞)，M(52,0)，

S(x)=(x−52)2+(x32)2=x3+x2−5x+254，

S′(x)=3x2+2x−5=(3x+5)(x−1)，

由S′(x)<0，得0<x<1，由S′(x)>