数学选修2-2定积分的概念练习题含答案

数学选修2-2定积分的概念练习题含答案

学校：班级：姓名：考号：

1.已知梯形ZBCD中，AD//BC,如果中位线E尸的长为6cm,BC=2AD,那么4。的长

是（）

BL---------------------------V?

A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm

2.Asinxdx=（）

A.-2B.OC.2D.l

3.曲线y=sinx（0WxWyr）与x轴所围成图形的面积为（）

A.1B.2C,20.71

4.2xdx=（）

A.6B.5C.4D.3

5.曲线y=x—/与％轴所围成的封闭图形的面积是（）

A.；B.lC.1D.2

6.定积分/：（2x+｝dx的值为（）

A.e2—1B.e2C.e2+1D.e2+2

2

7.已知数列｛Qn｝是等比数列，且02013+Q2015="8—xdx.则。2014缶2012+

2a2014+。2016）的值为（）

A.（7r+1）2B.47T2C.l67r2D.（7T+2）2

8.抛物线y2=4x与直线y=x-8所围成图形的面积为（）

A.84B.168C.36D.72

2,xe[-l,1)

9.设f(x),则f"(x)dx=(

1,xG[1,2]

B.-+3

10.设/'(x)=则口/(%)公=()

B.e4+eC.-e"+e?+2D.e4+e2-2

11.在梯形相交于点

，若=5,=12,中位线长为当，△的面积为

12.已知Q€[0,J则当cosx-sin%)d%取最大值时，a=

13.仁\[xdx=.

14.由％=0,%=wy=0相y=cosx围成的封闭图形面积是

15.定积分J^sinxdx=

16.cos2；d%+心V1—x2dx=.

17.f：(2x+71—%，)dx=

18.若A-5|d%=25,则（2%-1尸的二项展开式中/的系数为

试卷第2页，总28页

19.计算：J4-(x-2尸dx=.

20.sin2.

21.圆外切等腰梯形的中位线长是10cm,那么它的腰长是10cm.

22.由曲线y=：与直线y=x—1及x=1所围成的封闭图形的面积为

23.求抛物线y=3-2x-M与％轴围成的封闭图形的面积.

24.利用定积分的几何意义表示下列曲线围成的平面区域的面积

(1)y=2%与y=3-x2；

(2)y=|sinx|,y=0,x=2,%=5；

(3)y=log|x(log以g为底，%的对数)，y=0,%=|,%=3.

25.求由曲线y=cosx(04x号)与直线％=0,y=0所围成的图形的面积.

26.计算下列定积分：

(1)J；x4dx；

(2)A12x5dx；

(3)(%3+x)dx；

(4)A14x3dx.

t,0<t<20

27.做变速直线运动的质点的速度方程是u(t)=20,20<t<80(单位：m/s).

,100-t,80<t<100

(1)求该质点从t=10s至肚=30s时所走过的路程；

(2)求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程.

28.计算由曲线必=2刈直线y=x-4所围成的图形的面积.

29.计算下列积分

(1)f\V1—x2dx

J-1

7T

(2)f2(cos--sin-)2dx.

022

30.计算由y=/一2久+3,y=%+3所围成的封闭图形的面积.

31.求定积分口/(x)dx,其中/(x)=『；2(兽:°).

33.利用定积分的几何意义计算.

(1)f^xdx；

22

(2)f^Ry/R—xdx.

34.求由抛物线y2=4%与直线y=x-3所围成的平面图形的面积.

35.计算定积分：

⑴生)=犀建箕为求。⑴改

试卷第4页，总28页

,、2/------

(2)r%Vx—1dx,

,

36.计算：J^/(x)sinydx+[/(x)cosy-nx]dy9其中/''(%)连续，L为从点4(2,2兀)沿圆

周(％-I/+(y-〃)2=1+兀2按逆时针方向到o(o,0).

37.设河二。式/—Q%+匕产4%,求q,b为何值时，M最小.

38.计算下列定积分

(l)J^(2x-x2)dx；

(2)，(3-2x)dx；

(3)^^x2dx；

(4)f^cosxdx.

39.求定积分：\x-a\dx.

40.求J37==dx.

JV3x+1

参考答案与试题解析

数学选修2-2定积分的概念练习题含答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

A

【考点】

曲边梯形的面积

【解析】

根据梯形的中位线定理，贝|JEF=：Q4D+BC),再由BC=24D,求出4D即可.

【解答】

•••EF是梯形的中位线，

EF=*4D+BC),

.BC—2.AD1EF=6cm,

6=+2AD),

AD=4cm.

2.

【答案】

c

【考点】

定积分

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：sinxdx=(―COSX)|Q=1—(-1)=2.

故选C.

3.

【答案】

B

【考点】

定积分

【解析】

曲线y=sinx(0<x<〃)与x轴所围成图形的面积，就是正弦函数y=sinx在［0,网上的

定积分.

【解答】

解：曲线y=sinx(0WxW兀)与4轴所围成图形的面积为：

「sinxdx=(―cosx)|o=-COSTT—(―cosO)=2.

故选B.

4.

试卷第6页，总28页

【答案】

D

【考点】

定积分

【解析】

直接根据定积分的运算法则求解即可.

【解答】

解：f^2xdx=x2\l=22-I2=3

故选D.

5.

【答案】

B

【考点】

定积分

【解析】

要求曲线y=x-/与x轴围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求

2fg(x—/)dx即可.

【解答】

解：y=%-炉与”轴的交点(-1,0),(0,0),(1,0)且函数的图象关于原点对称

S=2f^(x-x3)dx=2(1x2-^x4)|Jdx=2(|-i)

故选B.

6.

【答案】

B

【考点】

定积分

【解析】

根据积分公式直接进行计算即可.

【解答】

解：2x+^)dx=(x2+lnx)|=e2+Ine-l2—Ini=e2,

故选：B.

7.

【答案】

D

【考点】

定积分

【解析】

求定积分可得。2。13+02015=兀+2,由等比数列的性质变形可得。2。14(。2012+

2a2014+a2016)=(a2013+。2015)2，代值计算可得.

【解答】

解:由定积分的几何意义可得J；VSRdx.

f2后7J1c871—16,r

LV8—%2dx=-x7rx8----------=兀+2.

Jo48

故412013+«2015=JQy/8-X2dx=It+2.

a2014(a2012+2G2014+a2016)

=a2014'a2012+2a2014,a2014+a2014,a2016

=020132+2a2013,Q2015+Q20152

=(@2013+a2015)2=(兀+2)2

故选：D.

8.

【答案】

D

【考点】

定积分

【解析】

联解可得抛物线y2=4x与直线y=%-8交于4（4,一4）和8（16,8）,然后将两个曲线看

成关于y的函数，得所围成的图形面积的s=「j（y+8）-；y2]dy,再利用积分计算

公式和运算法则，即可算出所求面积.

【解答】

解：抛物线y2=4x与直线y=x—8方程联解，得|『二,松;普

•1.两个图象交于点4(4,一4),8(16,8)

由抛物线y2=4x得x=(y2,由直线y=x-8得x=y+8

将两个曲线看成关于y的函数，得所围成的图形面积为

S=JJ⑶+8)-%2]dy=(|y2+8y-^y3)\-4

1111

=(-X82+8X8-—X83)-[-X(-4)2+8x(-4)--x(-4)3]=72

4J.乙.4

故选：D

9.

试卷第8页，总28页

【答案】

A

【考点】

定积分

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：根据定积分性质可得广"(无)dx=。］(行中)dx+-i)dx,

根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，

以1为半径的圆的面积的土

C(、l_%2)dx=p

f^f(x)dx=^+(i%3-^)1?=7+1.

故选4

10.

【答案】

D

【考点】

定积分

【解析】

根据积分公式进行分段求解即可.

【解答】

解：•••/(x)=eW,

当一2<%<。时，/(x)—e㈤-e~x,

当04%44时,/(x)=el。=ex,

xx-x244

J：2f(x)dx=J°2e~dx+J；edx=—e|°2+e"才=—1+e+e—e0=e+

e2—2,

故选：D.

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

11.

【答案】

ABCD.AB.CD^C.BD^.AC.BD.AOB.S^△C。。的面积为$2，则底+医=同

【考点】

勾股定理的逆定理

梯形

曲边梯形的面积

【解析】

作BE〃AC,从而得到平行四边形ACEB,根据平行四边形的性质及中位线定理可求得

DE的长，根据勾股定理的逆定理可得到^OBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯

形的高，因为△4。3和4COD的面积之和等于梯形的面积从而不难求解.

【解答】

件BE“AC,

ABIICE,：.CE=AB,

•••梯形中位线为6.5,

AB+CD=13,

・•.DE=CE+CD=AB+CD=13,

vBE=AC=S,BD=12,由勾股定理的逆定理，

得为直角三角形，即4EBD=ZTOD=90°,

设SAEBO=S,

则S2：S=D02：£)B2,

S1.S=OB2：BD2,

•同+医=器遮+器遮=鬻遮=底

S=12x5x-=30,

2

yfS[+yfS^=V30.

故

12.

【答案】

7T

4

【考点】

定积分

【解析】

先根据定积分的定义表示出J；(cosx-sinx)dx,然后利用三角函数中辅助角公式进行

化简，即可求出最值，从而求出此时的a的值.

【解答】

解：(cosx—sinx)dx=(sinx+COSX)|Q=sina+cosa—(sinO+cosO)

=夜sin(a+^)—1,

当a=即寸，(cosx-sinx)dx取最大值夜—1.

故答案为：7

4

13.

【答案】

16-4V2

3

【考点】

定积分

试卷第10页，总28页

【解析】

求出被积函数的原函数，然后代入积分上限和下限后作差得答案.

【解答】

解：^y/xdx=|xz|2

7__n__

，义护一扬

__16-4企

一~3~・

故答案为：咛g

14.

【答案】

3

【考点】

定积分

【解析】

求由x=O,x=竽，y=0相y=cosx围成的封闭图形面积，首先作出余弦函数y=

cosx在［0,州上的图象，

由图象看出封闭图形有两部分构成，x轴上方的部分直接求余弦函数在［0,习上的定积

分，而x轴下方的是余弦函数在g,学］上定积分的负值.

【解答】

解：如图，

由x=0,x=/,y-0机=cosx围成的封闭图形面积为:

n3nn3兀

"cosxdx—fn2cosxdx=sinx|j—sinx|f=sin^—sinO—(sin—sin-)=1+2=3.

22

故答案为3.

15.

【答案】

2

【考点】

定积分

【解析】

由定积分的定义根据公式直接变形，求出定积分的值即可

【解答】

解：定积分sinxdx=(-cosx)|o=1+1=2

故答案为：2.

16.

【答案】

7T+1

2

【考点】

定积分

【解析】

利用倍角公式对COS??进行降幕，求出其原函数，对于「万？dx的值，我们可以利

用他表示的几何意义即三角形的面积进行求解；

【解答】

解：店cos2；dx=居(1+cosx)dx=?+2sinx|j=?+方

定积分子71一"dx中y=71一%22。在(0,1)上的积分就是圆/+y2=1,在第

一象限的面积，

J：V1—X2dx=-X7T=-,

J。44

cos2-dx+J：y/1—x2dx—-+-+-=

J。2与4242

故答案为：等

17.

【答案】

71

1+4

【考点】

定积分

【解析】

利用定积分的运算性质以及几何意义，可以得到所求.

【解答】

解：fg2xdx=x2|J=1,

「VI二Ndx表示以原点为圆心，1为半径的圆的面积的%故J01Vl==

所以C(2x+V1-x2)dx=1+\

故答案为：1+J

4

18.

【答案】

180

【考点】

试卷第12页，总28页

定积分

【解析】

由题意，先由积分求n值，再利用二项式系数的性质求出二项式的系数即可得到所求的

答案

【解答】

解：C|x-51dx=25,n=10.

则(2%—I)】。的二项展开式中，x2的系数为此()22(—1)8=180,

故答案为180.

19.

【答案】

【考点】

定积分

【解析】

J；J4一(x-2尸dx表示如图阴影部分的面积,而S掰影=2S-BC+S扇形GW，解得即

可.

【解答】

解：令,4-(X-2r=y,y>0,

(x-2)2+y2=4,

则J；J4-(x-2尸dx表示如图阴影部分的面积,

•・S阴影=2sMB。+S/^CAD=2x-xlx2+-7rx4=2+y,

20.

【答案】

7T—2

4

【考点】

定积分

【解析】

根据函数的积分公式即可得到结论.

【解答】

TT7T兀

解：J^sin2|dx=J^(|-^cosx)dx=(|x-|sinx)|2=?一]=

故答案为：?

4

三、解答题(本题共计20小题，每题10分，共计200分)

21.

【答案】

如图：连接OG,过户作FH_L8C于H

/.乙1=90°,42=90°,FH=OG.

,/EF//BC,

乙DFE=CFCB,

△OGF=△FHC,

FC=OF,

FC=\CD=\EF,

【考点】

等腰梯形的性质

曲边梯形的面积

切线的性质

【解析】

连接OG,过F作FHJ.BC于H,根据己知可得到△OGFw/iFHC,从而求得FC=OF,

即EF=CD,从而就求得其腰长.

【解答】

如图：连接。G,过尸作FHJ.BC于H

41=90°,42=90°,FH=OG.

EF//BC,

：.乙DFE=^FCB,

：.4OGFm4FHC,

：.FC=OF,

：.FC=-CD=-EF,

22

试卷第14页，总28页

22.

【答案】

1

2ln2--

2

【考点】

定积分

【解析】

（1）先求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出封闭图形的面积，进而求解

即可.

【解答】

解：画图得：

三个交点分别是(1,0)，(1,2),(2,1),

故曲线y=:与直线y=x-1及直线％=1所围成的封闭图形的面积为：

S=('—x+1)=(2lnx--+x)|^——2ln2-2+24---1——'2ln2--.

故答案为：2ln2—

23.

【答案】

解：由3—2%—%2=o,得％=—3,x=1

2231

S=/23(3—2%—x)dx=(3%—%—1x)|_—3

127

=(3—1——)—(—9-9+—)

_32

=T

【考点】

定积分

【解析】

由由3-2%—%2=。，得％=—3,久=1再由图形可知求出工从—3到1,3—2%—x2Jt

的定积分即为抛物线y=3-2%-/与％轴围成的封闭图形的面积.

【解答】

解：由3—2x—%2=o,得％=—3,x=1

2231

S=/23(3—2%—x)dx=(3%—x—1x)|_—3

127

=(3—1-—(—9-9+—)

_32

=可

24.

【答案】

解：(1)将y=2%代入y=32得/+2x-3=0,解得％=1或%=-3,

试卷第16页，总28页

(2)S=《|sinx|dx；

(3)S=J?|logix|dx.

22

【考点】

定积分

微积分基本定理

【解析】

根据积分的几何意义进行表示即可.

【解答】

解：(1)将y=2%代入y=3——得%2+2%—3=0,解得％=1或%=—3,

(2)S=C|sinx|dx；

(3)S=J?|logix|dx.

22

25.

【答案】

由曲线y=cosx(0<x<5)与直线x=0,y=0所围成的图形,

店cosxdx=sin^—sinO=l,

故由曲线y=cosx(0<x<)与直线x=0,y=0所围成的图形的面积为1

【考点】

微积分基本定理

定积分

【解析】

由曲线y=cosx(0Wx号)与直线x=0,y=0所围成的图形，根据定积分求出面积即

可.

【解答】

由曲线y=cosx(0<x</与直线x=0,y=0所围成的图形，

r一7T

JJcosxdx=sin-—sinO=1,

故由曲线、=85%(0<%<J)与直线％=0，y=0所围成的图形的面积为1

26.

试卷第18页，总28页

【答案】

fo—dx=(|x5)|^=：x3$-0=等;

J：2xsdx=(jx6)!^=|x36-|X(-1)6=争

fo(x3+x)dx=(ix4+|x2)|^=^x34+ix32-0=y；

4x3dx=x4l-i3=34—(-1)4=80.

【考点】

微积分基本定理

定积分

【解析】

直接利用定积分运算法则求解即可.

【解答】

fox4dx=(|x5)|g=(x35一0=等；

2x5dx=(|x6)|^=|X36-|X(-1)6=~

fo(x3+x)dx=(*+*)用=;X34+|X32-0=Y：

E4x3dx=”T3=34_(_i)4=80.

27.

【答案】

解：⑴质点从t=10s到t=30s时所走过的路程s=琮£丸+琮20dt=|t2|+

20tl防=350m,

(2)质点从开始运动到运动结束共走过的路程S=f^otdt+琮20dt+C：°(100-

t)dt=-t2|^+20t|煞+(100t--t2)|吸=200+1200+200=1600m.

2020280

【考点】

定积分

分段函数的应用

【解析】

根据路程等于速度在某段时间的积分.

【解答】

解：⑴质点从t=10s到t=30s时所走过的路程s=琛£立+琛20dt=#|+

30

=350m,

(2)质点从开始运动到运动结束共走过的路程S=《°tdt+琛20dt+(I。。-

t)dt=-t2\2^+20t]??+(100t-it2)|=200+1200+200=1600m.

20202oU

28.

【答案】

解：由方程组｛J：：/二解之得]：;刍或1；;；

・,・曲线必=2x与直线y=x-4交于点力(2,-2)和B(8,4).

因此，曲线必=2%,直线y=%-4所围成的图形的面积为

S=2\[2xdx+1(V2x-%+4)dx

Jo

i^2\[2xdx=(2V2=y,

f8,—L2a1•,a

I(v2x—%4-4)dx=(v2---%2+4%)||

J232

^231^23138

—(V2,­,82——x8+4x8)—(V2,—,22——,x2+4x2)=--

所求图形面积为S=2\[2xdx+V2x—x+4)dx=y+y=18

A

yJ

+

T

T

5T

T

I

【考点】

定积分

【解析】

曲线y2=2x与直线y=x—4方程联解，得交点4(2,-2)、B(8,4).因此，所求图形

面积为函数y=2后在［0,2］上的积分值，与函数y=岳-«-4)在［2,8］上的积分

值之和.利用公式分别算出这两个积分的值，相加即得所求图形的面积.

【解答】

解：由方程组［J：；/；，解之得刍或

曲线y2=2%与直线y=久一4交于点火2,-2)和8(8,4).

因此，曲线/=2%,直线y=%—4所围成的图形的面积为

S=2y12xdx4-I(V2x—%4-4)dx

Jo

^2y［2xdx=(2V2=y,

「8231

I(V2x—x+4)dx=(V2•-x2--%24-4x)1®

J232

试卷第20页，总28页

^231^23138

—(v2,—,82——x8+4x8)—(v2,—,22——x2+4x2)=

D乙KJ乙J

所求图形面积为S=2V2xdx+J^(V2x—x+4)dx=y4-y=18

yJA

二

5一

二

二

29.

【答案】

解：(1”M斤中立的大小等于半径为1的圆面积的;，即J\7i^d%=1x

—12—11

7TXI2=".

2

nitn

(2)f2(cos--sin-)2dx=J2(1—sinx)dx=(x+cosx)|2=--1.

022002

【考点】

定积分

【解析】

根据积分的几何意义和积分公式分别进行计算即可得到结论.

【解答】

l

解：⑴/乙五中dx的大小等于半径为1的圆面积的;，即J17l^dx=ix

—12—12

7TxiY2=—九.

2

nnit

(2)f2(cos--sin-)2dx=f2(1—sinx)dx=(x4-cosx)|2=--1.

022002

30.

【答案】

解:由-廿+3,

(y=x+3

得y=X2-2x+3和y=x+3的交点是(0,3),(3,6).

丫=/一2刀+3和丫=%+3所围成的封闭图形的面积

S=I(x+3-/+2%-3)dx

Jo

=I(3%—x2)dx

Jo

31QQ

=(2X_3X)lo

31

=^x9--x27

23

_9

-2,

【考点】

定积分

【解析】

由得丫=%2-2刀+3和、=%+3的交点是(0,3),(3,6).y=x2-

2x+3和y=x+3所围成的封闭图形的面积S=f^(x+3-xz+2x-3)dx,由此能求

出其结果.

【解答】

解：由/=7—廿+3,

得y=X2-2X+3和y=x+3的交点是(0,3),(3,6).

y=%2—2%4-3和y=%4-3所围成的封闭图形的面积

S=[(%+3—%24-2%—3)dx

Jo

=f(3%—x2>)dx

Jo

31…

=(2Xo-3X)lo

31

=^x9--x27

23

=9

2

31.

【答案】

解：£"(%)d%=J；(sin%—l)dx+J；x2dx

=(-cos%-%)巴+|x3|o

1

=cosl-24--

5

=C0S1-3

【考点】

定积分

【解析】

根据积分计算公式，求出被积函数的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可

得到本题答案.

【解答】

解：(x)dx=£](sin%—l)dx+J；x2dx

=(-cosx-x)[^+1x3|J

1

=cosl-2+-

试卷第22页，总28页

5

cosl--

3

32.

【答案】

解：+2-|）dx=（|%2+2%-31nx）|；=（2+4-31n2）-（：+

2）=--3ln2.

【考点】

定积分

【解析】

根据定积分的计算法则计算即可.

【解答】

解：严+：3改=/]2（万+2_|）dx=（lx2+2x-3lnx）|:=（2+4-3ln2）-+

7

2）=--3ln2.

J2

33.

【答案】

解：（1）£/〃表示）7=%,直线%=-1,%=1围成的封闭图形的面积之差，

一2

f1.XG!x=-xlxl--xlxl=0,

J-l22

（2）《R府二冠dx表示以原点为圆心以R为半径的圆的面积的二分之一，

口V/?2—x2dx=|TTR2.

【考点】

定积分

【解析】

（1）根据定积分几何意义转化为求对应曲线围成的面积即可，

（2）=Ndx表示以原点为圆心以R为半径的圆的面积的二分之一，问题得以

解决.

【解答】

解：（1）表示y=x,直线x=-1,x=1围成的封闭图形的面积之差,

f21xdx=|xlxl-|xlxl=0,

(2)心府=正五表示以原点为圆心以R为半径的圆的面积的二分之一,

口y/R2—x2dx=|nR2.

34.

【答案】

4x

解：联立方程组［V=得，y1=-2,y2=6,

•••抛物线y2=4x与直线y=x-3所围成的平面图形的面积，

'''S=q(y+3-？)dy=("+3y一/3)匕=学

【考点】

定积分

【解析】

由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4-尤的交点坐标，积分时可以以x

作为积分变量，也可以y作为积分变量，故本题法一以x为积分变量，法2以y作为积分

变量分别计算出两曲线所围成的图形的面积

【解答】

y2

解：联立方程组［=4：,得，y=_2,y=6,

抛物线y2=4x与直线y=x-3所围成的平面图形的面积，

S=/'(y+3-f)dy=(|y2+3y-^y3)|%=y.

35.

【答案】

fix)=|x2(0<x<1)

解：⑴1/

x(-l<x<0)

CJ(x)dx=心xdx+%2dx23+2；=-

⑵J；V%-1dx=|(x-1)5|2=|

【考点】

定积分

【解析】

根据定积分的运算法则，计算即可.

试卷第24页，总28页

【解答】

解：(1)­,■/W=fXz(?

(x(-l<%<0)

X223

...j"(x)dx=f°1xdx+J0xdx=|x|_01+|x|J=_1+：=_],

⑵/；Vx-1dx=|(x-l)z|j=|

36.

【答案】

y_:x'X从2到0,则：J/，,(x)sinydx+[/(x)cosy-nx]dy=

解：补充线段4B,L

,/

JL/(x)sinydx+[/(x)cosy—7rx]dy+J^F/(x)sinydx+[/(x)cosy—nx]dy

/

-JfiA/(x)sinydx+[/(x)cosy-nx]dy=^+/2

其中利用格林公式，设L+84所围成的区域为D,得

ff7T

A=[(-7T)dxdy=——•7T•(1+TT2)

而，2利用第二曲线积分计算方法，得

/2=I/'(x)sin7rx+(/(x)cos7rx—71%)-zr]dx=I7T2xdx=2n2

JoJo

原式=?—9.

【考点】

定积分

【解析】

由于被积函数含有未知的函数，如果直接用第二类曲线积分的计算方法将会变得很复

杂，而如果将积分曲线添加一条线段，使其成封闭曲线，再用格林公式就会变得简单

【解答】

-xx

,

解:补充线段AB,y=7r%,%从2到0,则：JL/(x)sinydx+[/(x)cosy-nx]dy=

,

[/'(XJsinydx+[/(x)cosy—nx]dy+J^F/(x)sinydx+[/(x)cosy—nx]dy

-fBAf'(x)sir}ydx+[/(x)cosy-nx]dy=^+/2

其中/i，利用格林公式，设L+B4所围成的区域为D,得

ff7T

A=%(―7T)dxdy=——•7T•(1+7r2)

而/2利用第二曲线积分计算方法，得

r2,2

/=I//(x)sin7rx+(f(x)cos7rx—7TX)-7t]dx=I7T2xdx=2TT2

2JoJo

原式=?—9.

37.

【答案】

解：,M=—Q%+b/d%

M=[(x6—2ax4+2bx3+a2x2—2abx+b2>)dx

J-i

=(---%5+-x4+—%3-abx24-h2x)|\=2b2+-a2--a+-=2b24--(a-

k7523—13573、

钞-H+M

当。=蔡，b=0时M取最小.

【考点】

定积分

【解析】

先把被积分函数展开再运用公式得出(二一六好+:/+£/一附/+炉%)|1,再

化简得出2b2+|。2-3。+：,配方求解即可得出最小值的a,b数值的情况.

【解答】

解：M=A1(婷—ax+b)2dx

M=1(x6-2ax4+2bx3+a2x2—2abx+b2)dx

J-i

=(———x5+-x4+^x3-abx24-Z72x)|\=2b24--a2--a4--=2b2+-(a-

'752371—13573'

又)2_丝+?

57257’

：.当a=£,b=0时M取最小.

38.

【答案】

解：f()=x2+2a,

X2220(，+8)

一8，”)-3(-3，°)

「X)+0-0+

(%)T极大值1