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文档简介

函数的极值1函数极值的概念函数极值的求法2函数极值的概念设函数y=f(x)在(a,b)内连续,x0是(a,b)内一点如果对于点x0近旁的任意一点x，

均有

f(x)<f(x0)，则就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0是f(x)的一个极大点；如果对于点x0近旁的任意一点x，均有f(x)>f(x0

)，则就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，点x0是f(x)的一个极小点；3取得极值的必要条件：如果函数f(x)在点x0处有极值，且f

(x0)存在，则必有f

(x0)

0。驻点：使导数f

(x)为零的点叫函数f(x)的驻点。

说明：

可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点。但函数f(x)的驻点却不一定是极值点。xyOf(x)

x34yxOaby=f(x)x1f(x1)=0x2f(x2)=0x3f(x3)=0x4f(x5)=0x5观察与思考：极值与导数有何关系？

函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点。5函数极值的判定定理设函数f(x)在点x0的近旁可导且f´(x0)=0若在点x0的左侧近旁f´(x)恒为正；在点x0的右侧近旁f´(x)恒为负，则函数f(x)在点x0处取得极大值f´(x0

)

(2)若在点x0的左侧近旁f´(x)恒为负；在点x0的右侧近旁f´(x)恒为正，则函数f(x)在点x0处取得极小值f´(x0

)6yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)<07（ⅰ）极值是一个局部概念并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小注意：8大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静9（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点10例1：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f’(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有（）极小值点有（）A．1个

B．2个C．3个

D．4个AB11

函数极值的求法(1)确定函数的定义域；求可导函数f(x)的极值点和极值的步骤：(2)

求出导数f´(x)；

(3)令f´(x)=0，求出f(x)的全部驻点；(4)用驻点把定义域划分为部分区间，考察每个部分区间内f´(x)的符号，以确定每个驻点是否是极值点，若是极值点，确定是极大点还是极小点。12例:求(4)列表讨论，如下：xf´(x)f(x)(－∞,－2)+－20(－2,3)－单调减少30(3,+∞)单调增加函数在x=－2处取得极小值－62

在x=3处取得极大值16.5的单调区间和极值.解：(1)f(x)的定义域为(－∞,＋∞)；(2)

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