浙江省衢州市常山县2025届数学九上期末统考试题含解析

浙江省衢州市常山县2025届数学九上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．第一中学九年级有340名学生，现对他们的生日进行统计（可以不同年），下列说法正确的是（）A．至少有两人生日相同 B．不可能有两人生日相同C．可能有两人生日相同，且可能性较大 D．可能有两人生日相同，但可能性较小2．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A． B． C． D．3．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A．2π B．3π C．4π D．π4．已知二次函数，下列说法正确的是（）A．该函数的图象的开口向下 B．该函数图象的顶点坐标是C．当时，随的增大而增大 D．该函数的图象与轴有两个不同的交点5．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤16．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（）A．的最小值为1B．图象顶点坐标为，对称轴为直线C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小D．当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大7．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（）A． B．C． D．8．在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（）A． B． C． D．9．如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）10．二次根式有意义的条件是（）A．x>－1 B．x≥－1 C．x≥1 D．x＝－111．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（）A．2 B．2.5 C．3 D．412．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是()A． B． C．或 D．或二、填空题（每题4分，共24分）13．点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____．14．如图，矩形中，，连接，将线段分别绕点顺时针旋转90°至，线段与弧交于点，连接，则图中阴影部分面积为____．15．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计发现共抛掷次啤酒瓶盖，凸面向上的次数为次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为_______________________(结果精确到)16．如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作；取中点，作∥，∥，得到四边形，它的面积记作．照此规律作下去，则=____________________.17．在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验和发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是____________.18．若关于的分式方程有增根，则的值为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，己知点，点在轴上，并且，动点在过三点的拋物线上．（1）求抛物线的解析式．（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于点，交抛物线于点，求当线段的长有最大值时的坐标．并求出最大值是多少．（3）在轴上是否存在点，使得△是等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？21．（8分）一个不透明口袋中装有6个红球、9个黄球、3个绿球，这些球除颜色外没有任何区别.从中任意摸出一个球.(1)求摸到绿球的概率.(2)求摸到红球或绿球的概率.22．（10分）如图，已知抛物线y＝x2－x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C．(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2－2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条件下，方程的实数根是、，求代数式的值．24．（10分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，他过A、B两点画两条相交于点的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．25．（12分）自贡是“盐之都，龙之乡，灯之城”，文化底蕴深厚.为弘扬乡土特色文化，某校就同学们对“自贡历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：⑴本次共调查名学生，条形统计图中=；⑵若该校共有学生1200名，则该校约有名学生不了解“自贡历史文化”；⑶调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，发现其中共有四名同学相当优秀，它们是三名男生，一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“自贡历史文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽取一男生一女生的概率.26．如图，在中，，以为直径作交于点.过点作，垂足为，且交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】依据可能性的大小的概念对各选项进行逐一分析即可．【详解】A.因为一年有365天而某学校只有340人，所以至少有两名学生生日相同是随机事件.故本选项错误；B.两人生日相同是随机事件，故本选项错误；C.因为320365=6473>50%，所以可能性较大.正确；D.由C可知，可能性较大，故本选项错误.故选：C.【点睛】本题考查了可能性的大小，也考查了我们对常识的了解情况.2、D【解析】试题解析：故选D.3、A【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．【详解】解：连接OC、OB∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COB＝＝60°，∵OA=OB∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，弧BC的长为:．故选：A．【点睛】此题考查了扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．4、D【分析】根据二次函数的性质解题．【详解】解：A、由于y=x2-4x-3中的a=1＞0，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意．

B、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该函数图象的顶点坐标是（2，-7），故本选项不符合题意．

C、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该抛物线的对称轴是x=2且抛物线开口方向向上，所以当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意．

D、由y=x2-4x-3知，△=（-4）2-4×1×（-3）=28＞0，则该抛物线与x轴有两个不同的交点，故本选项符合题意．

故选：D．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，需要利用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴交点的求法，配方法的应用等解答，难度不大．5、B【分析】根据反比例函数的性质解答即可．【详解】∵双曲线的图象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．6、C【分析】根据，可知该函数的顶点坐标为（2,1），对称轴为x=2，最小值为1，当x<2时，y随x的增大而减小，当x≥2时，y随x的增大而增大，进行判断选择即可.【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y随x的增大而减小，当x≥2时，y随x的增大而增大，故C错误，所以答案选C.【点睛】本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键.7、B【解析】根据旋转的定义即可得出答案.【详解】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；故选B．【点睛】本题考查的是旋转：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．8、C【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，最后根据概率公式计算即可．【详解】根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为＝；故选：C．【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率计算题，解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，9、A【解析】根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可．【详解】已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，所以A1的坐标为（﹣1，2）.故选A.【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.10、C【解析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求出x的取值范围即可.【详解】∵二次根式有意义，∴x-1≥0，∴x≥1，故选：C.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.11、B【解析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12、D【分析】先利用因式分解法解方程得到所以，，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在中，，，作，则，利用勾股定理计算出，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．【详解】解：，或，所以，，I．当第三边长为6时，如图，在中，，，作，则，，所以该三角形的面积；II．当第三边长为10时，由于，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积，综上所述：该三角形的面积为24或．故选：D．【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．二、填空题（每题4分，共24分）13、（4，﹣3）【解析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【详解】点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．故答案为（4，﹣3）．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．14、【分析】根据勾股定理得到、由三角函数的定义得到、根据旋转的性质得到、求得，然后根据图形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵四边形是矩形∴∵，∴，∴∵线段分别绕点顺时针旋转至∴∴∴．故答案是：【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的面积、扇形的面积、将求不规则图形面积问题转化为求规则图形面积相加减问题，解题的关键在于面积问题的转化．15、【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．【详解】∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为10次，∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为＝0.1，故答案为：0.1．【点睛】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，大量重复试验事件发生的频率约等于概率．16、【分析】先求出△ABC的面积，再根据中位线性质求出S1，同理求出S2，以此类推，找出规律即可得出S2019的值.【详解】∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴△ABC的高=∴S△ABC=，∵E是BC边的中点，ED∥AB，∴ED是△ABC的中位线，∴ED=AB∴S△CDE=S△ABC，同理可得S△BEF=S△ABC∴S1=S△ABC==，同理可求S2=S△BEF=S△ABC==，以此类推，Sn=·S△ABC=∴S2019=.【点睛】本题考查中位线的性质和相似多边形的性质，熟练运用性质计算出S1和S2，然后找出规律是解题的关键.17、1【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：由题意可得，=0.2，

解得，a=1．

故估计a大约有1个．

故答案为：1．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．18、3【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，并求出x的值，然后再令x+2=0，即可求得m的值.【详解】解：由得：x=4-2m令x+2=0，得4-2m+2=0，解得m=3故答案为3.【点睛】本题考查了分式方程的增根，解分式方程和把增根代入整式方程求得相关字母的值是解答本题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）存在，最大值为4，此时的坐标为；（3）存在，或或或【分析】（1）先确定A（4，0），B（-1，0），再设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可；（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，易得直线AC的解析式为y=-x+4，设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），再用x表示出PD，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先计算出AC=4，再分类讨论：当QA=QC时，易得Q（0，0）；当CQ=CA时，利用点Q与点A关于y轴对称得到Q点坐标；当AQ=AC=4时可直接写出Q点的坐标．【详解】（1）∵C（0，4），∴OC=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=4，OB=1，∴A（4，0），B（-1，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），把C（0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），即y=-x2+3x+4；（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵A（4，0），C（0，4）∴解得，∴直线AC的解析式为y=-x+4，设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），∴PD=-x2+3x+4-（-x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，当x=2时，PD有最大值，最大值为4，此时P点坐标为（2，6）；（3）存在．∵OA=OC=4，∴AC=4，∴当QA=QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（-4，0）；当AQ=AC=4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4-4，0），综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（4+4，0）或（4-4，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．20、（1）y=﹣0.5x+110；（2）房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【解析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；（2）根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，，解得：，即y与x之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110；（2）设合作社每天获得的利润为w元，w=x（﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=﹣0.5x2+120x﹣2200=﹣0.5（x﹣120）2+5000，∵60≤x≤150，∴当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．21、(1)；(2).【分析】（1）由题意可知绿球占总数的六分之一，因此摸到绿球的概率为六分之一，（2）红球和绿球共有9个，占总数的二分之一，因此摸到红球或绿球的概率为二分之一．【详解】解：解：(1)，(2).【点睛】本题考查随机事件发生的概率，关键是找出所有可能出现的结果数和符合条件的结果数．22、（1）A点坐标为(4，0)，D点坐标为(－2，0)，C点坐标为(0，－3)；（2）或或；（3）在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为(－2，0)或(6，6)．【分析】（1）令y=0，解方程可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=-3，可确定C点坐标；（2）根据两个同底三角形面积相等得出它们的高相等，即纵坐标绝对值相等，得出点M的纵坐标为：，分别代入函数解析式求解即可；（3）分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.【详解】（1）在中令，解得，∴A(4，0)、D(－2，0).在中令，得，∴C(0，－3)；（2）过点C做轴的平行线，交抛物线与点,做点C关于轴的对称点,过点做轴的平行线，交抛物线与点,如下图所示：∵△MAD的面积与△CAD的面积相等，且它们是等底三角形∴点M的纵坐标绝对值跟点C的纵坐标绝对值相等∵点C的纵坐标绝对值为：∴点M的纵坐标绝对值为：∴点M的纵坐标为：当点M的纵坐标为时，则解得：或（即点C，舍去）∴点的坐标为：当点M的纵坐标为时，则解得：∴点的坐标为：，点的坐标为：∴点M的坐标为：或或；（3）存在，分两种情况：①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)设直线AB的解析式为，则，解得.∴直线AB的解析式为.∵CP//AB，∴可设直线CP的解析式为.∵点C在直线CP上，∴.∴直线CP的解析式为.联立，解得，∴P(6，6).综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.23、（1）1；（2）1．【分析】（1）根据一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；

（2）把m=1代入x2－2x+m=0，根据根与系数的关系可得出x1+x2，x1x2的值，由=（x1+x2）2－3x1x2，最后将x1+x2，x1x2的值代入即可得出结果．【详解】解：（1）由题意，得＞0，即＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1；（2）把m=1代入x2－2x+m=0得，x2－2x+1=0，根据根与系数的关系得，x1+x2=2，x1x2=1，∴=（x1+x2）2－3x1x2=（2）2－3×1=1．【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系．根的情况与判别式的关系如下：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根