2024徐州中考数学二轮重点专题研究 微专题 十字模型（课件）

微专题十字模型【活动目的】运用所学的知识探究正方形中十字图形的特点及相关结论．活动一：【分析图形】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，AF、DE相交于点G.图①【提出问题】根据题干信息，请从下列条件中选择一个，作为已知条件，其他条件作为结论，并进行证明：①CE＝DF，②AF＝DE，③AF⊥DE，④△ADG∽△AFD.你添加的条件是_____，证明结论是___________________．【解决问题】图①③①②④.(答案不唯一)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；在△ADG和△AFD中，∴△ADG∽△AFD；图①【总结结论】__________________________________________________________________________________________________________________________;如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，AF、DE相交于点G.若AF⊥DE，则有CE＝DF，AF＝DE，△ADG∽△AFD图①活动二：【类比探究】如图②，当点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上时，活动一中添加的条件是否仍然可以证明相应的结论？说明理由．图②仍然可以．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∵∠ADG＋∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；在△ADG和△AFD中，∴△ADG∽△AFD；图②活动三：【挖掘本质】问题1：如图③当点E、F分别在BC、CD上运动，且CE＝DF，点G到哪条边中点的距离始终不变？为什么？图③解：点G到AD边中点的距离始终不变，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴点G的运动轨迹是以AD中点为圆心，以AD为直径的一条

的圆弧上，∴点G到AD的中点的距离始终不变．问题2：根据点G的运动轨迹你能发现什么结论？图③解：点G的运动轨迹是以AD中点为圆心，以AD为直径的一条

圆弧．活动四：【知识迁移】运用所学的知识探究矩形中十字图形的特点问题3：如图④，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，点E是AD上一点，且CE⊥BD，则CE与BD之间有什么数量关系？然后请证明．图④解：CE与BD之间的数量关系为：nCE＝mBD，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠CDE＝90°，∴∠BDE＋∠BDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠BDE＋∠DEC＝90°，∴∠BDC＝∠CED，∴△CDE∽△BCD，又∵BC＝AD，∴

.∴nCE＝mBD.图④对接中考1.在正方形ABCD中，如图①，点E是AB边上的一个动点(点E与点A、B不重合)，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.(1)求证：△ABF≌△BCE；第1题图(1)证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＋∠GBC＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB，∠FAB＝∠EBC＝90°，∴∠GBA＋∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，在△ABF与△BCE中，∴△BCE≌△ABF(ASA)；第1题图(2)如图②，当点E运动到AB中点时，连接DG，若AB＝2，求DG的长；第1题图(2)解：如图，过点D作DH⊥CE于点H，H∟∵E为AB中点，AB＝2，∴EB＝1，BC＝2，∴CE＝

，在Rt△CEB中，由CE·BG＝EB·BC得BG＝

，∴CG＝

，∵∠DCE＋∠BCE＝∠BCE＋∠CBF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，

又∵DC＝BC＝2，∠CHD＝∠CGB＝90°，在△CHD与△BGC中，∴△CHD≌△BGC(AAS)∴CH＝BG＝

，∴GH＝CG－CH＝

，第1题图H∟∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，在△DGH与△DCH中，∴△DGH≌△DCH(SAS)，∴DG＝DC＝2.第1题图H∟(3)如图③，在(2)的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD、BF于点M、N，求

的值．第1题图(3)解：设正方形ABCD的边长是m，则BE＝

，∴CE＝

m.易得△BCG∽△ECB，∴

.∴CG＝

m.如图，作DP⊥CG交CG于点P，由(2)可得点P

是CG中点，∴CP＝

CG＝

m，∴DP＝

m，∴S△DCG＝

×

m×

m＝

m2.第1题图P∟又∵S△DCG＝

DG·CH，DG＝DC＝m.∴CH＝

.易得△CHG∽△CGN，△CDM∽△CHD，∴