新教材适用2024-2025学年高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件学案新人教A版必修第二册

10．1.1有限样本空间与随机事务课标要求结合详细实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事务与样本点的关系．素养要求能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事务的概念，能够用样本空间去说明相关问题，发展数学抽象及逻辑推理素养.学问点1随机试验及样本空间1．随机试验的概念和特点(1)随机试验：我们把对_随机现象__的实现和对它的视察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示．(2)随机试验的特点：①试验可以在相同条件下_重复__进行；②试验的全部可能结果是_明确可知__的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的_每个可能的基本结果__称为样本点用_w__表示样本点样本空间全体_样本点__的集合称为试验E的样本空间用_Ω__表示样本空间有限样本空间假如一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}[拓展]关于样本点和样本空间(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；(2)只探讨样本空间为有限集的状况，即有限样本空间．练一练：从标有1,2,3,4,5的5张卡片中任取两张，视察取出的卡片上的数字．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“数字之和为5”这一事务包含哪几个样本点？[解析](1)这个试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}((1,2)表示抽出标有1,2的两张卡片)．(2)样本点的总数是10.(3)“数字之和为5”这一事务包含以下两个样本点：(1,4)，(2,3)．学问点2三种事务的定义随机事务我们将样本空间Ω的_子集__称为随机事务，简称事务，并把只包含_一个__样本点的事务称为基本领件，随机事务一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事务A发生必定事务Ω作为自身的子集，包含了_全部的__样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必定事务不行能事务空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不行能事务[提示](1)随机事务是样本空间的子集．随机事务是由若干个基本领件构成的，当然，基本领件也是随机事务．(2)必定事务与不行能事务不具有随机性，是随机事务的两个极端情形．练一练：(多选题)下列事务中是随机事务的是(AD)A．连续掷一枚硬币两次、两次都出现正面朝上B．异性电荷相互吸引C．在标准大气压下，水在1℃结冰D．买一注彩票中了特等奖[解析]A、D是随机事务，B为必定事务，C为不行能事务．题型探究题型一事务类型的推断典例1在下列事务中，哪些是必定事务？哪些是不行能事务？哪些是随机事务？(1)假如a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；(5)在标准大气压下，水的温度达到50℃时会沸腾；(6)同性电荷相互排斥．[分析]依据事务的分类及其定义，在给出的条件下，推断事务是否发生．[解析]结合必定事务、不行能事务、随机事务的定义可知．(1)对随意实数，都满意加法的交换律，故此事务是必定事务．(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事务可能发生，也可能不发生，故此事务是随机事务．(3)相宜的温度和足够的水分，是种子萌发不行缺少的两个条件，没有水分，种子就不行能发芽，故此事务是不行能事务．(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事务可能发生，也可能不发生，故此事务是随机事务．(5)在标准大气压下，水的温度达到100℃时，起先沸腾，水温达到50℃，水不会沸腾，故此事务是不行能事务．(6)依据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理推断，该事务是必定事务．[归纳提升]推断一个事务是随机事务、必定事务还是不行能事务，首先肯定要看条件，其次是看在该条件下所探讨的事务是肯定发生(必定事务)、不肯定发生(随机事务)，还是肯定不发生(不行能事务)．对点练习❶(1)(多选题)下列现象中，是随机现象的有(ACD)A．在一条马路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆B．若a为整数，则a＋1为整数C．放射一颗炮弹，命中目标D．检查流水线上一件产品是合格品(2)从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必定事务是_⑥__，不行能事务是_④__，随机事务是_①②③⑤__.(填序号)(3)下列事务中，不行能事务为(C)A．钝角三角形两个小角之和小于90°B．三角形中大边对大角，大角对大边C．锐角三角形中两个内角和小于90°D．三角形中随意两边的和大于第三边[解析](1)当a为整数时，a＋1肯定为整数，是必定现象，其余3个均为随机现象．故选ACD.(2)从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个，可能结果是“三个全是正品”“两个正品一个次品”“一个正品两个次品”．(3)若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不行能事务，而A，B，D均为必定事务.题型二确定试验的样本空间典例2下列随机事务中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．(1)先后抛掷两枚质地匀称的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素．[解析](1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地匀称的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．[归纳提升]不重不漏地列举试验的全部样本点的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必需首先明确试验中的条件．(2)依据日常生活阅历，依据肯定的依次列举出全部可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．对点练习❷从含有6件次品的200件产品中任取7件，视察其中次品数，写出对应的样本空间，并说出事务A＝{1,2}，B＝{0}的实际意义．[解析]样本空间为Ω＝{0,1,2,3,4,5,6}，事务A＝{1,2}表示抽取的7件产品中，恰有一件次品或恰有两件次品，事务B＝{0}表示抽取的7件产品中，没有次品.题型三随机事务的表示典例3一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．(1)一共有多少个样本点？(2)写出“2个球都是白球”这一事务的集合表示．[解析](1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球]．(2)记A表示“2个球都是白球”这一事务，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．[归纳提升]1.推断随机事务的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必需明确事务发生的条件；(2)依据题意，按肯定的次序列出全部样本点．特殊要留意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．2．试验中当试验的结果不唯一时，肯定要将各种可能都要考虑到，尤其是有依次和无依次的状况最易出错．对点练习❸做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：(1)这个试验的样本空间；(2)指出事务A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含义；(3)写出“点数之和大于8”这一事务的集合表示．[解析](1)这个试验的样本空间Ω为{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．(2)事务A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.(3)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．易错警示忽视试验结果与依次的关系而致误典例4已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标．(1)写出这个试验的基本领件空间；(2)求这个试验的基本领件的总数．[错解](1)这个试验的基本领件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}．(2)这个试验的基本领件的总数是6.[错因分析]题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本领件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)．[正解](1)这个试验的基本领件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}．(2)这个试验的基本领件的总数是12.对点练习❹同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事务A包含的样本点的个数是(D)A．3 B．4C．5 D．6[解析](1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点．1．给出下列事务：①任取一个整数，能被2整除；②小明同学在某次数学测试中成果肯定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技竞赛，甲的实力远胜于乙，在一次竞赛中甲获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍，其中随机事务的个数是(B)A．1 B．3C．0 D．4[解析]①②③为随机事务，④为必定事务．2．一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为(C)A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}[解析]随机试验的全部结果要保证等可能性．两个小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．3．一个不透亮的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事务是必定事务的是(B)A．摸出的4个球中至少有一个是白球B．摸出的4个球中至少有一个是黑球C．摸出的4个球中至少有两个是黑球D．摸出的4个球中至少有两个是白球[解析]因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种状况．故事务“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事务，故A错误；事务“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必定事务，故B正确；事务“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事务，故C错误；事务“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事务，故D错误．故选B.4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，视察点的位置，则事务“点落在x轴上”包含的样本点共有(C)A．7个 B．8个C．9个 D