特训05期末历年解答压轴题(第16-19章)(原卷版+解析)

特训05期末历年解答压轴题（第16-19章）一、解答题1．(2023·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y．(1)当点E与点C重合时，求ME的长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．2．(2023·上海浦东新·八年级期末）如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．3．(2023·上海·八年级期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；(2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；(3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．4．(2023·上海市市西初级中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，.求的值；当时，求直线的解析式；在的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标.5．(2023·上海松江·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．6．(2023·上海市浦东模范中学八年级期末）如图，已知ABC中，，，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP．(1)求∠B的度数；(2)当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值．7．(2023·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点P是边AC上的动点（点P与点A不重合），D是边AB上的动点，且PA=PD，ED⊥DP，交边BC于点E．(1)求证：BE=DE；(2)若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；(3)延长ED交CA的延长线于点F，连接BP，若△BDP与△DAF全等，求线段PE的长．8．(2023·上海·八年级期中）如图，已知在中，，，，在线段上有动点，在射线上有动点，且，联结交于点．（1）当点在边（与点、不重合）上，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．（2）过点作边的垂线，垂足为点，随着、两点的移动，线段的长能确定吗？若能确定，请求出的长；若不能确定，请说明理由．9．(2023·上海·八年级单元测试）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF．(1)当点D在线段CB上时，①求证：△AEF≌△ADC；②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域；(2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）．10．(2023·上海浦东新·八年级期末）如图，中，，，．点P是射线CB上的一点（不与点B重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．（1）求的度数；（2）当点P在线段CB上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果，请直接写出的面积．11．(2023·上海·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．12．(2023·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．(1)求∠B的度数；(2)联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；(3)设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．13．(2023·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．14．(2023·上海·八年级开学考试）如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交AB边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．(1)求证：EA=EG；(2)若点G在线段AC延长线上时，设BD=x，FC=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；(3)联结DF，当△DFG是等腰三角形时，请直接写出BD的长度．15．(2023·上海市南洋模范中学八年级期末）如图，在中，，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点．(1)求证：；(2)如果设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当的面积为时，求的值．16．(2023·上海·八年级专题练习）在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，．（1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____．（2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由．17．(2023·上海·八年级专题练习）如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时，同时停止运动．（1）OC＝，BC＝；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．18．(2023·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．19．(2023·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、．（1）当直线经过点时（如图2），求证：；（2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出、和之间的数量关系．20．(2023·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，垂足为，点是边上的一个动点，过点作交线段于点，作交于点，交线段于点，设．（1）用含的代数式表示线段的长；（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并写出定义域；（3）若为直角三角形，求出的长．21．(2023·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．22．(2023·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形．(1)在y轴正半轴取一点E，使得是一个等腰直角三角形，与交于M，已知，求．(2)若等边的边长为6，点C在边上，点D在边上，且．反比例函数的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）23．(2023·上海·七年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．

24．(2023·上海民办行知二中实验学校八年级期中）阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝根据上面材料完成下列各题：(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是．(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．25．(2023·上海民办行知二中实验学校八年级期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．26．(2023·上海·八年级期末）如图1，在中，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．（1）如图2，如果点与点重合，求证：；（2）如图3，如果，求的长；（3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．27．(2023·上海市黄浦大同初级中学八年级期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点．(1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）．(2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值．(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．28．(2023·上海·八年级期末）已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点，（1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值．29．(2023·上海·八年级专题练习）已知反比例函数的图象经过点．(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．30．(2023·上海·上外附中八年级期末）如图,在平面直角坐标系中，是等边三角形．(1)在轴正半轴取一点，使得是一个等腰直角三角形，与交于，已知，求；(2)若等边的边长为6,点在边上,点在边上,且.反比例函数的图像恰好经过点和点,求反比例函数解析式.(此题无须写括号理由)31．(2023·上海浦东新·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与反比例函数的图像交于点A，且点A的横坐标为1，点B是x轴正半轴上一点，且⊥．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）先在的内部求作点P，使点P到的两边OA、OB的距离相等，且PA=PB.（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点P）32．(2023·上海·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．33．(2023·上海·九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务．古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)根据上述信息解决下列问题：（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．34．(2023·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，．例如：方程的两根分别是和，则，．请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：(1)已知方程的两根分别是和，则______，______．(2)已知方程的两根分别是和，求的值．(3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和．35．(2023·上海·八年级单元测试）在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：，∵，∴．当时，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出的最小值为_____．(2)求代数式的最小值．(3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．(4)若，求x＋y的最小值．36．(2023·上海·八年级专题练习）每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A、B两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A、B两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．(1)若选择购买B种巧克力的人数不超过购买A种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A种巧克力？(2)“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A种巧克力的人数最少时相比，A种巧克力每上涨3元，购买A种巧克力的人数会下降5人，同时购买B种巧克力的人数也下降3人，但是B种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A种巧克力的售价．特训05期末历年解答压轴题（第16-19章）一、解答题1．(2023·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y．(1)当点E与点C重合时，求ME的长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．答案:(1)(2)(3)或分析：（1）连接MD，结合题意，根据含角直角三角形、直角三角形斜边中线、垂直平分线的性质分析，结合勾股定理性质计算，即可得到答案；（2）连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，根据垂直平分线、勾股定理的性质，得，结合（1）的结论，通过列一元二次方程并求解，得函数的定义域，即可得到答案；（3）分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况，结合（2）的结论，根据垂直平分线、勾股定理、二次根式、三角形中位线的性质计算，即可得到答案．(1)连接MD，∵AB=，BC=，∴BC=AB，∵∠C=90，∴∠A=30∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=30，∠ADC=120，∵MN垂直平分CD，∴CM=DM，∴∠MDC=30，∴∴设，则∴∴∴或（舍去）∴；(2)连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，∵MN垂直平分ED，∴ME=MD=y，∵∠A=30∴MF=，∴∴FD，在Rt△MDF中，∴∴根据（1）的结论，当点E与点C重合时，∴∴或∵∴不符合题意∴∴∴y关于x的函数解析式是；(3)分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况分析，当MN经过AC中点时，即∴，即当MN经过AB中点时，和MN分别交边AC、BC于点M、N的结论矛盾∴MN经过AB中点不成立当MN经过BC中点时，如图，分别连接EN、DN∴∵∴，∵MN线段DE的垂直平分线∴∵AM=x，ME=y∴∵∠C=90°∴∴∴∴∴∴，即∴或．【点睛】本题考查了勾股定理、垂直平分线、三角形中位线、含角直角三角形、直角三角形斜边中线、二次根式、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．2．(2023·上海浦东新·八年级期末）如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．答案:（1）详见解析；（2）∠DME=180°-2∠A；详见解析；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，详见解析分析：（1）连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿照（2）的计算过程解答．解析：（1）证明：如图，连接，，、分别是、边上的高，是的中点，，，，又为中点，；（2）在中，，，∴，，，，，，；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：如图，同理（1）可知：，故结论（1）正确；，∴，，在中，，，，故结论（2）不正确．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．(2023·上海·八年级期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；(2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；(3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．答案:(1)9；(2)存在，CF=DG，证明见解析；(3)．分析：（1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长；（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG；（3）求出，，利用，即可求出．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴，∠A=60，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE=60，∴∠ACD=30，∴∠ADC=90，∴，∴△DEF的周长为9；（2）解：结论：CF=DG.理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，∴，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60，∵∠DEF=∠B+∠EGB，∴∠B=∠EGB=∠DGE=30，∴EG=BE，∵EG+DG=CF+BE=3，∴CF=DG；（3）解：∵，，∴，即．【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质．4．(2023·上海市市西初级中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，.求的值；当时，求直线的解析式；在的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标.答案:（1）k=﹣20；（2）y=﹣x；（3）点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．分析：（1）由结合反比例函数k的几何意义可得+4=14，进一步即可求出结果；（2）由题意可得MO=MQ，于是可设点Q（a，﹣a），再利用待定系数法解答即可；（3）先求出点Q的坐标和OQ的长，然后分三种情况：①若OQ=ON，可直接写出点N的坐标；②若QO=QN，根据等腰三角形的性质解答；③若NO=NQ，根据两点间的距离解答．解析：解：（1）∵，S△POM=，S△QOM=，∴+4=14，解得，∵k＜0，∴k=﹣20；（2）∵，轴，∴，∴MO=MQ，设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx，把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，∴直线OQ的解析式为y=﹣x；（3）∵点Q（a，﹣a）在上，∴，解得（负值舍去），∴点Q的坐标为，则，若为等腰三角形，可分三种情况：①若OQ=ON=，则点N的坐标是（，0）或（﹣，0）；②若QO=QN，则NO=2OM=，∴点N的坐标是（，0）；③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则，解得，∴点N的坐标是（，0）；综上，满足条件的点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．(2023·上海松江·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．答案:(1)证明见解析(2)(3)分析：（1）先证明再证明是等边三角形，结合垂直平分线的性质求解再求解即可得到结论；（2）如图，当过点，是的垂直平分线，求解如图，当过点则所以分别在AB、BC上时，则如图，过作于再利用勾股定理与线段的和差写函数关系式，整理后可得答案；（3）先画出符合题意的图形，再证明设则由再列方程解方程即可.（1）解：∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，是的垂直平分线，是等边三角形，而（2）解：如图，当过点，是的垂直平分线，则如图，当过点则所以分别在AB、BC上时，则如图，过作于同理：整理得：（3）解：当同理可得：设则【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键.6．(2023·上海市浦东模范中学八年级期末）如图，已知ABC中，，，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP．(1)求∠B的度数；(2)当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值．答案:(1)(2)当点P在线段BC上时，；(3)4或或分析：（1）根据勾股定理的逆定理证明出△ABC是直角三角形，且∠BAC=，取BC的中点M，连接AM，则=CM，证得△ACM是等边三角形，求得∠B=；（2）当点P在线段BC上时，过点A作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质得到，，由勾股定理得，求出，得到，由勾股定理求出CD，BF，得到DP，由，推出，根据y>0，得到函数关系式；当点P在CB延长线上时，过点P作PH⊥AB交延长线于H，求出，勾股定理求得PH，根据，求出函数解析式；（3）当AP=BP时，根据等腰三角形等边对等角的性质及线段垂直平分线的性质证得∠APE=，得到AE=2PE=2BE，由此求出AE=4；当BP=AB=6时，根据线段垂直平分线的性质求出PF=BF=3，利用直角三角形30度角的性质求出BE=2EF，利用勾股定理得，求出BE，即可得到AE的值．当点P在CB延长线上且BP=AB=6时，根据线段垂直平分线的性质求出PF=BF=3，利用直角三角形30度角的性质求出BE=2EF，利用勾股定理得，求出BE，即可得到AE的值．解析：（1）解：ABC中，，，AB＝6，∵，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=，取BC的中点M，连接AM，则=CM，∵，，∴，∴AC=AM=CM，∴△ACM是等边三角形，∴，∴∠B=；（2）解：当点P在线段BC上时，过点A作AD⊥BC于D，在△ADB中，∠ADB=，∠B=，∴，同理，∴，在Rt△BEF中，，∴，∴，又∵BP=2BF，∴，∴DP=，∵，∴，∴，∵y>0，∴；（3）解：当AP=BP时，则∠PAB=∠B=，如图，∴∠APB=，∵EF为PB的垂直平分线，∴PE=BE，∴∠BPE=∠B=，∴∠APE=，∴AE=2PE=2BE，∵AE+BE=6，∴AE=4；当BP=AB=6时，如图，∵EF为PB的垂直平分线，∴PF=BF=3，∵∠B=，∴BE=2EF，∵，∴，∴AE=AB-BE=；当点P在CB延长线上且BP=AB=6时，如图，∵EF为PB的垂直平分线，∴PF=BF=3，∵∠EBF=，∴BE=2EF，∵，∴，∴AE=AB+BE=；综上，AE的值为4或或．【点睛】此题考查了勾股定理及逆定理，直角三角形30度角的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，求函数解析式，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．7．(2023·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点P是边AC上的动点（点P与点A不重合），D是边AB上的动点，且PA=PD，ED⊥DP，交边BC于点E．(1)求证：BE=DE；(2)若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；(3)延长ED交CA的延长线于点F，连接BP，若△BDP与△DAF全等，求线段PE的长．答案:(1)见解析；(2)；(3)分析：（1）利用等角的余角相等证明，从而证明；（2）过作于，在中计算，从而得出的长，；（3）由全等推出是顶角为的等腰三角形，从而推出是的中点，与重合，计算此时的长度即可．（1）证明：，，，又，，，，，．（2）如图1，过点作于，在中，，，，，，．，，，在中，，，，，，，，是等边三角形，当点与点重合时，，即，解得；当点与点重合时，，即，解得．点与点不重合，．；（3）如图2，延长交的延长线于点，连接，．则，，是顶角为的等腰三角形，与全等，，，，，点与点重合，，，即，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的应用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．8．(2023·上海·八年级期中）如图，已知在中，，，，在线段上有动点，在射线上有动点，且，联结交于点．（1）当点在边（与点、不重合）上，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．（2）过点作边的垂线，垂足为点，随着、两点的移动，线段的长能确定吗？若能确定，请求出的长；若不能确定，请说明理由．答案:（1），证明见解析；（2）能，．分析：（1）过点作交于点，根据平行线的性质及等腰三角形的判定可推出，则可利用AAS证得≌，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由题意可得△AMD为等腰直角三角形，设，根据勾股定理得到，由全等三角形的性质可得，由，，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到，即可得到结论．解析：解：（1）；理由是：过点作交于点，∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．在和中：，∴≌．∴．（2）线段的长度能确定，且为．理由是：过点作边的垂线，垂足为，过作交于，由（1）得，为等腰直角三角形．设，∴．∵≌，∴．∵，∴．∴．在等腰直角三角形中，∵，∴，∴．∴线段的长度确定，与、的移动无关，长为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．(2023·上海·八年级单元测试）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF．(1)当点D在线段CB上时，①求证：△AEF≌△ADC；②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域；(2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）．答案:(1)①见解析；②(2)或分析：（1）①证明：直角△ABC中，利用特殊角和斜边的中线是斜边的一半，可得AF=BF=AC，再结合等边△ADE，有AE=AD，利用SAS即可得△ADC≌△EAF(SAS)；②根据△ADC≌△EAF，有∠EFA=∠C=90，结合F是AB中点，即有EF是AB的中垂线，进而有AE=EB，AD=AE=EB，在Rt△ACD中，有，即，则有；（2）分两种情况讨论，即当点在线段BC上和点在CB的延长线上两种情况，分别求出AD，即可得等边△ADE的面积．（1）解：证明①：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，∴∠ABC=30，∴AC=AB=5，∵F是AB的中点，∴AF=BF=AB，∴AF=BF=AC，∵等边△ADE，∴AE=AD，∠EAD=60，∴∠EAD=∠CAB=60，∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD，即∠DAC=∠EAF，在△ADC与△EAF中，，∴△ADC≌△EAF(SAS)；②∵△ADC≌△EAF，∴∠EFA=∠C=90，又F是AB中点，∴EF是AB的中垂线，∴AE=EB，∴AD=AE=EB，在Rt△ACD中，∠C=90，∴，∴，∴；（2）解：或，分情况讨论：第一种情况：当点在线段BC上时，由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，则=50，则AD=，如图，过A点作AG⊥DE于G点，在等边△ADE中，由AG⊥DE可得DG=DE=DE=AD=，则利用勾股定理可得：，则等边△ADE的面积为：，第二种情况：当点在线段CB的延长线上时，由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，∴BD=BA=10，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理可得：，则同理可求得等边△ADE的面积为：，综上所述：或，【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确找到全等三角形以及熟练掌握勾股定理．10．(2023·上海浦东新·八年级期末）如图，中，，，．点P是射线CB上的一点（不与点B重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．（1）求的度数；（2）当点P在线段CB上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果，请直接写出的面积．答案:（1）；（2），定义域为：；（3）当点P在线段CB上时，，当点P在线段CB延长线上时，．分析：（1）由题意及勾股定理逆定理可得，取BC的中点H，连接AH，则有，然后可得，则有，最后问题可求证；（2）过A作，垂足为点D，根据含30度直角三角形的性质可得，，然后根据勾股定理可得，进而根据三角形面积公式可进行求解；（3）由题意可分①当点P在线段CB上时，②当点P在线段CB延长线上时，然后分类求解即可．解析：（1）解：∵中，，，，∴，．∴，∴．∵中，，，∴．取BC的中点H，连接AH，如图所示：∴，，∴，∴△AHC是等边三角形，∴，∴．（2）过A作，垂足为点D．中，∵，，∴．同理：．中，，∴，∴．∴，，∴，∴所求函数解析式为，∵点P在线段CB上，且不与点B重合，∴，∴定义域为：．（3）当时，①当点P在线段CB上时，由（2）可知：，②当点P在线段CB延长线上时，过A作，垂足为点M．如图所示：∵，，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．11．(2023·上海·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．答案:(1)(2)或(3)的坐标为：或或或分析：（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于过作于而轴，则如图，作的角平分线交于过作于交轴于则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；（3）画出图形，分4种情况讨论，当时，当时，当时，当时，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案.解析：（1）解：AB⊥x轴，AB=3，则设反比例函数为所以反比例函数为（2）解：存在，或；理由如下：如图，作的角平分线交于过作于而轴，则则而如图，作的角平分线交于过作于交轴于则而而设解得：综上：或（3）解：如图，为等腰三角形，当时，当时，当时，当时，设解得：综上：的坐标为：或或或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简与二次根式的除法运算，熟练的运用以上知识解题是关键.12．(2023·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．(1)求∠B的度数；(2)联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；(3)设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．答案:(1)30°(2)(3)y＝（0＜x＜6）分析：（1）由勾股定理的逆定理可得出，由直角三角形的性质可得出答案；（2）求出，由直角三角形的性质得出．由勾股定理可得出答案；（3）过点作于点，证明为等边三角形，由勾定理得出，则可得出答案．（1）解：，，，，，，，，；（2）解：点关于直线的对称点为点，垂直平分，，，，，，，．；（3）解：过点作于点，，，为等边三角形，，，，，，，，，关于的函数解析式为．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．13．(2023·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．答案:(1)(2)y关于x的函数解析式为(3)PA的值为或或6分析：（1）根据题意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根据BD2=C′D2+C′B2，构建方程即可解决问题；（2）根据题意直接利用勾股定理进行分析即可解决问题；（3）根据题意分三种情形：①PA=PD，②AP=AD，③当PD=AD时，分别求解即可．（1）解：如图1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．（2）如图2中，当点P在C'D左侧，AC=AC'=3，则PC'=3-x，∵，∴．当点P在C'D右侧，同理可得．∴y关于x的函数解析式为．（3）如图3中，①当PA=PD时，设PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②当AD=AP′=时，即P在P′时，△ADP是等腰三角形，③当PD=AD时，点P在AB的延长线上．如图4，AP=2AC'=6．综上所述，满足条件的PA的值为或或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题．14．(2023·上海·八年级开学考试）如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交AB边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．(1)求证：EA=EG；(2)若点G在线段AC延长线上时，设BD=x，FC=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；(3)联结DF，当△DFG是等腰三角形时，请直接写出BD的长度．答案:(1)见解析(2)(3)分析：（1）在BA上截取BM=BC=2，在Rt△ACB中，由勾股定理，可得AB=4，进而可得∠A=30°，∠B=60°；由DE=DB，可证△DEB是等边三角形，∠BED=60°，由外角和定理得∠BED=∠A+∠G，进而得∠G=30°，所以∠A=∠G，即可证EA=EG；（2）由△DEB是等边三角形可得BE=DE，由BD=x，FC=y，得BE=x，DE=x，AE=AB-BE=4-x，在Rt△AEF中，由勾股定理可表示出，把相关量代入FC=AC-AF，整理即可得y关于x的函数解析式；当F点与C点重合时，x取得最小值1，G在线段AC延长线上,可知，D点不能与C点重合，所以x最大值小于2，故可得1≤x<2；（3）连接DF，根据等腰三角形的判定定理，有两条边相等的三角形是等腰三角形，分三种情况①当时，②当时③当时，分别计算即可得BD的长．(1)如图，在BA上截取BM=BC=2，Rt△ACB中，∠C=90°∵AC=2，BC=2，∴AB=∴AM=AB-BM=2，∴CM=BM=AM=2，∴△BCM是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠A=30°，∵DE=DB，∴△DEB是等边三角形，∴∠BED=60°，∵∠BED=∠A+∠G，∴∠G=30°∴∠A=∠G，∴EA=EG．(2)∵△DEB是等边三角形，∴BE=DE设BE=x，则DE=x，AE=AB-BE=4-x∵∠A=30°，∠AEF=90°，∴EF=，Rt△AEF中，∴∵FC=AC-AF，∴y=定义域：1≤x<2(3)连接DF，Rt△ACB中，∠C=90°∴∵AC=2，BC=2，BD=x，∴AB=4，EA=EG=4-x，，，①当时，在Rt△DCG中，∴，，解得：（舍去），；②当时，在Rt△DCG中，∠G=30°，∴DG=2DC，∴CG=∴，解之得：；③当时，在Rt△DCF中，，∴，，解得：；综上所述：BD的长为或或．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定等有关知识，正确进行分析，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键，注意分类思想的运用．15．(2023·上海市南洋模范中学八年级期末）如图，在中，，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点．(1)求证：；(2)如果设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当的面积为时，求的值．答案:(1)见解析(2)(3)分析：（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（2）根据，可得，根据勾股定理又可得出用表示的形式，换成等式即可得出与的函数解析式；（3）根据（1）可知，，，易得出，，即是定值，又知，即可证明是定值，再用表示出的面积，求出，即可求出．(1)证明：在中，，是的中点，．在中，，是的中点，，．(2)解：在中，，，，．由勾股定理得，，，在中，，，，，，，由，；(3)解：是斜边的中点，，．，是斜边的中点，同理可得：，，即，，，为等腰三角形，过点作的垂线，，由勾股定理得：，，，解得：，，解得：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，解题的关键是熟练掌握各个知识点的灵活运用．16．(2023·上海·八年级专题练习）在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，．（1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____．（2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由．答案:（1）5，3，1；（2）2或或或分析：（1）由图（b）得：AB＝5，作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝4，得出CD＝BE＝AB−AE＝1；（2）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案．解析：解：（1）由图（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如图1所示：则DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB−AE＝1，故答案是：5，3，1；（2）解：可能；理由如下：分情况讨论：①点P在AB边上时，当DP＝DB时，BP＝2BE＝2，当BP＝BD时，BP＝BD＝；②点P在BC上时，存在PD＝PB，设PD=BP=m，则CP=3-m，∴，解得：m=，∴BP=；③点P在AD上时，当BP＝BD时，则BP＝BD=，当时，则AP=5-，过点P作PM⊥AB，则sinA=，cosA=，∴PM=（5-）=3-，AM=（5-）=4-，∴BM=5-（4-）=1+，∴PB==，综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的的值为：2或或或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．17．(2023·上海·八年级专题练习）如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时，同时停止运动．（1）OC＝，BC＝；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．答案:（1）2,2；（2）；（3）或分析：（1）先求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；（2）有四种情况：①当P在BC上，Q在OC上时，t<2，过P作PH上OC于H，求出PH，根据三角形的面积公式求出即可；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG上ON于G，过C作CZ上ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面积，相减即可；④t=4时，过作于，于，P在O点，Q在ON上，求出BM根据三角形的面积公式求出即可；（3）有三种情况：①OM=PM时，求出OP=2OQ，代入求出即可；②PM=OP时，此时不存在等腰三角形；③OM=OP时，过P作PG上ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t-2，即可求出答案.解析：（1），，，，平分，，，在中，，，，故答案为：2，2；（2）①当P在BC上，Q在OC上时，，则，过作于，，，，即，②当时，在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在；，③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG上ON于G，过C作CZ上ON于Z，，，，，，，即，④当时，过作于，于，P在O点，Q在ON上，,由（1）知，，，，，，综上所述，与的函数关系式是：；（3）如图，，，，，平分，，，①时，，，，，解得：，②当时，此时，，，此时不存在；③当时，过作于，，，，，，，，，解得：．综上所述，当为或者时，是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，函数自变量的取值范围，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的运用，运用了方程思想和分类讨论思想是解题的关键．18．(2023·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．答案:（1）见解析；（2）①；②．分析：（1）先证明△ACD≌△ACB，再证明△CAF≌△CAE即可；（2）①分别求出AO，EO和CO的长，再根据三角形面积公式求解即可；②先求出CE的长，再求出△CEF的面积即可．解析：（1）证明：连接AC，∵∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ACD和RT△ACB中，，∴△ACD≌△ACB（HL），∴∠CAF=∠CAE，在△CAF和△CAE中，，∴△CAF≌△CAE(SAS)，∴CE=CF；（2）①设AC与EF交于点O，∵AE=AF，∠BAD=60°∴△AFE是等边三角形，由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，∴AC⊥FE，∵AF=x，∴EF=x，FO=，AO=，∵∠ADC=90°，∠CAF=30°，CD=，∴AC=，∴CO=-，∵，∴；②作FH⊥EC于H，∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，∴AC=2CD=4，AD=，∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，由（2）①可得：当AF=2时，S△EFC=，又∵S△EFC=CE•FH，∴3=×2FH，∴FH=，∴△CEF的边CE上的高为．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．19．(2023·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在中，，平分线交于点，点为上一动点，过作直线于，分别交直线、、于点、、．（1）当直线经过点时（如图2），求证：；（2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出、和之间的数量关系．答案:（1）见解析；（2）CD=2CE，证明见解析；（3）当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN．分析：（1）连接ND，先由已知条件证明DN=DC，再证明BN=DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．解析：（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的数量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∵CG∥AB，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE-BN．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．20．(2023·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，垂足为，点是边上的一个动点，过点作交线段于点，作交于点，交线段于点，设．（1）用含的代数式表示线段的长；（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并写出定义域；（3）若为直角三角形，求出的长．答案:（1）；（2），；（3）或分析：（1）根据题意可得△ABC和△BPF为等边三角形，由及等边三角形的性质得出PF=GF=x，从而表示出DG=BF+FG-BD=2x-1；（2）由含30°直角三角形的性质表示出DE，由（1）可表示出DF，再根据三角形面积的计算公式即可解答；（3）若为直角三角形，则∠PFE=90°或∠PEF=90°，根据直角三角形的性质列出方程求解即可．解析：解：（1）∵在中，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵∴∠BPF=∠BAC=∠BFP=60°，∴△BPF为等边三角形，∴BF=BP=PF=x，∠PFC=120°，∵∴∠BPE=90°，∴∠FPE=30°，∴∠FGP=30°，∴PF=GF=x又∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，∴DG=BF+FG-BD=2x-1故（2）由（1）可知DF=BD-BF=1-x，∵∠FGP=30°，∠ADG=90°，∴EG=2DE由勾股定理得：，∴∴，∴∵，解得，∴定义域为：（3）∵∠FPG=30°，∴若为直角三角形，则∠PFE=90°或∠PEF=90°，①当∠PFE=90°时，∠EFD=120°-90°=30°，∴△EFG为等腰三角形，∴DF=DG∵DF=1-x，DG=2x-1，∴1-x=2x-1解得：②当∠PEF=90°时，∠FED=90°-60°=30°，∴DE=，∵，DF=1-x，∴，解得：综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理解直角三角形以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用上述几何知识进行推理求解，注意分类讨论思想的运用．21．(2023·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．答案:（1）证明见解析；（2）CD=2CE；（3）当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN分析：（1）连接ND，先由已知条件证明：DN=DC，再证明BN=DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时．解析：（1）证明：连接ND，∵AO平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵直线l⊥AO于H，∴∠4=∠5=90°，∴∠6=∠7，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的垂直平分线，∴DN=DC，∴∠8=∠9，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠3，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠3，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE.证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠4=∠3，NN'=CE，过点C作CG∥AB交直线l于G，∴∠4=∠2，∠B=∠1，∴∠2=∠3，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，∴△BNM≌△CGM，∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN.22．(2023·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形．(1)在y轴正半轴取一点E，使得是一个等腰直角三角形，与交于M，已知，求．(2)若等边的边长为6，点C在边上，点D在边上，且．反比例函数的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）答案:(1)；(2)．分析：（1）过M作轴交x轴于点H，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，再在中，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出即可；（2）过C作轴交x轴于点F，过D作轴交x轴于点G，设，分别用含a的代数式表示出C点和D点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可．解析：（1）解：如图，过M作轴交x轴于点H，设，∵，是等腰直角三角形，∴，，∴也是等腰直角三角形，即，∵，∴，解得：，又∵是等边三角形，∴，∴，∴，在中，，即，解得：，（舍），∴；（2）解：如图，过C作轴交x轴于点F，过D作轴交x轴于点G，设，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，，∵点C和点D在上，∴，解得：，∴反比例函数解析式为．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含直角三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数，作出合适的辅助线，求出相关线段的长度是解题的关键．23．(2023·上海·七年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．

答案:(1)见解析(2)一定成立(3)MN＝NC﹣BM分析：（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠PBC＝∠＝30°，进而得到∠PBM＝∠PCN＝90°，证明Rt△PBM≌Rt△PCN，得到∠BPM＝∠CPN＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质证明结论；（2）延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，证明△PBM≌△PCH，得到PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，再证明△MPN≌△HPN，得到MN＝HN，等量代换得到答案；（3）在AC上截取CK＝BM，连接PK，仿照（2）的方法得出结论．解析：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．（2）解：一定成立，理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，故答案为：一定成立．（3）解：在AC上截取CK＝BM，连接PK，如图所示，在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．(2023·上海民办行知二中实验学校八年级期中）阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝根据上面材料完成下列各题：(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是．(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．答案:(1)(2)或或或(3)分析：（1）直接利用AB＝计算即可；（2）分两种情况讨论：点B在坐标轴上，设或再利用可得列方程，再解方程即可；（3）直接利用列方程，再解方程即可.解析：（1）解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：故答案为：（2）解：点B在坐标轴上，设或当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，或或当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，或解得：或（3）解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，整理得：解得：【点睛】本题考查的是已知两点坐标求解两点之间的距离，一元二次方程的解法，掌握“两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B两点的距离AB＝”是解本题的关键.25．(2023·上海民办行知二中实验学校八年级期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．答案:(1)，(2)(3)分析：（1）由轴，轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入即可得出点A、C的坐标；（2）设，由（1）同理得，即可得出△ABC的面积；（3）延长BC交x轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题．（1）解：（1）∵轴，B（1，2），∴当x＝1时，y＝1，即C（1，1），∵轴，∴当y＝2时，x＝，即；（2）解：当点B是（x＞0）的图象上任意一点时，设，由（1）同理得，∴S△ABC＝AB×BC＝；（3）解：延长BC交x轴于D点，∵轴，轴，则∠ABC＝90°，∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴CD⊥x轴，∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，∴∠CB'O＝∠ABC＝90°，∴CB'⊥OA，∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA，∴CD＝CB'，在Rt△OCD和Rt△OCB'中，，∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），∴，由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝，∴四边形OABC的面积为．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练的运用反比例函数的性质是解本题的关键．26．(2023·上海·八年级期末）如图1，在中，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．（1）如图2，如果点与点重合，求证：；（2）如图3，如果，求的长；（3）设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．答案:（1）证明见详解；（2）PQ=；（3），，分析：（1）在中，，是的中点可得DC=AD=BD，可求∠DCB=∠DBC=30°，由外角性质∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，由QB⊥DB，可求∠DQB=90°-∠QDB=30°，可得DQ=2DB=2DC，由D与P重合，可证PQ=2PC；（2）过B作BH⊥PQ于H，由AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，可求AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，由∠HCB=30°，∠CHB=90°，可求CB=2BH=可得BH=，由∠PBQ=90°，BP=BQ，可求PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，由勾股定理求出CH=，当CP≤9时PH=9-PC=9-x，当CP时PH=PC-9=x-9，分两种情况，在RtRt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2即可求出。解析：解：（1）在中，，是的中点，∴DC=AD=BD，∴∠DCB=∠DBC=30°，又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，∵QB⊥DB，∴∠DQB=90°-∠QDB=30°，∴DQ=2DB=2DC，∵D与P重合，PQ=2PC；（2）过B作BH⊥PQ于H，∵AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，又因为∠HCB=30°，∠CHB=90°，∴CB=2BH=，∴BH=，∵∠PBQ=90°，BP=BQ，∴PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，CH=，当CP≤9时PH=9-PC=9-x，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(9-x)2+27，即，当CP时PH=P