第12讲最值问题(计算、垂线段最短、将军饮马)-2023年中考数学重点核心知识点专题讲练(原卷版+解析)

第12讲最值问题1题型一：计算出来的最值问题【例1】如图，点E在正方形ABCD的AB边上，AE=3，BE=9，点P在BC上运动（不与B、C重合），PQ⊥EP，PQ交CD于点Q，则CQ的长度不可能是（

）A．5 B．4 C．3 D．21．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知AD=2，∠EOF=90°．（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF的最小值是_________．2．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（A．23 B．15 C．3 D．3．如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB=4，则线段CF的最大值是____________．4．如图，半径为2的⊙A，圆心A在直线y=34x−3上运动，过点O作⊙A的一条切线OP，P5．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=3，D是BC边上任意一点，分别作点D关于AB、AC的对称点E、F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF，边FG交BC于点H，则BH6．如图，点A坐标为(2，1)，点B坐标为(2，8)，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和（1）线段AB的长为_______．（2）则DE长的最小值是_______．7．如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________________．8．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为4,2，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为1,0，连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，题型二：将军饮马型最值【例2】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PB+PQ的最小值为________________．9．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=α（∠BAE为钝角），∠B=∠E=90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（

）A．12α B．α−90° C．2α−180° 11．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD=2，则PE+PB的最小值为（A．22 B．23 C．10 12．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为3，4，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，则点13．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,6),B(−2,2)，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD=1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的坐标为________．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，AD为△ABC的角平分线．M为AC边上一动点，N为线段AD上一动点，连接BM、CN、MN，当CN+MN取得最小值时，△ABM的面积为______．题型三：立体图形中的最值【例3】如图，圆柱形容器的高17cm，底面周长是24cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm点FA．20cm B．83cm C．43316．已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．π B．5π C．25 17．如图，长、宽、高分别为2，1，1的长方体木块上有一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（

）A．10 B．3 C．5 D．218．如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（

）A．36+16π2 C．36+π219．如图，圆柱底面半径为4厘米，高18π厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B20．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．题型四：线段差的最大值差最大值问题问题：已知两定点A，B位于直线l的异侧，在直线l上找一点P，使得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA－PB))的值最大．问题解决：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，交直线l于点P，点P即为所求．原理：三角形的任意两边之差小于第三边．图示：21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O,N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3,P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM-PN值为(

)A．1 B．2 C．2 D．222．如图，在正方形ABCD中，AB=22，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，则PM−PN23．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=4，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF−PE的最大值为______．题型五：垂线段最短【例4】如图，等边△ABC中，AO⊥BC，O为垂足且AO=3，E是线段AO上的一个动点，连接BE，线段BF与线段BE关于直线BA对称，连接AF、OF，在点E运动的过程中，当OF24．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC=2，BC=3A．321 B．2217 C．425．如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．226．已知在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=75°，AB=5．点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（

）A．532 B．52 C．527．如图，在ΔABC中，∠BAC=45°，AB=AC=4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ28．一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC=CE=3，取AB中点O，连接OF.∠FCE在∠ACB内部任意转动(包括边界)，则CE在运动过程中扫过的面积为______，在旋转过程中，线段OF29．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=6，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB30．菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为______．第12讲最值问题1题型一：计算出来的最值问题【例1】如图，点E在正方形ABCD的AB边上，AE=3，BE=9，点P在BC上运动（不与B、C重合），PQ⊥EP，PQ交CD于点Q，则CQ的长度不可能是（

）A．5 B．4 C．3 D．2答案:

1

2分析：（1）连接AO，DO，证明△AEO≌△DFOASA，可得S四边形EOFD（2）设AE=x，则ED=2−x，由勾股定理可得EF2=2【详解】解：（1）连接AO，DO，∵∠EOF=90°，∴∠EOD+∠FOD=90°，∵四边形ABCD是正方形，O是中心，∴∠AOD=90°，AO=DO，∠EAO=∠FDO=45°，∴∠EOD+∠AOE=90°，∴∠FOD=∠AOE，∴△AEO≌∴S四边形EOFD∵AD=2，∴SΔ∴S故答案为：1；（2）设AE=x，则ED=2−x，∵△AEO≌∴DF=AE=x,在Rt△EDF中，EF∴当x=1时，EF有最小值2，故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．1．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知AD=2，∠EOF=90°．（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF的最小值是_________．答案:

1

2分析：（1）连接AO，DO，证明△AEO≌△DFOASA，可得S（2）设AE=x，则ED=2−【详解】解：（1）连接AO，DO，∵∠EOF∴∠EOD∵四边形ABCD是正方形，O是中心，∴∠AOD=90°，AO=∴∠EOD∴∠FOD∴△AEO∴S四边形EOFD∵AD=2∴SΔ∴S故答案为：1；（2）设AE=x，则∵△AEO∴DF在Rt△EDF中，∴当x=1时，EF有最小值2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．2．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（A．23 B．15 C．3 D．答案:C分析：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理求出【详解】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于∵PQ是⊙∴CQ∴PQ当CP⊥AB时，CP最小，∵△ABC∴∠B∴CH∴PQ的最小值为：(2故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短、勾股定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．3．如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB=4，则线段CF的最大值是____________．答案:1分析：因∠AEF=90°得∠AEB+∠FEC=90°，在Rt△ABE中【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是矩形，∴∠B∵∠AEB+∠FEC∴∠BAE∴△ABE∴AB设BE=x，即44−整理得：y=−∵y=−1∴当x=2时，y∴线段CF的最大值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数求最值等相关知识，重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是将相似三角形的相似比相等转化为二次函数解析式求最值．4．如图，半径为2的⊙A，圆心A在直线y=34x−3上运动，过点O作⊙A的一条切线OP，P答案:2115分析：连接OA，由勾股定理得到OP【详解】解：如图，连接OA，∵圆心A在直线y=∴设Ax∵OP是切线，PA是半径，∴PA⊥∴OP2=整理，得OP∴OP2的最小值为∴OP的最小值为4425故答案为：211【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，利用勾股定理求得OP5．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=3，D是BC边上任意一点，分别作点D关于AB、AC的对称点E、F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF，边FG交BC于点H，则BH答案:9分析：根据对称轴的性质推出C、B、E三点共线，设BE=x，AE=x2+9，证明平行四边形AEGF是正方形，进而推出△EGH【详解】解：∵点D和点E关于AB对称，∴AE=AD，∠∴C设BE=∴AE同理可得：AF=AD，∴AF=AE∵△ABC∴∠BAC∴∠EAF∵四边形AEGF是平行四边形，∴平行四边形AEGF是正方形，∴∠AEG=∠G∴∠AEB∵∠AEB∴∠GEC∵∠G∴△EGH∴GE∴x∴EH∴BH∴当x=32时，BH故答案为：94【点睛】本题考查了轴对称的性质，二次函数的最值，正方形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是设线段长，建立二次函数关系式求最值6．如图，点A坐标为(2，1)，点B坐标为(2，8)，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和（1）线段AB的长为_______．（2）则DE长的最小值是_______．答案:

7

7分析：（1）由A、B两点的坐标知，AB∥x轴，则由两点的坐标即可求得（2）设AC=x，则BC=7−x，由已知可得CD、【详解】（1）∵点A坐标为(2，1)，点B坐标为∴AB∥∴AB即AB的长为7；故答案为：7；（2）设AC=x，则∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，且AC、∴DA=DC，EC∴∠DCE由勾股定理得：DC=22∵D∴D则当x=72时，DE2取得最小值49故答案为：72【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，关键是利用勾股定理建立DE7．如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________________．答案:12分析：连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【详解】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD=CB=12AB=12×1=即CD的最大值为12故答案为：12【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出符合题意的点C的位置是解此题的关键．8．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为4,2，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为1,0，连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，答案:9分析：先求直线AD的解析式，进而设直线EG的解析式为y=−2x+b，得出BF=AE=【详解】解：∵矩形ABCO，B点坐标为4,2，∴OA∴A设直线AD的解析式为y=把D点坐标为1,0代入，得0=k解得k=−2∴直线AD的解析式为y=−2∵EG∥∴设直线EG的解析式为y=−2∴G0,当y=2时，x∴E∴AE∴BF∴EF∴S=1∵−1∴△FGH的最大面积为4.5故答案为:4.5．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，熟练掌握知识点是解题的关键．题型二：将军饮马型最值【例2】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PB+PQ的最小值为________________．答案:2分析：根据最短路径可知BF是PB+PQ的最短路径，再根据勾股定理即可求得【详解】解：作点Q的对称点F，连接BF与AC交于P'∵根据最短路径可知BF是最短路径，∴BF=∵在边长为4的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，∴CF=∴在Rt△BCF中，BF故答案为：2【点睛】本题考查了最短路径，正方形的性质，勾股定理等相关知识点，掌握最短路径的画法是解题的关键．9．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12答案:C分析：连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是底边BC∴AD∴S△ABC∵EF是线段AC∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM∴△CDM的周长最短=AD故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．10．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=α（∠BAE为钝角），∠B=∠E=90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（

）A．12α B．α−90° C．2α−180° 答案:C分析：分别延长AB、AE到点A'、A″，使A″E=AE，A'B=AB，连接【详解】解：∵∠B∴如图，分别延长AB、AE到点A'、A″，使A″E=AE，∵BM垂直平分AA'，EN垂直平分∴A'M=∴∠AA'∵∠BAE∴∠A∴∠A∴∠MAN故选C．【点睛】本题考查平面内最短路径问题，涉及两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平面内最短路径的求解方法是解答的关键.11．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD=2，则PE+PB的最小值为（A．22 B．23 C．10 答案:C分析：由BD⊥AD得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延长BD至点B'，使得B'D＝BD＝2，连接B'E，则点P在B'E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，给出证明，再过点E作EF⊥B【详解】解：∵BD∴∠ADB＝90°∵AB=2∴AB＝22由勾股定理得BD＝AB∴AD＝BD＝2∴∠BAD＝∠ABD＝45°∵E是AB的中点，∴BE＝AE＝12AB＝延长BD至点B'，使得B'D＝BD＝2，连接则点P在B'理由如下：∵’BD⊥AD，∴AD垂直平分BB∴AD上任意一点P,总有PB＝PB'由“两点之间，线段最短”可知，点P在B'PE＋PB的值最小，最小值为B'E的长，此时过点E作EF⊥BB则∠EFB＝∠EFB'∵∠ABD＝45°∴EF＝BF∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2∴EF＝BF＝BE∴B'F＝BD＋B在Rt△B'B'E＝EF2+B即PE+PB故选：C【点睛】本题考查了最短路径问题、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，掌握最短路径的确定方法、灵活应用勾股定理是解题的关键．12．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为3，4，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，则点答案:(3，分析：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH的解析式，再求出直线CH与AB【详解】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE∵点B的坐标为3，4，DOH=是OA的中点，∴A(3，0)，D(3∴OH∴H(设直线CH的解析式为y=把H(92∴k=−∴直线CH的解析式为y=−∴x=3时，y∴点E坐标(3，4故答案为：(3，4【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称-最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题．13．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________答案:10分析：作DM∥AC，使得DM=EF=1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt△BDM中，BM＝12+∴DE+BF的最小值为10．故答案为10．【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,6),B(−2,2)，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD=1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的坐标为________．答案:（-1，0）分析：作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则6=3k+b∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，AD为△ABC的角平分线．M为AC边上一动点，N为线段AD上一动点，连接BM、CN、MN，当CN+MN取得最小值时，△ABM的面积为______．答案:18分析：利用点M关于AC的对称点确定N点，当C、N、M'三点共线且CM'⊥AB时，CN+NM'的长取得最小值，再利用三角形的面积公式求出【详解】∵AD为△ABC的角平分线，将AC沿AD∴M的对应点M'一定在AB∴CN∴当C、N、M'三点共线且CMCN+∵在Rt△ABC中，AB=5∴AC∵S∴CM∴在Rt△AM∴S△【点睛】本题考查了最短路径问题以及勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．题型三：立体图形中的最值【例3】如图，圆柱形容器的高17cm，底面周长是24cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm点FA．20cm B．83cm C．433答案:A分析：把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出SF的长即可．【详解】解：如图所示，SF=故选：A．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．16．已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．π B．5π C．25 答案:C分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．∵点B是母线PA的中点，PA=4∴PB=2∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，又∵圆锥底面半径为1，∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即l=2由弧长公式可得：l∴扇形的圆心角n=90°在Rt△APB中，由勾股定理可得：AB=所以

蚂蚁爬行的最短路程为25故选：C．【点睛】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．17．如图，长、宽、高分别为2，1，1的长方体木块上有一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（

）A．10 B．3 C．5 D．2答案:D分析：蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．【详解】解：如图所示，路径一：AB=路径二：AB=∵22∴蚂蚁爬行的最短路程为22故选：D．【点睛】本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．18．如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（

）A．36+16π2 C．36+π2答案:B分析：要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，所以AB＝62故选：B．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．19．如图，圆柱底面半径为4厘米，高18π厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B答案:30π厘米分析：要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4=8π；又∵圆柱高为18π，∴小长方形的一条边长是18π÷3=6π；根据勾股定理求得AC=CD=DB=6π∴AC+CD+DB=30π．故答案为：30π厘米．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．20．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．答案:20cm##20厘米分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解∶如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．根据勾股定理，得A'故答案为：20cm．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．题型四：线段差的最大值差最大值问题问题：已知两定点A，B位于直线l的异侧，在直线l上找一点P，使得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA－PB))的值最大．问题解决：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，交直线l于点P，点P即为所求．原理：三角形的任意两边之差小于第三边．图示：21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O,N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3,P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM-PN值为(

)A．1 B．2 C．2 D．2答案:A分析：作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，PM-PN'=MN'，再求得CMBM=CN'AN'=【详解】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN=PN'，∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，PM-PN'=MN'，∵正方形边长为4，∴AC=2AB=42，∵O为AC中点，∴AO=OC=22，∵N为OA中点，∴ON=2，∴ON'=CN'=2，∴AN'=32，∵BM=3，∴CM=AB-BM=4-3=1，∴CM∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，∵∠N'CM=45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM=MN'=1，即PM-PN=1，故选A【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．22．如图，在正方形ABCD中，AB=22，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，则PM−PN答案:1分析：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN=PE，则PM-PN=PM-PE，∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=42∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，∴点E是OC中点，∴CE=14AC=2∵BC=4，BM=3，∴CM=1=14∵∠BCQ=45°，∴△MCQ为等腰直角三角形，∴CQ=CM2=2∴EQ=22∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．23．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=4，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF−PE的最大值为______．答案:1分析：取OB中点E'，作射线FE'交AC于点P'．P'、E'、F三点在同一直线上时，PF−PE'有最大值，即为FE'的长，证明△BE'F为等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．【详解】解：取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE=PE'，∴PF−PE=PF−PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF−PE'有最大值，即为FE'的长，∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．∴AB=BD=AD=4．∴OD=OB=2．∵点E'为OB的中点，E'B=1，AF=3BF，∴BF=14AB=1，∵∠ABD=60°，∴△BE'F为等边三角形，∴E'F=FB=1．故PF−PE的最大值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，得到P'、E'、F三点在同一直线上时，PF−PE'有最大值是解题的关键．题型五：垂线段最短【例4】如图，等边△ABC中，AO⊥BC，O为垂足且AO=3，E是线段AO上的一个动点，连接BE，线段BF与线段BE关于直线BA对称，连接AF、OF，在点E运动的过程中，当OF答案:3分析：过点O作OH⊥AF于H，连接OF，先根据等边三角形的性质和轴对称的性质得到点F的运动路线，再根据垂线段最短得到点F、H重合时OF最小，然后利用含30度直角三角形的性质求得【详解】解：如图，过点O作OH⊥AF于H，连接∵△ABC是等边三角形，AO∴∠BAO∵线段BF与线段BE关于直线BA对称，，∴AE=AF，∠BAF∴点F在射线AF上运动，根据垂线段最短可知，当F和H重合时，OF的值最小，即为OH的长度，此时AE=在Rt△AHO中，∠∴AH=即当OF的长取得最小值时，AE的长为32故答案为：32【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，找到点F的运动路线以及使OF最小时的位置是解题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC=2，BC=3A．321 B．2217 C．4答案:B分析：如图，过点P作PT⊥AB于T，过点C作CR⊥AB于R，利用面积法求出CR，再证明【详解】解：如图，过点P作PT⊥AB于T，过点C作在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴AB∵CR∴1∴CR由作图可知，AO平分∠CAB∵PM⊥AC∴PM∴PC∵PC∴PC∴PC+PM故选：B．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明PM=25．如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．2答案:C分析：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵CF∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．则AF＝AB•sin60°＝2×3即MA+MF的最小值是故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是MA+26．已知在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=75°，AB=5．点