高中数学第三章三角恒等变换3-2简单的三角恒等变换一课件新人教A版必修4

3.2简单的三角恒等变换(一)

必备知识·自主学习半角公式:【思考】(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?提示:二倍角的余弦公式.推导如下:在二倍角公式cos2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得:cosα=1-2sin2=2cos2-1.所以sin2=,cos2=,tan2=.开方可得半角公式.(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号.(3)半角公式对α∈R都成立吗?提示:公式对α∈R都成立,但公式要求α≠(2k+1)π(k∈Z).【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1) (

)(2)存在α∈R,使得coscosα. (

)(3)对于任意α∈R,sinsinα都不成立. (

)(4)若α是第一象限角,则tan. (

)提示:(1)×.只有当(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,(2)√.当cosα=-+1时,上式成立,但一般情况下不成立.(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.(4)√.若α是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan=成立.提示:(1)×.只有当(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,(2)√.当cosα=-+1时,上式成立,但一般情况下不成立.(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.(4)√.若α是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan=成立.2.(教材二次开发:例题改编)已知cosα=,α∈,则sin等于 (

)

【解析】选A.由题知3.已知2π<θ<4π,且sinθ=-,cosθ<0,则tan的值等于________.

【解析】由sinθ=-,cosθ<0得cosθ=-,所以答案:-3关键能力·合作学习类型一利用半角公式求值(数学运算、直观想象)角度1给角求值

【典例】求值:(1)sin=________.(2)tan=________.

【思路导引】利用半角公式求解.【解析】(1)(2)tan答案:(1)

(2)-1【变式探究】设a=cos6°-sin6°,b=,c=则有 (

)

A.a>b>c B.a<b<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】选C.a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin24°,b=sin26°,c=sin25°,所以a<c<b.【变式探究】设a=cos6°-sin6°,b=,c=则有 (

)

A.a>b>c B.a<b<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】选C.a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin24°,b=sin26°,c=sin25°,所以a<c<b.角度2给值求值

【典例】已知sinα=-,π<α<,求

的值.【思路导引】利用半角公式求解.【解析】因为π<α<,sinα=-,所以cosα=-,且,所以

【解题策略】利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan=,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2,cos2

计算.(4)下结论:结合(2)求值.【题组训练】1.求值:= (

)A.1

B.2

C.

D.【解析】选C.原式=2.(2020·聊城高一检测)若α∈,则等于 (

)A.cosα-sinα

B.cosα+sinαC.-cosα+sinα

D.-cosα-sinα【解析】选D.因为α∈,所以sinα≥0,cosα≤0,则=|cosα|-|sinα|=-cosα-sinα.3.设π<θ<2π,cos=a,求:(1)sinθ的值;(2)cosθ的值;(3)sin2

的值.【解析】(1)因为π<θ<2π,所以<<π.又因为cos=a,所以sin=所以sinθ=2sincos=2a(2)cosθ=2cos2-1=2a2-1.(3)sin2

类型二三角函数式的化简(直观想象、数学运算)【典例】1.设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于(

)2.化简:=________.

3.已知π<α<,化简:【思路导引】注意分析角之间的关系,利用半角、倍角及两角差的正弦公式化简求值.【解析】1.选D.因为5π<θ<6π,所以所以2.原式=答案:2cosα3.原式=因为π<α<,所以所以cos<0,sin>0,所以原式=【解题策略】化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.【跟踪训练】1.化简:=________.

【解析】原式=答案:cos2x2.(2020·本溪高一检测)化简:【解析】原式=

又因为180°<α<360°,所以90°<<180°,所以cos<0,所以原式==cosα.类型三三角恒等式的证明(数学建模、逻辑推理)【典例】证明【思路导引】方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边.方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.【证明】方法一:右边=由左右两边的角之间的关系,想到分子分母同乘以cos+sin,得

=左边.所以原等式成立.方法二:左边=由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母同除以cos,得=右边.所以原等式成立.【解题策略】关于证明三角恒等式的原则(1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明.(2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立.(3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换.(4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.【跟踪训练】求证:【证明】左边=所以原等式成立.【延伸拓展】积化和差公式sinαcosβ=cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)];cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)];sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].和差化积公式sinθ+sinφ=2sincos,sinθ-sinφ=2cossin,cosθ+cosφ=2coscos,cosθ-cosφ=-2sinsin.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则sinαcosβ=________.

【解析】sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α-β)=答案:1.(教材二次开发:例题改编)已知180°<α<360°,则cos等于 (

)【解析】选C.因为180°<α<360°,所以90°<<180°,cos<0,又cos2=,所以cos=课堂检测·素养达标2.已知α∈(π,2π),则等于 (

)A.sin B.cos C.-sin D.-cos【解析】选D.因为α∈(π,2π),所以所以3.化简:=________.

【解析】原式=因为<θ<2π,所以<π,所以sin>0,故原式=sin.答案:sin

4.在△ABC中,4sinA+3cosB=5,4cosA+3sinB=2,求角C.

【解析】由4sinA+3cosB=5,可得16sin2A+9cos2B+24sinAcosB=25.①,由4cosA+3sinB=2,可得16cos2A+9sin2B+24sinBcosA=12.②,用①+②可得25+24(sinAcosB+sinBcosA)=37,因为sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,所以24sinC=12,sinC=,所以C=π或C=.因为当C=,即A+B=时,A<,所以cosA>cos=,所以4cosA>2,又sinB>0,所以4cosA+3sinB>2,与题中的4cosA+3sinB=2矛盾(舍去).故C=.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏

【解析】由4sinA+3cosB=5,可得16sin2A+9cos2B+24sinAcosB=25.①,由4cosA+3sin