专题04相似三角形的存在性-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(上海地区专用)(原卷版+解析)

专题04相似三角形的存在性目录最新模考题热点题型归纳【题型一】相似三角形的存在性【题型二】圆和相似三角形【题型三】双等角模型【题型四】345模型【题型一】相似三角形的存在性【典例分析】1．（2023浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．【提分秘籍】相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）①若有已知的相等角，则其顶点对应；②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。【变式演练】1．（2023杨浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P．（1）当点B为CQ的中点时，求PD的长；（2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长．2．（2023徐汇区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．3．(2023·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形，分别联结、，与交于点．（1）当时，求正方形的面积；（2）延长交于点，如果和相似，求的值；（3）当时，求的长．4．(2023·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．（1）如果点D为边的中点，求的正切值；（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结如果与相似，求线段的长．5.(2023松江一模）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．【题型二】圆和相似三角形【典例分析】(2023•徐汇区二模）如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC＝OB，点D是在半圆O上的点（不与A，B两点重合），CE⊥CD且CE＝CD，联结DE．（1）如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF＝BF，求证：；（2）如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分，求tan∠DFA；（3）联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．【提分秘籍】[圆中相似思路]利用圆周角定理等尽可能找相等角，两组角相等即可证全等:若有相等线段转化线段，问题中的线段可能并非相似三角形中的线段确定相等线段、角之后，猜想可能存在的相似并证明.【变式演练】1.【2023宝山二模】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、点C，AC与BD交于点P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以点P为圆心作圆，圆P与直线BC相切．①求圆P的半径长；②又BC＝8，以BC为直径作圆O，试判断圆O与圆P的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB、CD为直径的两圆外切，求证：△ABC与△BCD相似．2.【2023虹口二模】（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图9，当MC=AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM=x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．CCMBA图9DCCBA备用图3.【2023年浦东新区二模】（14分）已知：半圆O的直径AB＝6，点C在半圆O上，且tan∠ABC＝2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．【题型三】双等角模型【典例分析】【提分秘籍】【题型四】345模型【典例分析】【提分秘籍】模型1：顶角(底角)为37°的等腰三角形模型2：顶角(底角)为53°的等腰三角形专题04相似三角形的存在性目录最新模考题热点题型归纳【题型一】相似三角形的存在性【题型二】圆和相似三角形【题型三】双等角模型【题型四】345模型【题型一】相似三角形的存在性【典例分析】1．（2023浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．分析：（1）连接DF，DE，由∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，得AB＝6，BC＝8，而D是AC中点，知BD＝AC＝5，从而DG＝BD＝，证明△DGF∽△ABC∽△EGD，可得＝，＝，解得FG＝，EG＝，即可得EF＝FG+EG＝；（2）分两种情况：①当△DEC∽ABC时，设CE＝m，则BE＝8﹣m＝DE，有＝，解得m＝；②当△EDC∽△ABC时，设CE＝n，则BE＝DE＝8﹣n，可得＝，解得n＝5，即可得△DEC和△ABC相似，CE的长为或5；（3）连接DF，过D作DK⊥AB于K，由∠ADK＝∠C，有＝，设AK＝3t，则DK＝4t，在Rt△DKF中，得（4t）2+（3t+2）2＝82，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）连接DF，DE，如图：∵∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，∴AB＝6，BC＝8，∵D是AC中点，∴BD＝AC＝5，∵EF是BD的垂直平分线，∴DG＝BD＝，∵D是AC中点，∠ABC＝90°，∴AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠DBA，∠C＝∠DBC，∵EF是BD的垂直平分线，∴DF＝BF，DE＝BE，∴∠FDG＝∠DBA，∠EDG＝∠DBC，∴∠FDG＝∠A，∠EDG＝∠C，∵∠DGF＝∠ABC＝90°＝∠EGD，∴△DGF∽△ABC∽△EGD，∴＝，＝，∴＝，＝，解得FG＝，EG＝，∴EF＝FG+EG＝；（2）①当△DEC∽ABC时，如图：设CE＝m，则BE＝8﹣m＝DE，∵＝，∴＝，解得m＝，∴CE＝；②当△EDC∽△ABC时，如图：设CE＝n，则BE＝DE＝8﹣n，∵＝，∴＝，解得n＝5，∴CE＝5；综上所述，△DEC和△ABC相似，CE的长为或5；（3）连接DF，过D作DK⊥AB于K，如图：∴DK∥BC，∴∠ADK＝∠C，∴tan∠ADK＝tanC＝，即＝，设AK＝3t，则DK＝4t，∵AB＝6，AF＝2，∴BF＝8＝DF，KF＝AK+AF＝3t+2，在Rt△DKF中，DK2+KF2＝DF2，∴（4t）2+（3t+2）2＝82，解得t＝或t＝（舍去），∴AD＝＝＝5t＝，∴AD的长是．【点评】本题考查直角三角形中的相似问题，涉及勾股定理及应用，垂直平分线等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及应用．【提分秘籍】相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）①若有已知的相等角，则其顶点对应；②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。【变式演练】1．（2023杨浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P．（1）当点B为CQ的中点时，求PD的长；（2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长．分析：（1）由勾股定理可求得AB的长，由直角三角形斜边上中线的性质可得∠PCQ＝∠ABC，则可得△PCQ∽△CBA，由相似三角形的性质即可求得PC的长度，从而求得结果；（2）由△PCQ∽△CBA，即可求得PC的长度，从而由y＝PC﹣CD即可求得y关于x的函数关系式，由CQ在CB延长线上的一动点，即可写出x的取值范围；（3）分△DBF∽△ACB，△DBF∽△BCA两种情况，利用相似三角形的性质即可完成求解．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵CD是边AB上的中线，∴，∴∠PCQ＝∠ABC，∵∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△CBA，即，∵点B为CQ的中点，∴CQ＝2BC＝8，∴，∴；（2）解：∵△PCQ∽△CBA，∴，∵CQ＝BC+BQ＝4+x，∴，∴，∵点Q是CB延长线上的一动点，∴x＞4，∴y关于x的函数关系式，x的取值范围为x＞4；（3）若△DBF∽△ACB，如图，则，∴，∵∠FBQ+∠ABC＝∠ABC+∠A＝90°，∠PCQ+∠ACD＝∠PCQ+∠PQC＝90°，∴∠FBQ＝∠A，∠ACD＝∠PQC，∴△FBQ∽△DAC，∴，∵，∴；若△DBF∽△BCA，如图，则，∠FDB＝∠ABC，∴，DF∥CQ，∴△PDF∽△PCQ，∴，即DF⋅PC＝PD⋅CQ，∴，化简得：4x2+7x﹣36＝0，解得：，x2＝﹣4（舍去），∴．综上，BQ的长为4或．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，正确运用相似三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论．2．（2023徐汇区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．分析：（1）过点D作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH即可解决问题．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．想办法证明AR＝AT＝8，再证明△ACD∽△TAF，可得＝＝，推出AF＝2CD＝2x，可得结论．（3）利用△CFD与△ADH相似，可得＝或＝，由此构建方程求出CD，当点F在下方时，同法可求CD．【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴DH＝BH＝DB＝，∴AH＝AB﹣BH＝3，∴tan∠DAB＝＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．∵AT⊥AC，BC⊥AC，∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠DAK＝∠DKA，∴DA＝DK，∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，∴∠DAC＝∠R，∴DA＝DR，∵DC⊥AR，∴AC＝CR＝4，∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，∴∠AFE＝∠AKE，∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴AF＝AK，∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，∴△AKR≌△AFT（ASA），∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，∵∠ACD＝∠TAF，∴△ACD∽△TAF，∴＝＝，∴AF＝2CD＝2x，∵CF+AF＝4，∴y+2x＝4，∴y＝4﹣2x（0＜x＜2）．（3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，∴△AGE∽△AHD，∵△CDF与△AGE相似，∴△CFD与△ADH相似，∴＝或＝，∴＝或＝，整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x+16＝0，解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃），∴CD＝4﹣4或8﹣4，当点F在下方时，同法可得，CD＝，综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．(2023·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形，分别联结、，与交于点．（1）当时，求正方形的面积；（2）延长交于点，如果和相似，求的值；（3）当时，求的长．答案:（1）；（2）；（3）．分析：（1）利用勾股定理求出AB的长，设CD=x，则AD=12-x，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF，设边长为x，利用三角函数求出x的值，再求∠ABE的正弦值即可；（3）设边长为x，利用△BCG∽△EDG，得出，然后联立，根据AG=AE，求解即可．【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB=，设CD=x，则AD=12-x，在△ADE中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在△BFE中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在△ABE中，AE⊥BE，∴AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=，∴正方形的面积=CD²=×=；（2）如图：延长ED交AB于H，∵△BEH∽△ABG，且∠ABG=∠EBH，∴∠BEH=∠BAG，∵DE∥EF，∴∠BEH=∠EBF，∴∠BAC=∠EBF，设边长为x，则tan∠EBF=，tan∠BAC=，令=，则x=,∵，∵，∴BH=13-AH=，HD=，∴HE=HD+x=，过H作HM，与BE相交于M，,；（3）∵DE//BC,∴△BCG∽△EDG，设边长为x，∴，∵DG+GC=x，∴DG=，GC=，则，令AG=AE，则CD=x=或x=（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．4．(2023·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．（1）如果点D为边的中点，求的正切值；（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结如果与相似，求线段的长．答案:（1）；（2）；（3）4-4、或．分析：（1））过点D作于H，在中，利用勾股定理解得AD、AB的长，再结合等积法，解得DH、AH的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示，再证明由即得到与x的关系；（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y关于x的函数解析式联立方程组，继而解得x、y的值即可解题．【详解】（1）过点D作于H，在中，；（2）过E作EH⊥CB于H∵，∴．∴即．∴．∵EH⊥CB，，∴，．∴∵，∴．∵∴．∵∴．∴即．整理得，；（3）在Rt△MDB中，DB=4-x,所以MD=MB=在Rt△ADM中，AM=AB一MB=所以tan∠DAB=按照点F的位置，分两种情况讨论△CDF与△AGE相似:①点F在线段AC上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB，由tan∠FDC=tan∠DAB,得结合y=4-2x，整理，得x2+8x+16=0.解得x=4-4或-4-4（舍去）,如果∠CFD=∠DAB，由tan∠CFD=tan∠DAB，得结合y=4--2x,整理，得x2-16x+16=0.解得或（舍去）②点F在线段AC的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由结合y=2x-4，整理，得解得x=或（舍去）如果∠CFD=∠DAB,与y=2x-4整理，得此方程无解.综上，CD的值为4-4、或．【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．5.(2023松江一模）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．答案:（1）10；（2）；（3）或．分析：（1）如图作交BC于点H，设BH=x，根据正切可求出AH=2x，再根据勾股定理解出x即可．（2）作交AC于点E，利用三角形面积公式可求出的长，再利用勾股定理可求出，从而得到．再利用和结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．（3）根据题意可证明，所以分两种情况讨论①当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长②当DF=QF时，如图，作交DQ于点O，同理设，解出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长．【详解】（1）如图作交BC于点H，设BH=x，根据题意，，∴AH=2x，在中，，∴解得x=5．∴BH=5．又∵是等腰三角形，即H点为BC中点，∴BC=2BH=10．（2）根据题意可知，即，∴，∴，．作交AC于点E，∴，得到：，即．，得到：．又∵∴，由，解得，．∵，是等腰三角形，∴也是等腰三角形，∴．（3）∵，，∴，又∵，∴当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，设，∵,∴，∴，∴，∵，∵,∴，∴，∵，即解得x=，经检验是原方程的解，即．∴．当DF=QF时，如图，作交DQ于点O，设，同理，，，∵,∴，∴，∴，同理∵，即解得，经检验是原方程的解，．∴．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论．【题型二】圆和相似三角形【典例分析】(2023•徐汇区二模）如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC＝OB，点D是在半圆O上的点（不与A，B两点重合），CE⊥CD且CE＝CD，联结DE．（1）如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF＝BF，求证：；（2）如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分，求tan∠DFA；（3）联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．分析：（1）连接OF，证明△FCB∽△OCF，由相似三角形的性质可得出，则可得出结论；（2）连接DO交AF于点M，连接BF，证出，设OM＝a，则BF＝2a，OD＝OF＝4a，DM＝3a，由勾股定理求出MF＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）当∠ODG＝∠DCE＝90°时，由直角三角形的性质可求出答案；当∠DOG＝∠DCE＝90°时，设BE的中点为H，连接HO，HC，由直角三角形的性质可求出答案．【解答】（1）证明：∵DF＝BF，∴∠DOF＝∠FOB，连接OF，在半圆O中，OD＝OF＝OB，∴∠ODF＝∠OFD＝，∠OFB＝∠OBF＝（180°﹣∠FOB），∴∠ODF＝∠OFD＝∠OFB＝∠OBF，∵∠CFB＝180°﹣∠OFB﹣∠OFD＝180°﹣∠OFB﹣∠OBF＝∠FOC，又∵∠FCB＝∠OCF，∴△FCB∽△OCF，∴，又∵OF＝OB＝BC＝OC，∴；（2）解：连接DO交AF于点M，连接BF，∵点D平分，OD是半径，∴OD⊥AF于点M，AM＝MF，∵OA＝OB，∴OD∥BF，OM＝BF，又∵OC＝OB，BF∥OD，∴，设OM＝a，则BF＝2a，OD＝OF＝4a，DM＝3a，在Rt△OMF中，由勾股定理得，MF＝＝＝a，在Rt△DMF中，tan∠DFA＝；（3）解：由题意有∠DGO＝∠CGE，当∠ODG＝∠DCE＝90°时，∵OC＝2OB＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴∠AOD＝120°，当∠DOG＝∠DCE＝90°时，设BE的中点为H，连接HO，HC，在Rt△DOE中，OH＝，∴∠HDO＝∠HOD，在Rt△DOE中，CD＝CE，∴HC＝DE，CH⊥DE，∴HC＝DE＝HO，∴∠HOC＝∠HCO，∵四边形HCOD的内角和为360°，∴∠DOC＝135°，∴∠AOD＝45°．综上所述，∠AOD为120°或45°．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【提分秘籍】[圆中相似思路]利用圆周角定理等尽可能找相等角，两组角相等即可证全等:若有相等线段转化线段，问题中的线段可能并非相似三角形中的线段确定相等线段、角之后，猜想可能存在的相似并证明.【变式演练】1.【2023宝山二模】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、点C，AC与BD交于点P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以点P为圆心作圆，圆P与直线BC相切．①求圆P的半径长；②又BC＝8，以BC为直径作圆O，试判断圆O与圆P的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB、CD为直径的两圆外切，求证：△ABC与△BCD相似．分析：（1）①过点P作PH⊥BC于H．利用平行线分线段成比例定理求出PH，可得结论．②求出OP的长，即可判断．（2）设AB，DC的中点分别为O1，O2，连接O1O2，过点O1作O1E⊥DC于E，设AB＝a，DC＝b．根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即可．解：（1）①过点P作PH⊥BC于H．∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥PH∥DC，∴＝，＝，∵AB＝3，DC＝5，∴+＝1，∴PH＝，∵直线BC与⊙P相切，∴⊙P的半径为．②结论：⊙O与⊙P内切．理由：设BC的中点为O，∵BC＝8，∴OB＝OC＝4，由＝，∴CH＝5，OH＝1，∴OP＝，即OP＝|RO﹣RP|，∴⊙O与⊙P内切．（2）设AB，DC的中点分别为O1，O2，连接O1O2，过点O1作O1E⊥DC于E，设AB＝a，DC＝b．由题意O1O2＝，在Rt△O1O2E中，O1E＝，∵O1E＝BC，∴AB•DC＝BC2，即＝，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴△ABC∽△BCD．2.【2023虹口二模】（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图9，当MC=AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM=x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．CCMBA图9DCCBA备用图25．解：（1）过点M作MH⊥CD，垂足为点H．在Rt△ABC中，易得．………（1分）∵MC=AC，∠ABC=90°∴AM=2AB=8∴在Rt△AMH中，．………（1分）∴……………（1分）∴由垂径定理，得．………（1分）（2）过点M作MH⊥CD，垂足为点H．在Rt△AMH中，……………（1分）．∴,．…………（1分）∴．…（1分）又．∴，即．…………（1分）定义域为．………………（1分）（3）①当点M在AB的延长线上时（如图9），∵△ECD与△EMC相似，∠EDC>∠EMC，∴∠EDC=∠ECM．………（1分）∴∠CDM=∠BCM．而由MC=MD可得，∠MCD=∠CDM，∴∠BCM=∠MCD．可证得△CBM≌△CHM，∴CB=CH．…………………（1分）∴．解得，即．…………………（1分）②当点M在线段AB上时（如下图），同①可得∠BCM=∠MCD，CB=CH，MB=MH．………（1分）∴,．在Rt△AMH中，，即．解得．…………………（1分）综上所述，线段BM的长为6或．3.【2023年浦东新区二模】（14分）已知：半圆O的直径AB＝6，点C在半圆O上，且tan∠ABC＝2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．分析：（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问