高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件新人教A版选修1-2

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

复数的加、减法法则及几何意义与运算律必备知识·自主学习z1,z2,z3∈C,设分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且不共线加法减法运算法则z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=_____________(a-c)+(b-d)i几何意义

复数的和z1+z2与向量的坐标对应

复数的差z1-z2与向量的坐标对应运算律交换律z1+z2=z2+z1【思考】

(1)两个复数的和或差得到的结果是什么?提示:结果仍然是唯一的复数.(2)复数的加法法则可以推广吗?提示:可以推广到多个复数相加的情形.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个复数的加法不满足结合律. (

)(2)复数的加法运算法则只适用于两个复数相加. (

)(3)复数与向量一一对应. (

)提示:(1)×.复数的加减法满足结合律.(2)×.可以推广到多个复数相加.(3)×.正确说法是:复数z=a+bi与平面向量:=(a,b)一一对应.2.(教材二次开发:练习题改编)已知z=11-20i,则1-2i-z等于 (

)A.z-1 B.z+1C.-10+18i D.10-18i【解析】选C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i.3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是 (

)A.-2 B.4 C.3 D.-4【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.关键能力·合作学习类型一复数的加减运算(数学运算)【题组训练】1.计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.

2.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=_______,y=_______.

3.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=________.

【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.答案:-2-i2.整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,故解得答案:6

11【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.答案:-2-i2.整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,故解得答案:6

113.z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.答案:

【解题策略】复数加、减运算法则的记忆

(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.提醒:注意运算格式及范围,避免出错在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个复数,其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号,如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i(a,b,c,d∈R).【补偿训练】1.已知复数z+3i-3=3-3i,则z= (

)A.0 B.6i C.6 D.6-6i【解析】选D.因为z+3i-3=3-3i,所以z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.2.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=________.

【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3.答案:3类型二复数加减法的几何意义(数学运算、直观想象)【典例】1.设向量对应的复数分别为z1,z2,z3,那么 (

)

A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=02.在复平面内,若对应的复数分别为7+i,3-2i,则||=________.

3.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示复数0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数.(2)对角线表示的复数.(3)对角线表示的复数.3.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示复数0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数.(2)对角线表示的复数.(3)对角线表示的复数.【解析】1.选D.因为,所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.2.答案:53.(1)因为,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为,所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为对角线,所以对角线表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.【解题策略】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论

(1)技巧.①形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理;②数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.(2)常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:①为平行四边形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.【跟踪训练】(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=__________.

【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=+i,所以两式平方作和得:4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化简得cosθcosα+sinθsinα=-,所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|答案:2

【补偿训练】在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是 (

)A.2+4i

B.-2+4i

C.-4+2i

D.4-2i【解析】选D.在平行四边形ABCD中,=3+i-(-1+3i)=4-2i.类型三复数模的最值问题(直观想象、数学抽象)【典例】1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(

)A.1

B.

C.2

D.

2.若复数z满足|z+

+i|≤1,求|z|的最大值和最小值.【思路导引】1.设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,则点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.2.满足|z+

+i|≤1的条件的点落在以(-

,-1)为圆心,半径为1的圆上以及内部,则|z|的最值即为求到原点的距离的最值.【解析】1.选A.设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.2.如图所示,=2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.【解题策略】

1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=

,实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离;|z1-z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2两点间的距离.2.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.【跟踪训练】已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.【解析】因为|z|=1且z∈C,作图如图:所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点Q到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2-1.课堂检测·素养达标1.a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为 (

)

A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i【解析】选D.因为z1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i.2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则|z1+z2|=(

)A.1

B.

C.2 D.3【解析】选B.由图象可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=

.3.在复平面内的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是 (

)A.2+14i

B.1+7i

C.2-14i

D.-1-7i【解析】选D.依据向量的平行四边形法则可得,,由对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是-1-7i.4.设z1=1-i,z2=a+2ai(a∈R),其中i是虚数单位,若复数z1+z2是纯虚数,则有(

)

A.a=1 B.a=

C.a=0 D.a=-1【解析】选D.因为复数z1+z2=1-i+a+2ai=1+a+(2a-1)i是纯虚数,所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.5.计算下列各题(1)(-2+3i)+(5-i).(2)(-1+

i)+(1-

i).【解析】(1)原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.(2)原式=(-1+1)+(-)i=0.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏4.设z1=1-i,z2=a+2ai(a∈R),其中i是虚数单位,若复数z1+z2是纯虚数,则有(

)

A.a=1 B.a=

C.a=0 D.a=-1【解析】选D.因为复数z1+z2=1-i+a+2ai=1+a+(2a-1)i是纯虚数,所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则|z1+z2|=(

)A.1

B.

C.2 D.3【解析】选B.由图象可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=

.