全等三角形的七大模型综合训练(一)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型综合训练（一）1．如图，为等腰直角三角形，，，，那么的面积为_______．2．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.3．如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则_________．4．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．5．如图，是的外角，平分，且与的延长线交于点，点是线段上一动点（点不与重合），若，，令，则的取值范围是___________．6．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____．7．如图，在中，，，延长的内角平分线BD至E，使得，则的度数为_________．8．如图，在中，，CD为的角平分线，在AC边上取点E，使，且，若，，则_______．（用x、y的代数式表示）9．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．10．如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______．11．如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且，连接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则______．12．如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4，则△BCD面积＝_____________．13．如图，，则______．14．如图，，，，，点M为的中点，，______．15．如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．16．如图，在中，平分，交于点D，过C作的垂线交的延长线于点E．若，则____________．17．如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．18．△ABC中，，点D是△ABC外一点，连接BD，CD，，点F是CD上一点，连接AF，若，，则BD的长为___________．19．如图，在和中，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为___________．20．如图所示，平分，，于点E，，，那么的长度为________cm．21．如图，在中，平分交于点D，若，，则__________．22．如图，的角平分线、相交于点、若，交于、交于．直接写出、、的数量关系____________________．23．如图，是的角平分线，延长至点，使，若，，则__________．24．如图，是等边三角形，直线于点C，点D在直线MN上一动点，以AD为边向右作等边三角形ADE，连结CE，已知，则CE的最小值是_________．25．如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长为_______________．全等三角形的七大模型综合训练（一）1．如图，为等腰直角三角形，，，，那么的面积为_______．答案:8分析：如图，过点A作AE⊥CD于D，根据同角的余角相等可得∠CAE=∠BCD，利用AAS可证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】如图，过点A作AE⊥CD于D，∴∠CAE+∠ACE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACE=90°，∴∠CAE=∠BCD，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD，∴AE=CD=4，∴S△ADC=CD·AE=×4×4=8.故答案为8【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理并正确作出辅助线是解题关键.2．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.答案:

110°

70°分析：①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；【详解】①∵，∴∠BAC+∠BCA=140°，∵AI、CI分别是、的角平分线，∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，∴∠AIC=180°-70°=110°；②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI=∠BCI，在△ACI与△DCI中，，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，∵BC=AI+AC，∴BD=AI，∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID，∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，∴∠CDI=∠ABC，∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，∵∠ABC=35°，∴∠BAC=35°×2=70°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点．3．如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则_________．答案:1分析：连接QP，通过中位线定理求得PQ的长度并证明，再结合已知条件求得，最后根据即可得出答案．【详解】如图连接PQ，∵Q为AE中点，P为AC中点，∴由中位线定理得：且，∵，∴，，∵G为QD中点，∴，∵在与中：，∴，∴，∵，，∴，，∴，∵D为BC中点，∴,∴，∴故答案为：1．【点睛】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．4．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．答案:；分析：延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长至使，连接在和中：∴∴∵∴∴∵∴，∴，∴即，∴【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．5．如图，是的外角，平分，且与的延长线交于点，点是线段上一动点（点不与重合），若，，令，则的取值范围是___________．答案:4＜n＜8分析：可以在上截取，连接，证明，可得，进而根据三角形三边的关系即可求得的取值范围．【详解】解：如图，在上截取，连接，平分，，在和中，，，，，，，，即，，令，则的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是构造适当的辅助线．6．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____．答案:75°分析：延长AE交DC边于点F，先判定Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，则∠BAC＝∠ACB＝45°，再由∠AEB为△AEC的外角，可求得∠AEB的度数，即∠BDC的度数．【详解】解：延长AE交DC边于点F，如图：∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，在Rt△ABE与Rt△CBD中，∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE＝30°，∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°，∴∠BDC＝75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7．如图，在中，，，延长的内角平分线BD至E，使得，则的度数为_________．答案:分析：在BC上截取FB=AB，连接DF，利用“SAS”可得△ABD≌△FBD，根据全等三角形的性质得到DF=DA，∠A=∠DFB，∠ADB=∠FDB，然后求出∠A的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠ADB的度数，进而得∠FDB的度数，证出∠CDE=∠CDF，根据“SAS”得出△DCE≌△DCF，根据全等三角形的对应角相等即可得出答案．【详解】解：在BC上截取FB=AB，连接DF，如图所示：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠FBD=∠ABC=29.5°，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DA=DF，∠ADB=∠FDB，∠A=∠DFB=180°-∠ABC-∠ACB=180°-59°-30.5°=90.5°，∴∠ADB=∠FDB=180°-∠A-∠ABD=180°-90.5°-29.5°=60°，∴∠CDE=∠ADB=60°，∴∠CDF=180°-60°-60°=60°，∴∠CDE=∠CDF，∵DE=DA，∴DE=DF，在△DCE和△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠E=∠CFD=∠FBD+∠FDB=29.5°+60°=89.5°；故答案为：89.5°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，以及辅助线作法；通过添加辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．8．如图，在中，，CD为的角平分线，在AC边上取点E，使，且，若，，则_______．（用x、y的代数式表示）答案:180°-x°-y°分析：在AC上截取CF=BC，根据全等三角形的性质可得BD=DF=DE，可得∠AED=∠ABC，根据三角形的内角和可求解．【详解】解：如图，在AC上截取CF=BC，∵CD为∠ACB的角平分线，∴∠ACD=∠BCD，∵CF=BC，∠ACD=∠BCD，CD=CD，∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠ABC=∠CFD，DF=BD，∵BD=DE，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∴∠AED=∠CFD，∵∠A=x°，∠ACB=y°，∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-x°-y°，∴∠AED=∠DBC=180°-x°-y°，故答案为：180°-x°-y°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．9．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．答案:2或4分析：据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．【详解】解：设点P的运动时间为t秒，∵，，∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒；当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒，综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．故答案为：2或4．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．10．如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______．答案:分析：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长．【详解】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在和中，∴∴BG＝AC，，又∵AE＝EF，∴，又∵，∴，∴，∴BG＝BF，∴AC＝BF，又∵BE＝7CE，AE＝，∴BF＋EF＝，即BF＋＝，解得BF＝．故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形全等，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且，连接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则______．答案:分析：作，交于，作，交于．通过平行线的性质证明，，，即可求出．【详解】解：作，交于，作，交于，是的中线，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形全等，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．12．如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4，则△BCD面积＝_____________．答案:8分析：根据和得到，再根据，得到，结合已知条件AC＝CD，可证明，从而得到，最终计算出△BCD面积．【详解】如下图所示，过点D做DE垂直于BC于点E，∵，∴，∵，∴，∴，∵,∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：8．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的相关知识．13．如图，，则______．答案:分析：如图，延长交于点，证明≌，可得，结合，，从而可得答案．【详解】解：如图，延长交于点，，，，，是的外角，，，，在和中，，≌，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出正确的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．14．如图，，，，，点M为的中点，，______．答案:6分析：延长至N，使，连接，证明，推出，，求出，再证明即可．【详解】证明：延长AM至N，使，连接，∵点M为的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长至N，使，再证即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．15．如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．答案:分析：取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值．【详解】解：如图，取的中点G，连接，∵线段绕点逆时针旋转得到，∴，又∵是等边三角形，∴，即，∴，∵是等边三角形的高，∴，∴，又∵旋转到，∴，在和中，，∴（），∴，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，此时，∴，∴，∴．∴线段长度的最小值是．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，在中，平分，交于点D，过C作的垂线交的延长线于点E．若，则____________．答案:分析：延长交于点F，证，得，通过角之间的关系，得到，又由，可得，进而可求解．【详解】解：如图所示，延长交于点F，∵，∴，∴又∴，∴，又∵∴，∴，在和中，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，会利用一些简单的辅助线辅助解题．17．如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．答案:2分析：连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．【详解】解：连接,∵是等边三角形，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴点P在射线上运动，∴当时，的值最小，∴故答案为：【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键．18．△ABC中，，点D是△ABC外一点，连接BD，CD，，点F是CD上一点，连接AF，若，，则BD的长为___________．答案:8分析：作的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，则，设，则，利用AAS求证，根据全等三角形的性质可得，，进而即可求解．【详解】解：如图，作的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，则，，设，则，，，，，，，，，，（AAS），，，，，，，故答案为：8【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是作图构造全等三角形，熟练运用全等三角形的判定求证．19．如图，在和中，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为___________．答案:8分析：延长到点E，使，连接，先由证明，再由得，即可证明，再证明，得，，再证明，得，即可推导出．【详解】解：如图，延长到点E，使，连接，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，故答案为：8．【点睛】此重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．20．如图所示，平分，，于点E，，，那么的长度为________cm．答案:分析：通过辅助线构造全等三角形，再根据全等三角形的性质进行线段之间的转化，最后代入长度计算即可．【详解】解：如图作，交的延长线于点，平分，，故答案为【点睛】本题考查了角平分线的性质，主要相关知识点有：全等三角形的判定、同角的补角相等、全等三角形的性质等，辅助线构造全等三角形是解题的关键．21．如图，在中，平分交于点D，若，，则__________．答案:6分析：延长到E，使得，连接，可得，即可得，进而解题即可．【详解】如图，延长到E，使得，连接，则,又∵∴∵平分∴∵∴∴∵,∴解得：故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．22．如图，的角平分线、相交于点、若，交于、交于．直接写出、、的数量关系____________________．答案:分析：由三角形定理得由角平分线定义得，，在上截取，连接，证明进一步得出，再证明得出，从而可得出结论【详解】在中，∵平分，平分∴∴∴∴在上截取，连接在和中，∴∴在和中，∴∵∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和与差，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键23．如图，是的角平分线，延长至点，使，若，，则__________．答案:102°分析：在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案．【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD，∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，∴∠EDC＝∠FDC，∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠E=∠DFC=102°；故答案为：102°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键．24．如图，是等边三角形，直线于点C，点D在直线MN上一动点，以AD为边向右作等边三角形ADE，连结CE，已知，则CE的最小值是_________．答案:分析：连接BD，由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝12，AD＝AE，证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE，过点B作BH⊥CM于点H，由直角三角形的性质求出BH的值，则可得出答案．【详解】解：连接BD，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝