高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)1.4充分、必要条件(精讲)(原卷版+解析)

1.4充分、必要条件（精讲）考点一充分、必要条件的判断【例1】(2023·北京八中）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【一隅三反】1．(2023·重庆南开中学）“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件2．(2023·广东珠海）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2023·河南驻马店·高一期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2023·广东肇庆·高一期末）（多选）下列说法中正确的有（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“或”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件考点二充分、必要条件的选择【例2】(2023·河南信阳）若“”是“”的充分不必要条件，则（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·湖南·高一课时练习）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（

）A．x＞0 B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3 D．x＜02．(2023·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）“”成立的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．3．(2023·重庆巫山·高一期末）使成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．考点三求参数【例3-1】(2023·河南·虞城县高级中学高一期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3-2】(2023·湖南·新邵县教研室高一期末）在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.（1）当a=2时，求；（2）若选，求实数a的取值范围.【一隅三反】1．(2023·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2023·安徽芜湖·高一期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．3．(2023·江苏扬州·高一期末）已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）考点四充分必要条件的证明【例4】(2023·福建）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【一隅三反】1．(2023·江苏·高一）求方程至少有一个负根的充要条件.2．(2023·河南）已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.3．(2023·江苏）已知，求证：成立的充要条件是.1.4充分、必要条件（精讲）考点一充分、必要条件的判断【例1】(2023·北京八中）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案:A解析：时，，故充分性成立，，解得：或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【一隅三反】1．(2023·重庆南开中学）“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件答案:A解析：当时，成立，即充分性成立，当时，满足，但不成立，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．(2023·广东珠海）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案:B解析：由得不到，如，，满足，但是，故充分性不成立；由则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件；故选：B3．(2023·河南驻马店·高一期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案:A解析：解方程可得或，，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．(2023·广东肇庆·高一期末）（多选）下列说法中正确的有（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“或”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件答案:BC解析：对于A，“”成立，“”不一定成立，A错误；对于B，“”可以推出“”，取，得，但，所以“”不能推出“”，B正确；对于C，的两个根为或，C正确；对于D，“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，D错误．故选:BC．考点二充分、必要条件的选择【例2】(2023·河南信阳）若“”是“”的充分不必要条件，则（

）A． B． C． D．答案:B解析：由题意，“”是“”的充分不必要条件故故故选：B【一隅三反】1．(2023·湖南·高一课时练习）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（

）A．x＞0 B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3 D．x＜0答案:A解析：设p:0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p⇒q.，显然由:0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，故选：A2．(2023·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）“”成立的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．答案:D解析：因为，所以A为“”成立的充要条件；B为“”成立的充分不必要条件；C为“”成立的既不充分也不必要条件；D为“”成立的必要不充分条件．故选：D3．(2023·重庆巫山·高一期末）使成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．答案:B解析：根据充分条件的定义，由可以得出，B正确；若，取，无法得到，A错误；C显然错误；若，取，无法得到，D错误.故选：B.考点三求参数【例3-1】(2023·河南·虞城县高级中学高一期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案:C解析：由题意可得，则需，解得，即实数a的取值范围是.故选：C.【例3-2】(2023·湖南·新邵县教研室高一期末）在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.（1）当a=2时，求；（2）若选，求实数a的取值范围.答案:（1）；（2）答案见解析.解析：（1）当时，集合，，所以；（2）选择因为“”是“”的充分不必要条件，所以AB，因为，所以又因为，所以

等号不同时成立，解得，因此实数a的取值范围是.选择因为，所以.因为，所以.又因为，所以，解得，因此实数a的取值范围是.选择因为，而，且不为空集，，所以或，解得或，所以实数a的取值范围是或．【一隅三反】1．(2023·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．答案:C解析：因为，所以或，所以解集为，又因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，所以，故选：C.2．(2023·安徽芜湖·高一期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．答案:(1)(2)或解析：(1)当时，集合，集合，所以；(2)i.当选择条件①时，集合，当时，，舍；当集合时，即集合，时，，此时要满足，则，解得，结合，所以实数m的取值范围为或；ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，所以实数m的取值范围为或；iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，所以实数m的取值范围为或；故，实数m的取值范围为或.3．(2023·江苏扬州·高一期末）已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）答案:(1)(2)解析：(1)当时，集合，因为，所以；(2)若选择①，则由A∪B＝B，得．当时，即，解得，此时，符合题意；当时，即，解得，所以，解得：；所以实数的取值范围是．若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A⫋B．当时，，解得，此时A⫋B，符合题意；当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；所以实数的取值范围是．考点四充分必要条件的证明【例4】(2023·福建）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.答案:证明见解析解析：充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【一隅三反】1．(2023·江苏·高一）求方程至少有一个负根的充要条件.答案:且解析：必要性：设，为方程的两根.∵，∴，∴方程至少有一个负根应满足：当正负根各有一个时，则，即，解得.当有两个负根时，则解得，充分性：当且，当时，，此时两根均为负；当时，，此时方程正负根各有一个,综上所述，方程至少有一个负根的充要条件是且.2．(2023·河南）已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.答案:证明过程见解析解析：证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，所以a≥1，且0<≤1，故当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.先证必要性：对