必刷卷01-2023年中考数学考前信息必刷卷(重庆专用)(原卷版+解析)

绝密★启用前2023年中考数学考前信息必刷卷01数学（重庆专用）2023年重庆中考数学试卷结构和内容发生变化！2023年数学试卷共26题：10（选择题）+8（填空题）+8，根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，会降低二次函数难度，大概率会改为动态几何+函数，尺规作图可能会增加分值；在试卷难度方面，不会有太大变化。通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：填空题最后一个不再考查不定方程，改为数论。第23题调整为动态几何+函数，第25题二次函数降低难度，改为容易得分的题目，26题几何压轴，第一问的难度降低，属于容易得分题目。另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的前7-8题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列四个数中，绝对值最小的数是（）A．﹣1 B．0 C． D．22．下列手机中的图标是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝66°，则∠2＝（）A．123° B．128° C．132° D．142°4．下列计算正确的是（）A．x2•x3＝x6 B．（x+2y）2＝x2+2xy+4y2 C．（mn﹣2）（mn+3）＝mn2﹣9 D．（﹣3xy2）2÷（x2y）＝9y35．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（）A．2 B．6 C．8 D．96．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，若第n个图中有2022枚棋子，则n的值是（）A．675 B．674 C．673 D．6727．估计的值应在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间8．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（）A．B．C．D．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝，⊙O是△ABC的外接圆，D为圆上一点，连接CD且CD＝CB，过点C作⊙O的切线与AD的延长线交于点E，则CE的长为（）A． B．1 C． D．10．已知fn（x）＝，Tn（x）＝f1（x）+f2（x）+f3（x）+…+fn（x）（n为正整数），下列说法：①fn（2023）+fn（）＝n；②+++…+＝n2+n；③；④若y＝ft（t）﹣Tt（t）+3，则y的最小值为3．其中正确选项的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11．计算（2007﹣π）0+＝．12．有4张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1，4的卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后，随机抽取一张卡片记下数字为a后不放回，再从余下的三张中随机再抽取一张卡片记下数字为b，令k＝a+b，则满足k为非负数的概率是．13．已知点，若P点在x轴上，则点P的坐标．14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点，以O为圆心，AO为半径作半圆与边CD相交于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为．15．已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣（k＜0）图象上，比较y1、y2、y3的大小，并用“＜”连接．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为．17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的分式方程﹣1＝有整数解，则满足条件整数a的和为．18．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称m为“一致数”．设一个“一致数”m＝满足a≤8且d＝1，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数m′，并记F（m）＝；一个两位数N＝10a+2b，将N的各个数位数字之和记为G（N）；当F（m）﹣G（N）﹣4a＝k2+3（为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足G（N）为偶数时，k的值为，m的值为．三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．化简：（1）（x+2y）（x﹣2y）﹣2y（x﹣2y）；（2）．20．在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，连接AC，CE．（1）用尺规完成以下基本作图：过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接AF，若BF＝DE，证明：四边形AECF为菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴①，∵BF＝DE，∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即②，∵BC∥AD即AE∥CF且AE＝CF，∴四边形AECF为③，又∵④，∴四边形AFCE为菱形．21．新年将至，我市积极开展对桥梁结构设计的安全性进行评估（已知：抗倾覆系数越高，安全性越强；当抗倾覆系数≥2.5时，认为该结构安全），现在重庆市随机抽取了甲、乙两个设计院，对其各自在建的或已建的20座桥梁项目进行排查，将得到的抗倾覆数据进行整理、描述和分析（抗倾覆数据用x表示，共分成6组：A．0≤x＜2.5，B．2.55≤x＜5.0，C．5.0≤x＜7.5，D．7.5≤x＜10.0，E．10.0≤x＜12.5，F．12.5≤x＜15），下面给出了部分信息；甲、乙设计院分别被抽取的20座桥梁抗倾覆系数统计表设计院甲乙平均数7.78.9众数a8中位数7b方差19.718.3其中，甲设计院C组的抗倾覆系数是：7，7，7，6，7，7；乙设计院D组的抗倾覆系数是：8，8，9，8，8，8；根据以上信息解答下列问题：（1）扇形统计图中D组数据所对应的圆心角是度，a＝，b＝；（2）根据以上数据，甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，说明理由；（3）据统计，2018年至2019年，甲设计院完成设计80座桥梁，乙设计院完成设计120座桥梁，请估算2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数．22．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M是AC的中点，点P从点B出发，沿B→A→M的路径向点M运动，点Q在射线BA上，连接MQ、PC、QC．当点P到达点M时停止运动．在点P整个运动过程中，点Q都满足∠CQB＝∠PCB．设点P的运动路程为x，S△MAQ＝y1．（1）直接写出y1与x的函数表达式，并补全表格中y1的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y1的函数图象：x123y1（2）写出函数y1的一条性质：．（3）在直角坐标系中已经画出y2＝的函数图象，结合y1和y2的函数图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．（结果取精确值）23．如图，某公园有一条三角形健身步道A→B→C→A，其中B在A的正东方，C在A东北方向，一天老王以每分钟90米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步，10分钟后到达步道的B处，此时他发现C在B的北偏西15°方向上．（A，B，C在同一平面内，参考数据：≈1.73）（1）求健身步道BC的长；（结果保留根号）（2）为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯，改善健身环境，公园决定对健身步道进行扩建．计划将步道AB段向正东方向延伸至P处，再修建新步道CP，且在P处测得C在P的北偏西60°方向上．若修建步道的成本为每米80元，公园对扩建预算的费用为20万元，请通过计算说明预算费用是否够用？24．奥体中心体育场是我市重要的城市名片和地标建筑，见证了重庆体育的灿烂发展，其重要性不言而喻．经过前期周密的准备，重庆市奥体中心体育场顶棚维修改造工程近期开工．现安排甲、乙两个两个工程队完成．已知由乙队单独施工所需时间为由甲队单独施工所需时间的倍．若甲队先施工30天，再由乙队施工40天可刚好完成维修工作．（1）求若由甲队单独施工需要多少天；（2）已知甲施工队每天的修建费用为1.2万元，乙施工队每天的修建费用为0.8万元，乙队先施工若干天，后由甲、乙两队共同施工完成，此项目所需总费用不超过66万，求甲队最多维修了多少天．25．如图1，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和B（4，0），点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求二次函数的函数解析式；（2）如图1，点P在直线BC上方的抛物线上运动，过点P作PD⊥BC交BC于点D，作PE⊥x轴交BC于点E，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点Q、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．26．在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转120°得到线段AD，连接CD．（1）如图1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延长BA，CD交于点K，求四边形ABCD的面积；（2）如图2，点E是CA延长线上一点，点G是AE的中点，连接BE，BG，点F在线段AC上，点H在线段BG上，连接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求证：BC+CD＝AC；（3）如图3，在（1）的条件下，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转45°得到线段DP'，连接AP'，BP'，点M是△ABP'内任意一点，点P在运动过程中，AM+BM+P'M是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM+BM+P'M的最小值；若不存在，请说明理由．绝密★启用前2023年中考数学考前信息必刷卷01数学（重庆专用）2023年重庆中考数学试卷结构和内容发生变化！2023年数学试卷共26题：10（选择题）+8（填空题）+8，根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，会降低二次函数难度，大概率会改为动态几何+函数，尺规作图可能会增加分值；在试卷难度方面，不会有太大变化。通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：填空题最后一个不再考查不定方程，改为数论。第23题调整为动态几何+函数，第25题二次函数降低难度，改为容易得分的题目，26题几何压轴，第一问的难度降低，属于容易得分题目。另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的前7-8题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列四个数中，绝对值最小的数是（）A．﹣1 B．0 C． D．2【解答】解：|﹣1|＝1，|0|＝0，|﹣1|＝1，|2|＝2，∵0＜1＜1＜2，∴所给的四个数中，绝对值最小的数是0．故选：B．2．下列手机中的图标是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝66°，则∠2＝（）A．123° B．128° C．132° D．142°【解答】解：如图：∵∠1＝66°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝180°﹣66°＝114°，∵AE平分∠BAC，∴∠3＝∠BAC＝×114°＝57°，∵AC∥BD，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣57°＝123°．故选：A．4．下列计算正确的是（）A．x2•x3＝x6 B．（x+2y）2＝x2+2xy+4y2 C．（mn﹣2）（mn+3）＝mn2﹣9 D．（﹣3xy2）2÷（x2y）＝9y3【解答】解：x2•x3＝x5，故A错误，不符合题意；（x+2y）2＝x2+4xy+4y2，故B错误，不符合题意；（mn﹣2）（mn+3）＝m2n2+mn﹣6，故C错误，不符合题意；（﹣3xy2）2÷（x2y）＝9y3，故D正确，符合题意；故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（）A．2 B．6 C．8 D．9【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，∴AB：DE＝OB：OE＝2：3，∵△ABC∽△DEF，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△DEF＝S△ABC＝×4＝9．故选：D．6．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，若第n个图中有2022枚棋子，则n的值是（）A．675 B．674 C．673 D．672【解答】解：由图知，第1个图形棋子数为：6＝3×2，第2个图形棋子数为：9＝3×3，第3个图形棋子数为：12＝3×4，第4个图形棋子数为：15＝3×5，…，第n个图形棋子数为：3×（n+1）＝3n+3，由题知3n+3＝2022，解得n＝673，故选：C．7．估计的值应在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【解答】解：原式＝2+，∵1＜＜2，∴3＜2+＜4，故选：B．8．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（）A．B．C．D．【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y＝19根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：综上：，故选：A．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝，⊙O是△ABC的外接圆，D为圆上一点，连接CD且CD＝CB，过点C作⊙O的切线与AD的延长线交于点E，则CE的长为（）A． B．1 C． D．【解答】解：连接OC，∵CD＝CB，∴，∴∠CAE＝∠BAC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAE＝∠ACO，∴AE∥OC，∴AE⊥CE，∴∠E＝90，∵∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝＝＝，故选：D．10．已知fn（x）＝，Tn（x）＝f1（x）+f2（x）+f3（x）+…+fn（x）（n为正整数），下列说法：①fn（2023）+fn（）＝n；②+++…+＝n2+n；③；④若y＝ft（t）﹣Tt（t）+3，则y的最小值为3．其中正确选项的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵，∴，∴＝+＝＝n，故①正确；∵，，∴，∴＝1+2+3+⋯+n＝＝，故②错误；∵Tn（x）＝f1（x）+f2（x）+f3（x）+⋯fn（x）＝+++⋯+＝，∴＝＝＝＝＝＜，故③错误；∵y＝＝＝＝，∴y有最大值为，没有最小值，故④错误．故正确的有①，共1个．故选：B．二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11．计算（2007﹣π）0+＝10．【解答】解：（2007﹣π）0+＝1+9＝10．故本题答案为：10．12．有4张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1，4的卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后，随机抽取一张卡片记下数字为a后不放回，再从余下的三张中随机再抽取一张卡片记下数字为b，令k＝a+b，则满足k为非负数的概率是．【解答】解：列表如下：﹣2﹣114﹣2﹣3﹣12﹣1﹣3031﹣1042358由表知，共有12种等可能结果，其中k为非负数的有8种结果，所以满足k为非负数的概率是＝，故答案为：．13．已知点，若P点在x轴上，则点P的坐标（5，0）．【解答】解：∵点在x轴上，∴2a﹣4＝0，解得a＝2，∴，∴点P的坐标为（5，0）．故答案为：（5，0）．14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点，以O为圆心，AO为半径作半圆与边CD相交于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：如图，连接AF，OE，BE，∵OA＝OB＝OE＝BE＝OF＝AF＝1，∴△OBE≌△OAF（SSS），△OBE与△OAF都为等边三角形，∴△OEF为等边三角形，∴阴影部分的面积等于△OEF的面积，∴阴影部分的面积为×1×＝．故答案为：．15．已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣（k＜0）图象上，比较y1、y2、y3的大小，并用“＜”连接y1＜y3＜y2．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣（k＜0）中k＜0，∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣1＜0，∴点A（﹣1，y1）位于第四象限，∴y1＜0；∵2＞1＞0，∴B（1，y2）、C（2，y3）在第一象限，∵2＞1，∴y3＜y2＜0，∴y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为2﹣2．【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝4，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝2，BT＝＝＝2，∵BG≥BT﹣GT，∴BG≥2﹣2，∴BG的最小值为2﹣2．故答案为：2﹣2．17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的分式方程﹣1＝有整数解，则满足条件整数a的和为﹣2．【解答】解：，解不等式①，得：x≤3，解不等式②，得：x＞﹣，∵该不等式组有且仅有4个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，解得：﹣4＜a≤1，分式方程去分母，得：y﹣（1﹣y）＝﹣a，解得：y＝，∵分式方程有整数解，且y≠1，∴满足条件的整数a可以取﹣3，1，其和为﹣3+1＝﹣2，故答案为：﹣2．18．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称m为“一致数”．设一个“一致数”m＝满足a≤8且d＝1，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数m′，并记F（m）＝；一个两位数N＝10a+2b，将N的各个数位数字之和记为G（N）；当F（m）﹣G（N）﹣4a＝k2+3（为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足G（N）为偶数时，k的值为6，m的值为2121．【解答】解：由题意可知，m＝1000a+100b+10c+d，m'＝1000c+100d+10a+b，F（m）＝＝10a+b+10c+d，由“一致数”定义可知：a+b＝c+d，∵d＝1，∴b＝c﹣a+1，当b＜5时，G（N）＝a+b，F（m）﹣G（N）﹣4a＝10a+b+10c+d﹣（a+b）﹣4a＝5a+10c+1＝k2+3，∴5（a+2c）＝k2+2，∵a≤8，c≤9，没有满足条件的整数k符合等式，当5≤b≤9时，G（N）＝a+1+2b﹣10＝a+2b﹣9，F（m）﹣G（N）﹣4a＝5a+10c﹣b+10＝5a+10c﹣（c﹣a+1）+10＝6a+9c+9＝k2+3，∴3（2a+3c）＝k2﹣6，∵a≤8，c≤9，且G（N）＝a+2b﹣9为偶数，得k＝6，a＝2，c＝2∴m＝2121，故答案为：6，2121．三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．化简：（1）（x+2y）（x﹣2y）﹣2y（x﹣2y）；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2﹣4y2﹣2xy+4y2＝x2﹣2xy；（2）÷（x+1﹣）＝＝＝＝．20．在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，连接AC，CE．（1）用尺规完成以下基本作图：过点E作EF垂直AC于点O，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接AF，若BF＝DE，证明：四边形AECF为菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC①，∵BF＝DE，∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即AE＝CF②，∵BC∥AD即AE∥CF且AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形③，又∵EF⊥AC④，∴四边形AFCE为菱形．【解答】解：（1）如下图：EF即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝DE，∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即AE＝CF，∵BC∥AD即AE∥CF且AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，故答案为：AD＝BC，AD∥BC，AE＝CF，平行四边形，EF⊥AC．21．新年将至，我市积极开展对桥梁结构设计的安全性进行评估（已知：抗倾覆系数越高，安全性越强；当抗倾覆系数≥2.5时，认为该结构安全），现在重庆市随机抽取了甲、乙两个设计院，对其各自在建的或已建的20座桥梁项目进行排查，将得到的抗倾覆数据进行整理、描述和分析（抗倾覆数据用x表示，共分成6组：A．0≤x＜2.5，B．2.55≤x＜5.0，C．5.0≤x＜7.5，D．7.5≤x＜10.0，E．10.0≤x＜12.5，F．12.5≤x＜15），下面给出了部分信息；甲、乙设计院分别被抽取的20座桥梁抗倾覆系数统计表设计院甲乙平均数7.78.9众数a8中位数7b方差19.718.3其中，甲设计院C组的抗倾覆系数是：7，7，7，6，7，7；乙设计院D组的抗倾覆系数是：8，8，9，8，8，8；根据以上信息解答下列问题：（1）扇形统计图中D组数据所对应的圆心角是108度，a＝7，b＝8.5；（2）根据以上数据，甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，说明理由；（3）据统计，2018年至2019年，甲设计院完成设计80座桥梁，乙设计院完成设计120座桥梁，请估算2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数．【解答】解：（1）扇形统计图中D组数据所对应的圆心角是：360°×（1﹣15%﹣5%﹣5%﹣20%﹣25%）＝108°，a＝7，20×（25%+20%）＝9，则乙组第10个数据和第11个数据是8，9，故b＝（8+9）÷2＝8.5．故答案为：108，7，8.5；（2）乙设计院的桥梁安全性更高，因为乙设计院的桥梁抗倾覆系数的平均数、中位数、众数均高于甲设计院．（3）×80+15%×120＝16+18＝34，故2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数34．22．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M是AC的中点，点P从点B出发，沿B→A→M的路径向点M运动，点Q在射线BA上，连接MQ、PC、QC．当点P到达点M时停止运动．在点P整个运动过程中，点Q都满足∠CQB＝∠PCB．设点P的运动路程为x，S△MAQ＝y1．（1）直接写出y1与x的函数表达式，并补全表格中y1的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出y1的函数图象：x123y173111（2）写出函数y1的一条性质：当0＜x≤2时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）．（3）在直角坐标系中已经画出y2＝的函数图象，结合y1和y2的函数图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．（结果取精确值）【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，BC＝AB＝2，∵点M是AC的中点，∴AM＝1．①当点P在AC上运动时，过点P作PH⊥BC于点H，则BH＝PH＝BP＝x，则CH＝CB﹣AH＝2x，则tan∠BCP＝＝，∵∠CQB＝∠PCB，∴tan∠CQB＝tan∠PCB＝＝，解得：AQ＝，则y1＝AM•AQ＝1×＝﹣1，当x＝时，y1＝﹣1＝7，同理可得：当x＝1时，y1＝﹣1＝3，x＝时，y1＝﹣1＝，x＝2时，y1＝﹣1＝1；②当点P在AM上时，则∠CQB＝∠PCB＝45°，则AQ＝AC＝2，则y1＝•AP•AM＝×x1×2＝1，当x＝时，y1＝1，当x＝3时，y1＝1，故答案为：7，3，，1；1，1；（2）从表格看：当0＜x≤2时，y1随x的增大而减小（答案不唯一），故答案为：当0＜x≤2时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）画出y1的函数图象如下（图象加粗的部分）：联立y1＝﹣1和y＝x并整理得：x2+x﹣4＝0，解得：x＝（负值已舍去），从图象看，当y1＜y2时，x的取值范围为：＜x＜3．23．如图，某公园有一条三角形健身步道A→B→C→A，其中B在A的正东方，C在A东北方向，一天老王以每分钟90米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步，10分钟后到达步道的B处，此时他发现C在B的北偏西15°方向上．（A，B，C在同一平面内，参考数据：≈1.73）（1）求健身步道BC的长；（结果保留根号）（2）为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯，改善健身环境，公园决定对健身步道进行扩建．计划将步道AB段向正东方向延伸至P处，再修建新步道CP，且在P处测得C在P的北偏西60°方向上．若修建步道的成本为每米80元，公园对扩建预算的费用为20万元，请通过计算说明预算费用是否够用？【解答】解：（1）过点B作BN⊥AC于N，在RtABN中，∠BAN＝90°﹣45°＝45°，AB＝90×10＝900（米），∴AN＝BN＝AB＝450（米），∵∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝75°﹣45°＝30°，∴BC＝＝300（米），∴健身步道BC的长为300米；（2）过点B分别作BM⊥CP于M，设BM＝x，∵∠BPC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝75°，∴∠BCP＝∠ABC﹣∠BPC＝75°﹣30°＝45°，∴CM＝PM＝BC＝300（米），∴PM＝BM＝900（米），PB＝2BM＝600（米），∴BP+PC＝BP+PM+CM＝600+900+300＝900≈2457（米），2457×80＝196560（元），∵196560＜200000，∴预算费用够用．24．奥体中心体育场是我市重要的城市名片和地标建筑，见证了重庆体育的灿烂发展，其重要性不言而喻．经过前期周密的准备，重庆市奥体中心体育场顶棚维修改造工程近期开工．现安排甲、乙两个两个工程队完成．已知由乙队单独施工所需时间为由甲队单独施工所需时间的倍．若甲队先施工30天，再由乙队施工40天可刚好完成维修工作．（1）求若由甲队单独施工需要多少天；（2）已知甲施工队每天的修建费用为1.2万元，乙施工队每天的修建费用为0.8万元，乙队先施工若干天，后由甲、乙两队共同施工完成，此项目所需总费用不超过66万，求甲队最多维修了多少天．【解答】解：（1）设由甲队单独施工需要x天，根据题意，得，解得x＝60，经检验，x＝60是原方程的根，且符合题意，答：由甲队单独施工需要60天；（2）乙队单独施工需要＝80（天），设甲队维修了m天，则乙队维修了＝（）天，根据题意，得1.2m+0.8（）≤66，解得m≤15，答：甲队最多维修了15天．25．如图1，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和B（4，0），点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求二次函数的函数解析式；（2）如图1，点P在直线BC上方的抛物线上运动，过点P作PD⊥BC交BC于点D，作PE⊥x轴交BC于点E，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点Q、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），即﹣12a＝3，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）∵PE∥y轴，则∠DPE＝∠OCB在Rt△BOC中，tan∠OCB＝，则cos∠OCB＝＝tan∠DPE，由点B、C的坐标得直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，在Rt△PDE中，PD＝PEcos∠DPE＝PE，则＝PE，设点P（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），则PE＝（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故PE有最大值，当x＝2时，PE的最大值为1，此时点P的坐标为（2，），则的最大值为；（3）由抛物线的平移得，平移后的抛物线为y＝﹣x2+x+1，点Q的坐标为（