11 圆锥曲线（基础卷）（解析版）

2025年普通高等学校对口招生考试数学二轮复习单元专项卷第十章圆锥曲线（基础卷）选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（

）A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【答案】C【分析】由双曲线的定义求解.【详解】由题意可知，，，若，则或9．故选：C2．已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：.则，解得：.所以双曲线的标准方程为.故选：A3．椭圆的离心率为，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.【详解】由题意得，解得，故选：A.4．已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解.【详解】由椭圆的焦点在轴上，则满足，解得.故选：C.5．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且，所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆，设椭圆方程为，焦距为，则，解得，故动点P的轨迹方程为.故选：B6．已知双曲线C：的一条渐近线为l：，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据渐近线的方程求出，利用离心率的公式可得答案.【详解】因为双曲线C：的一条渐近线为l：，所以，所以离心率.故选：C7．已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用抛物线定义求得的值，得出焦点坐标和，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得，则，，所以直线的斜率为．故选：D8．已知圆与中心在原点､焦点在轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求解.【详解】将化为标准方程为：，故圆心坐标为，半径，设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为：，因为圆与渐近线相切，所以，解得，所以离心率.故选：B9．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可.【详解】设,因为为线段的中点，所以，则，两式相减可得：，整理得，即，所以，所以.故选：D.10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据焦半径公式，即可求解.【详解】由焦半径公式可知，，得.故选：A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知直线l过点，且与抛物线交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则的面积为．【答案】【分析】先根据题设设出两点，求出直线的斜率和方程，继而得到直线与轴的交点，从而将的面积转化成的形式，计算即得.【详解】设，，因为线段AB的中点，则，．由题意，得直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，即，它与x轴的交点坐标为．因，，则．故△AOB的面积为．故答案为：.12．若双曲线的焦点在轴上，则实数的取值范围为.【答案】【分析】焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征，列不等式组求解即可.【详解】若双曲线的焦点在轴上，则，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.13．已知曲线方程，若方程表示双曲线，则的取值范围是．【答案】或【分析】根据双曲线标准方程的特征即可列不等式求解.【详解】表示双曲线，则，解得或，故答案为：或.14．若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为.【答案】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线的虚轴长为4，可得，解得，所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.15．双曲线C：（，）的渐近线方程为，则其离心率．【答案】【分析】结合渐近线的定义与离心率定义即可得.【详解】由题意可得，则.故答案为：.三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知椭圆：的焦距为4，且经过点.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；（2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程.【详解】（1）由题意得，得，所以椭圆的标准方程为.（2）设与平行的：，由，得，由，得，则：.17．已知双曲线的焦点在x轴上，实半轴的长为且经过点．(1)求适合条件的双曲线的标准方程：(2)求双曲线的顶点坐标、渐近线方程、离心率．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据待定系数即可求解，（2）由双曲线的简单几何性质即可求解.【详解】（1）根据题意可设，故，解得，所以（2）由于，所以顶点坐标为，渐近线方程为，离心率为18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点．求的面积．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知，再根据，即可求出，由此即可求出椭圆的方程和离心率；（2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，设，求出，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果.【详解】（1）由题意，，，所以椭圆的标准方程为，离心率为；（2）直线的方程为，代入椭圆方程得设，则∴，又∵点到直线的距离即的面积为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线中弦长公式的应用.19．已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于A、B两点.①求弦长；②求证：.【答案】（1）；（2）①;②见解析.【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；（2）①联立方程，利用弦长公式，结合韦达定理求得弦长；②利用向量的数量积为零求证垂直关系.【详解】（1）,化为标准形式：，，右顶点A,设抛物线的方程为,焦点坐标为,由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以,抛物线的方程；（2）,消去得,设,则,①.②,.20．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于､两点，求中点的坐标．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由椭圆的焦点坐标和椭圆的定义，可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得出中点的坐标．【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆定义知，，所以，所以，所求椭圆标准方程为．（2）设直线与椭圆的交点为，，联立方程，得，得，．设的中点坐标为，则，，所以中点坐标为．21．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.【答案】(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点(2)【分析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.【详解】（1）解：设，则的斜率分别为，，由已知得，化简得，即曲线C的方程为，曲线是一个双曲线，除去左右顶点.（2）解：联立消去整理得，设，，则，.22．经过抛