第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试（教师版）-高中数学新高二暑期衔接讲义

第三章圆锥曲线的方程单元综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．(2023·江苏扬州·高二统考开学考试)双曲线的离心率为(

)A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题意得，，所以．故选：C．2．(2023·全国·高二专题练习)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作于Q．则线段FQ的垂直平分线(

)A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP【答案】B【解析】连接PF，由题意及抛物线的定义可知，则为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P．故选：B．3．(2023·高二课时练习)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(

)A． B．C．或 D．【答案】C【解析】由题意知，，，所以，，∴，又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.∴椭圆方程：或故选：C4．(2023·江苏镇江·高二统考期中)青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为(

)

A． B． C． D．【答案】B【解析】建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为，碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为，设，过中点作轴，由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.故选：B.

5．(2023·江西萍乡·高二统考期末)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率(

)

A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形，腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即，而椭圆的短轴长，即，所以椭圆的离心率故选：D6．(2023·高二课时练习)过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，若P，Q在抛物线准线上的射影为，则等于(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由于为焦半径，所以，题中求的是角，故把边转化到角，如图，

则，，，又，所以，，从而.故选：C7．(2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末)已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】抛物线的方程为，则其焦点，设直线的方程为，由，可得：，，，根据抛物线定义，，因为，所以，所以即，解得：.故选：B.8．(2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，即，渐近线方程为，即，则点到双曲线的两条渐近线的距离分别为：，因为，则，可得，即，又由，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．(2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末)下列说法中，正确的有(

)A．过点并且倾斜角为0°的直线方程为B．双曲线的渐近线方程为C．点关于的对称点坐标为D．抛物线的准线方程是【答案】BC【解析】对A，过点并且倾斜角为0°的直线方程为，故错误；对B，双曲线的渐近线方程为，故正确；对C，设点关于的对称点坐标为，则由解得，故正确；对D，抛物线，，准线方程为，故错误.故选：BC10．(2023·山西晋中·高二统考期末)关于、的方程表示的轨迹可以是(

)A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线【答案】BC【解析】当时，该方程表示的轨迹是直线；当时，该方程表示的轨迹是直线；当且时，原方程可化为.当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.11．(2023·广西·高二校联考期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是(

)A． B．的周长为16C．的面积为 D．【答案】AB【解析】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，整理可得．，解得或(舍去负值)，所以，代入可得，．设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；对于C项，易知，故C项错误；对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．故选：AB

12．(2023·山西大同·高二统考期末)经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是(

)A．当与轴垂直时，最小 B．C．以弦为直径的圆与直线相离 D．【答案】ABD【解析】

如图，设直线为，联立，得，即，所以，，故D正确，，将代入得，故当时，取得最小值，此时直线与轴垂直，故A正确，，代入，，得，故B正确，设的中点为，则以弦为直径的圆的圆心为，半径为分别过作抛物线的垂线，垂足分别为,由抛物线的定义知，，则,故以弦为直径的圆与直线相切，C错误，故选：ABD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．(2023·江苏镇江·高二统考期中)双曲线：(，)的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】由已知可得双曲线的焦点坐标为，渐进线方程为，则点到渐近线，即的距离.又因为，所以，所以，双曲线的渐近线方程为.故答案为：.14．(2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中)设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.【答案】/【解析】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为：15．(2023·高二单元测试)如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．

【答案】【解析】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值，又由，可得，根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得，所以.故答案为：.16．(2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为__________.【答案】/【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，

故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．(10分)(2023·山西晋中·高二统考期末)抛物线的焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程；(2)过焦点的直线(斜率存在且不为0)交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.【解析】(1)因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，分别是，，，.(2)在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点，根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为，与抛物线联立，得关于的一元二次方程，则，设、，则，，，，则，线段的中点坐标为，中垂线方程为，令，解得，即中垂线与轴交于，所以，则.

18．(12分)(2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中)已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.【解析】(1)由条件知，，故.即双曲线标准方程为.(2)设，到直线的距离为，联立得，由，解得，又，故，而又由，故弦长，，又，解得，，又，故.19．(12分)(2023·高二课时练习)已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且．(1)求椭圆的方程；(2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积；(3)设点P在这个椭圆上，且，求的长．【解析】(1)因为椭圆的焦点分别是，所以又因为，，联立可得，，所以椭圆的方程为；(2)由分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设，，由点B为椭圆的短轴端点，所以或，当时，，，所以，当时，，，所以，所以点B与两点的连线的斜率的乘积为；(3)因为点P在这个椭圆上，所以，由小问(1)知，所以，又，联立可得.20．(12分)(2023·山东青岛·高二统考期中)已知点，，中，只有一点不在抛物线上.(1)求W的方程；(2)若直线与W相切，证明：.【解析】(1)若点A、C在上，则，，解得，此时，点B不在W上；若点A、B在上，则，，无解；若点B、C在上，则，，无解；综上，W的方程为.(2)由题知，将代入得：，所以，即，所以.21．(12分)(2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末)在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)，直线过点交于，两点.并且，求直线方程.【解析】(1)因为,所以由椭圆的定义可知，轨迹是以点，为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆方程为，则，∴，又∵，则，∴椭圆的方程为；(2)由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立方程，消去得：，设，，则，，∵，即，∴，即，∴，，∴，且，∴，解得，∴直线方程为