第16讲 抛物线（教师版）-2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）

第16讲抛物线【学习目标】1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质2.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．3.了解抛物线的简单应用【基础知识】一、抛物线的概念1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．【解读】(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.特别提醒：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线.2.抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下【解读】1.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.2.利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.3.应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便.(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.三、直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点:当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.特别提醒:判断直线与抛物线的位置关系时注意斜率是否存在,是否为0的情况讨论.四、抛物线上的点到直线距离的最小值问题求抛物线上的点到直线l距离最小值问题,方法一是设上的点,利用点到直线的距离公式把距离问题转化为关于y的二次函数,配方求最值,方法二是确定与l平行的切线,把问题转化为两平行线之间的距离或切点到直线距离.五、抛物线基础性质(1)以AB为直径的圆与准线相切；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)A、O、三点共线；(9)B、O、三点共线；(10)；(11)(定值)；(12)；；(13)垂直平分；(14)垂直平分；(15)；(16)；(17)；(18)；(19);(20);(21).(22)切线方程HYPERLINK六、抛物线的焦点弦与切线过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【考点剖析】考点一：抛物线的方程例1．(2022学年四川省射洪中学校高二下学期期中)顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，所以所求抛物线方程是.故选B考点二：抛物线定义的应用例2．(2022学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考)已知的三个顶点都在抛物线上，且F为抛物线的焦点，若，则(

)A．12 B．10 C．9 D．6【答案】C【解析】由，得.设A，B，C的纵坐标分别是，由，有，即.由抛物线的定义可得:.故选C考点三：抛物线的性质例3．(多选)(2022学年湖南省邵阳市第二中学高二下学期期中)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则(

)A．焦点的坐标为B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点C．直线与抛物线相交所得弦长为8D．抛物线与圆交于两点，则【答案】ACD【解析】由题可知抛物线方程为，对于A，焦点的坐标为，故A正确，对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误，对于C，，弦长为，故C正确对于D，，解得(舍去)，交点为，有，故D正确故选ACD考点四：距离最值问题例4．(2022学年贵州省遵义市第四中学高二上学期期末质量监测)点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是(

)A．4 B．6 C． D．【答案】C【解析】抛物线的焦点，准线为，过点作准线于点，故△PAF的周长为，，可知当三点共线时周长最小，为，故选C考点五：与抛物线有关的定点问题例5．(2020-2021学年甘肃省平凉市泾川县高二下学期期末)已知F为抛物线的焦点，M为抛物线上第一象限内的一点，且轴，．(1)求抛物线的方程；(2)直线l与抛物线交于A、B两点，若，问直线l是否过定点，若恒过定点，请求出该定点，否则，请说明理由．【解析】(1)∵轴，且，∴，代入，得，∴．(2)设，则．由可得设，则∵，则，∴，即或．∴或，∴恒过与M重合(舍)或恒过．综上，直线l是恒过定点考点六：与抛物线有关的定值问题例6．(2022学年四川省南充市阆中中学校高二下学期质量监测)已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，则_________.【答案】【解析】设，由得，所以，，，，．考点七：与抛物线有关的面积最值问题例7．(2022学年重庆市第八中学校高二下学期期中)在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点.(1)求曲线K的方程；(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B､C两点，若且直线OP与直线交于Q点.求的值；(3)若点D､E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值.【解析】(1)由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为；(2)设直线l的方程为，联立，消去y得，∴，∴，设，，∴，，又，，∴，∵，∴设直线OP的方程为，联立，消y得，∴，∴，∴，令，则，∴，∴，∴，的值为1．(3)设，，，直线PD的方程为，由题可知圆心到PD的距离为2，即，整理得，同理可得，∴，可知b，c是方程的两根，∴，，由图依题意可知，即，则，∵，∴，∴，当且仅当，即时上式取等号，∴面积的最小值为32．【真题演练】1．(2020年高考全国卷=1\*ROMANI)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ()A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．故选C．2．(2020年高考全国卷Ⅲ)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选B．3.(多选)(2022新高考全国卷=2\*ROMANII)已知O为坐标原点,过抛物线焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点,若,则A.直线的斜率为 B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A,易得,由可得点在的垂直平分线上,则点横坐标为,代入抛物线可得,则,则直线的斜率为,A正确；对于B,由斜率为可得直线的方程为,联立抛物线方程得,设,则,则,代入抛物线得,解得,则,则,B错误；对于C,由抛物线定义知：,C正确；对于D,,则为锐角,又,则为锐角,,D正确.故选ACD.4.(多选)(2022新高考全国卷=1\*ROMANI)已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则A.C的准线为 B.直线AB与C相切C. D.【答案】BCD【解析】将点坐标代入得,所以抛物线C的方程为,故准线方程为,A错误；,所以直线的方程为,联立,可得,解得,故B正确；设过的直线为,若直线与轴重合,则直线与抛物线只有一个交点,所以,直线的斜率存在,设其方程为,,联立,得,所以,所以或,,又,,所以,故C正确；因为,,所以,而,故D正确.故选BCD5.(2022学年江苏省南师附中高二下学期期末)已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则到直线的距离为______.【答案】【解析】，设，因为，所以，不妨取，则,,则，故到距离为.6.(2022学年辽宁省葫芦岛市高二上学期期末)已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______．【答案】2【解析】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，由抛物线定义知：，又且，所以，故，又，故.7.(2021高考全国卷=2\*ROMANII)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．(1)求C，的方程；(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【解析】(1)依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；(2)设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切．8．(2021高考全国卷=1\*ROMANI)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．(1)求；(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．【解析】(1)抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；(2)抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，，所以，，点到直线的距离为，所以，，，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值．【过关检测】1.设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线(

)A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线【答案】A【解析】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.2.(2022学年河南省安阳市高二下学期阶段性测试)已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得：，设，于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，即有，则，解得，因此，解得，所以直线l的方程为：，即.故选D3.已知曲线C：y2＝2px(p＞0)，过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝()A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由抛物线的方程可得焦点F(，0)，准线的方程为：x，由题意可得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为：x＝ty，设t＞0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立，整理可得：，所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t(t1+y2)+p＝2pt2+p，所以MN的中点Q(pt2，pt)，由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p(1+t2)，|QF|pt，由直线MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由题意在Rt△QFP中，|PF|p(1+t2)，所以为定值，所以m的值为，故选A．4.(2022学年湖北省宜昌市英杰学校高二上学期12月月月考)过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，抛物线的准线为，于，于，则四边形的面积为(

)A．32 B． C．64 D．【答案】D【解析】由抛物线得其焦点，设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，整理得，即，解得，所以，所以，，，所以四边形的面积为，故选D.5.(多选)(2022学年湖南省长沙市南雅中学高二下学期期中)已知抛物线C：，圆F：(F为圆心)，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是(

)A．的最小值是 B．的最小值是C．当最大时， D．当最小时，【答案】AC【解析】抛物线C：的焦点，圆F：的圆心，半径，对于A，的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，的最小值是，A正确；对于B，设，则，，当时，，当时当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是，B不正确；对于C，如图所示，要使最大，当且仅当AQ与圆F相切，AP与抛物线C相切，且P，Q在x轴两侧，所以当最大时，，C正确；对于D，因的最小值为，即P，A，Q共线，则当最小时，即，D不正确.故选AC6.(多选)(2022学年重庆市西南大学附属中学校高二上学期月考)已知抛物线的焦点为，､是抛物线上两点，则下列结论正确的是(

)A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BD【解析】对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，A错误；对于B，由题意知：直线斜率存在，设其方程为：，由得：，，B正确；对于C，若，则直线过焦点，的最小值为抛物线的通径长，C错误；对于D，，，即点纵坐标为，到轴的距离为，D正确.故选BD.7.抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】由题意可得、