第04讲 全称量词与存在量词（教师版）-2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）

第04讲全称量词与存在量词【学习目标】1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定【基础知识】一、全称量词与全称命题1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可.二、存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个,使p()成立,可简记为:∃∈M,p(),读作“存在M中的元素,使p()成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.三、全称命题与存在量词命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式∀x∈M,p(x)∃∈M,p()否定∃∈M,p()∀x∈M,p(x)结论全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题解读1.常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是存在量词命题.2.写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.3.全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反.【考点剖析】考点一：全称量词与全称命题例1．(多选)(2022学年河南省濮阳市范县高一上学期期中)下列命题中，是全称量词命题的有(

)A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立【答案】BC【解析】A和D用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，∴B、C是全称量词命题.故选BC.考点二：存在量词与存在量词命题例2．(2022学年河北省石家庄二十四中高一上学期期中)下列命题中是存在量词命题且为假命题的是()A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．，使【答案】C【解析】A：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题；B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题；C：命题为存在量词命题，，，故为假命题；D：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题.故选C考点三：全称量词命题的否定例3．(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)命题“”的否定是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是，故选D考点四：存在量词命题的否定例4．(2022学年贵州省遵义市第四中学高一上学期期末质量监测)命题“”的否定是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】命题“”的否定是“”，故选B考点五：全称量词命题的真假例5．(2022学年辽宁省抚顺市六校协作体高一上学期期末)已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】“，方程有解”是真命题，故，解得：，故选B考点六：存在量词命题的真假例6．已知命题，为假命题，则实数m的取值范围为___________.【答案】【解析】∵命题，为假命题，∴命题，为真命题，又，∴，即实数m的取值范围为.【真题演练】1．(2022学年山东省临沂市四县区联考高一上学期期中)下列命题中，是全称量词命题的是(

)A．，B．当时，函数是增函数C．存在平行四边形的对边不平行D．平行四边形都不是正方形【答案】D【解析】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个.AC选项含有存在量词：存在，所以是特称命题，B选项存在一个使得函数是增函数，所以B选项也是特称命题.D选项所有的平行四边形都不是正方形，所以是全称命题.故选D.2，(2022学年湖北省黄冈市蕲春县高一上学期期中)命题“，”的否定是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】命题“，”的否定是“，”，故选D3.(2022学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中)若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为命题“，”为假命题，则，解得.故选B.4.(多选)(2022学年安徽省部分市县高一上学期期末联考)已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有(

)A．，有 B．，使得C．，有 D．，使得【答案】BC【解析】由于是全集的非空子集，且，所以是的真子集，所以，使得、，有，即BC选项正确.故选BC5.(多选)(2022学年山东省泰安市肥城市高一上学期期中)命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是(

)A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题得.因为是的充要条件，是的必要非充分条件，是的必要非充分条件，是的非充分非必要条件.故选BC6.(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知命题，则____________【答案】【解析】因为命题，所以根据特称命题的否定为全称命题，可得.故答案为.7.(2022学年安徽省部分市县高一上学期期末)若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】若命题“，”为假命题，则一元二次方程无实数解，∴.∴a的取值范围是.8.(2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中联考)设全集，集合，非空集合，其中.(1)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围；(2)若命题“，”是真命题，求a的取值范围.【解析】(1)解：若“”是“”的必要条件，则，又集合为非空集合，故有，解得，所以的取值范围，(2)解：因为，所以或，因为命题“，”是真命题，所以，即，解得．所以的取值范围．【过关检测】1.(2022学年江苏省徐州市第三十六中学高一上学期期中)命题“”的否定是()A． B．C． D．【答案】A【解析】命题“”为特称命题，它的否定是全称命题形式：即，故选A2.(2022学年重庆市实验中学高一上学期10月月考)下列是全称量词命题且是真命题的为(

)A．， B．､，都有xC．， D．，，【答案】B【解析】A：当时，不等式不成立，因此本命题是假命题，所以本选项不符合题意；B：因为､，都有x是真命题，且是全称命题，本选项符合题意；C：本命题是特称命题，不符合题意；D：因为当时，不成立，因此本命题是假命题，所以本选项不符合题意.故选B3.(2022学年浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)下列四个命题中，其中为真命题的是(

)A．∀x∈R，x2+3<0 B．∀x∈N，x2≥1C．x∈Z，x5<1 D．x∈Q，x2=3【答案】C【解析】由∀x∈R都有x2≥0，则x2+3≥3，故命题“∀x∈R，x2+3<0”为假命题；由0∈N，当x=0时x2≥1不成立，故命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；由1∈Z，当x=1时x5<1，故命题“x∈Z，使x5<1”为真命题；使x2=3成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，则命题“x∈Q，x2=3”为假命题，故选C.4.(2022学年安徽省阜阳市太和县三校高一上学期期中)命题“，都有”的否定是(

)A．，都有 B．，都有C．，使得 D．，使得【答案】D【解析】命题“，都有”的否定是“，使得”故选D5.(多选)(2022学年】吉林省长春市十一高中高一上学期考试)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(

)A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形C．， D．至少有一个整数，使得【答案】CD【解析】对于A选项，命题“所有的正方形都是矩形”是全称量词命题，该命题为真命题，A不满足要求；对于B选项，命题“有些梯形是平行四边形”为存在量词命题，该命题为假命题，B不满足要求；对于C选项，命题“，”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，C满足要求；对于D选项，命题“至少有一个整数，使得”为存在量词命题，取，则，该命题为真命题，D满足要求.故选CD.6.(多选)下列关于二次函数的说法正确的是(

)A．，B．，，C．，，D．，【答案】BD【解析】对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线，最小值为－1，所以，错误，故A错误；所以，，正确，故B正确；所以，，错误，故C错误；所以，正确，故D正确.故选BD.7.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(

)A． B． C． D．【答案】AB【解析】若“，”为真命题，则，，∴，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是a的取值范围为的真子集．故选AB．8.(2022学年重庆市杨家坪中学高一上学期第三次月考)若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为___________.【答案】##【解析】由题设命题为真命题，则，解得.∴a的取值范围为.9.若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是_______________．【答案】【解析】由题意，“，”的否定