2020-2021学年高一年级下册数学人教A版（2019）必修第二册第八章棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

人教版必修第二册2020-2021学年高一下数学第八章

831棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

一、单选题

1.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为（）

A.6B.12C.24D.48

2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）

A.再2B.C,土立。2D.如走出

4424

3.如图所示，在正方体A8CD-4B1QD1中，四棱锥S-A8CD的体积占正方体体积的

（）

D,C,

AB

C.；D.不确定

4

4.一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是（）

A.647B.32%

C.167rD.8万

5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,则该儿何体的体积（单位：cm3）为

俯视图

4

A.-B.2

3

C.4D.6

6.已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2,母线与底面所成的

角为60。，则该圆锥的体积为（）

A.包鱼B.C.应宜D.16指）

33

7.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为12cm,现有

体积为72万cn?的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,

则此锥形沙堆的高度为（）

A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm

8.如图，四边形ABC。是正方形，四边形BOEF是矩形，平面6OEF_L平面ABC。,

AB=2,NAFC=60°，则多面体A5COEF的体积为（）

16

D.

T

9.如图，已知底面边长为。的正四棱锥P-ABCO的侧棱长为2a,若截面PAC的面积

为8«,则正四棱锥尸-ABCD的体积等于（）

a325Az32V7108

A.12714D.-----rD.——

383

10.如图所示，正方体ABCO—AgGR的棱长为4,线段。A上有两动点E、F,

且EF=2.点M、N分别在棱GA、4cl上运动，且MN=2,若线段MN的中点

为P,则四面体B-EFP的体积最大值为()

c5出

C.5u.------

32

二、多选题

11.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的

高之比为1:2,则关于上、下两空间图形的说法正确的是（）

A.侧面积之比为1:4B.侧面积之比为1:8

C.体积之比为1:27D,体积之比为1:26

12.已知直三棱柱ABC-AAG的体积为V,若点P在A4,且AP=：A4,点Q是

棱CG上的动点，则四棱锥3—APQC的体积不可能是（）

A.—VB.—VC.—VD.—V

12939

13.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则下列

判断正确的是（）

4

A.该三棱锥的体积为1

B.该三棱锥的表面积为6+石

C.该三棱锥的各个面都是直角三角形

D.该三棱锥的各条棱中，最长的棱的长度为01

14.如图，直三棱柱ABC—44G中，M=2,AB=BC=\,NABC=90°，侧

面A&GC中心为。，点E是侧棱3耳上的一个动点，有下列判断，正确的是（）

B.直三棱柱体积是;

C.三棱锥E—胡。的体积为定值D.AE+EC1的最小值为20

三、填空题

15.已知一个圆锥的底面半径与高均为2,且在这个圆锥中有一个内接圆柱.当此圆柱的

侧面积最大时，此圆柱的体积等于.

16.已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm,表面积等于144cm2,则这个棱柱的侧面

积为cm2.

17.如图，在正方体ABCD-Ai&QDi中，三棱锥Di-A8iC的表面积与正方体的表面积

的比为.

4

18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

19.中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖晒通过对几何体体积的研究，早于西方1100

多年，得出一个原理：“幕势既同，则积不容异"，"幕"是面积，"势”是高.也就是说：夹

在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得

两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖晒原理.现有

水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的

两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖晅原理可知这个

三棱锥的体积为.

20.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏

就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄

的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如

图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm,细沙全部

2

在上部时，其高度为圆锥高度的1（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰

好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为cm.

四、解答题

21.正四棱台两底面边长分别为a和b（a<b）.

（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45。，求棱台的侧面积;

（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.

22.如图所示，在长方体A8CD-ABCD，中，用截面截下一个棱锥C-4DD，，求棱锥C

-ADD，的体积与剩余部分的体积之比.

23.在如图所示几何体中，平面PAC_L平面ABC,PMIIBC,PA=PC,AC=1,

BC=2PM=2,AB=B若该几何体左视图（侧视图）的面积为立.

主视方向

（1）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积S；

（2）求出多面体的体积V.

24.一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和

3

底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的、，设球的

半径为/?,圆锥底面半径为r.

（1）试确定月与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.

（2）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.

25.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4GA中，截去三棱锥求

（1）截去的三棱锥A一钻。的表面积;

(2)剩余的几何体A4GA-O8C的体积.

参考答案

1.D

【分析】

首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积;

【详解】

解：正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则其斜高”=4.所以正四棱锥

的侧面积S=—x4x6x4=48

2

故选：D

2.A

【分析】

先求出侧棱长，即可求出表面积.

【详解】

如图，PA,PB,PC两两垂直且R4=PB=PC,

△ABC为等边三角形，AB^a,

PA=PB=PC=Ja，

2

,小通如心由21（及丫。V32323+62

..表面积为—xciH—x—cix3=—a4—cr---------a

422444

故选：A.

3.B

【分析】

令正方体棱长为a,求出正方体的体积及四棱锥的体积，即可判断;

【详解】

解：令正方体棱长为。，贝11VlE方体=。3,

_12_।3,,_1

^S-ABCD=~XaXa，-V四枝gtS-A8c0=1V诋方体.

故选：B

4.C

【分析】

根据题意，求得圆柱的底面直径和高，代入公式，即可求得答案.

【详解】

因为轴截面的面积为16,所以圆柱的底面直径和高均为4,

所以圆柱的体积V=%-22X4=16TT.

故选：C

5.B

【分析】

根据三视图判断出几何体的结构，利用椎体体积公式计算出该几何体的体积.

【详解】

根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，

该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱ED_L平面ABCO,

所以其体积为V=gxgx(l+2)x2x2=2,

故选：B.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下:

(1)首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体；

(2)结合三视图，分析几何体的结构特征，利用体积公式求得结果.

6.A

【分析】

设圆锥的高为力，底面圆的半径为r,母线长为/，则母线长/=2x24,母线与底面所成的

角为60。，可得r=2,从而得出圆锥的高，进一步求出体积.

【详解】

设圆锥的高为打，底面圆的半径为r,母线长为/.

因为圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心间的距离为2,

设P为母线SB的中点，在直角三角形SBO中，PO=2

所以母线长/=2x2=4,又母线与底面所成的角为60。，

rr1

所以cos600=-=-=—,解得r=2,

I42

所以圆锥的高〃=26,

故该圆锥的体积V=—7cr2h=—xx22x2^3=.

333

故选:A.

7.B

【分析】

根据圆锥体积公式即可求得高.

【详解】

1(12丫

设锥形沙堆的高度力，则上〃=72%，解得〃=6

3

故选：B

8.D

【分析】

根据面面垂直性质可证得5尸，平面A8CO,4。，平面8。£：/，设=可表示出

AF,根据Ab=AC可构造方程求得x,即BF,利用V=%_皿£­+匕-SOEF，根据四棱

锥体积公式可求得结果.

【详解】

连接BO,AC,

•••四边形BDEF为矩形，/.BFX.BD,

•.•平面平面A8CQ,平面BOERc平面ABC£>=8。，BFu平面BDEF,

.•.8/_L平面ABC。，又平面ABC。，BF1AB,

设5P=x，则.=凡=，4+9,

又NAFC=60°，AFC为等边三角形，；.A£=AC=474=20，

即，4+f=20，解得：尤=2;

•.•四边形ABC7）为正方形，..AC1BD,

•.•平面平面ABC。，平面8力四门平面/^⑺二^。，ACu平面ABCO,

AC±平面BDEF,

多面体ABCDEF体积

V=V.BDFF+勿HDFF=一SO/JL'C."AC=—X2\/2X2X2>/2=—.

—i5IJr.rV-niJtzr3nlJttr3'"3

故选：D.

【点睛】

思路点睛：本题考查不规则多面体体积的求解问题，求解此类问题的基本思路是将多面体拆

分成多个棱锥或体积易求的几何体，加和得到所求多面体的体积.

9.B

【分析】

连接80,交AC于。，连接P。，根据截面尸4。的面积为8，7可解得4=4,即可求出

体积.

【详解】

解：连接8。，交AC于。，连接P。，则PO_L底面ABC。且。是AC中点,

截面PAC的面积为8a,

Sp«r——xsflaxa-8币>解得a=4,

22

二正四棱锥P-ABC。的体积为：

\7=_!_乂qxpc12>fl43-s/14332-714

VP-ABCD,x3正方形x=_xa=---a=------x4=-----------

J32663

【分析】

先分析确定尸点轨迹，由于匚5EF面积为定值，所以当点P到平面的距离最大时,

四面体8-EFP的体积最大，从而可得答案.

【详解】

连接A£、BR、BD、CXP,则AG_Lg〃，C\P=gMN=l,

即点P在以G为圆心、1为半径的1个圆上，

4

当N与£重合或“与G重合时，此时P到平面的距离最长，

过点作易得P”_L平面

PH4尸3

又则有口与夫”和口与。6相似，

则p”=¥，•.•SBEF=gx2x4夜=4后，

.".四面体B—EFP的体积最大值为VB_EFp=VP_EFB=；x40x乎=4，

故选：S.

【点睛】

关键点睛：本题考查锥体的体积的最值，解答本题的关键是先确定出点P在以G为圆心、1

为半径的:个圆上，当N与G重合或M与G重合时,，此时P到平面BBRD的距离最长,

属于中档题.

11.BD

【分析】

计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相

似比的立方可求得结果.

【详解】

依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，

所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1：3,高之比为1:3,

所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1：9,体积之比为1:27,

即小棱锥与棱台的侧面积之比为1：8,体积之比为1:26.

故选：BD.

12.AD

【分析】

设范=，，owrwi,点B到平面ACGA的距离为力，根据棱椎和棱柱的体积公式，结

合直棱柱的结构特征求出四棱锥8—APQC的体积为+根据OVfWl可知

33

14

-v<vB-A^c<-v,由此可知答案•

y9

【详解】

如图：

设器=，，O<Z<1,点8到平面ACGA的距离为/?,

332。5

=U+r)4vAe=：(，).,.《A4)=1d+r)-SA4BC.A4,

6333233

=!(!+，*，

33

111414

因为04f«l,所以+所以<匕-"如<§丫，

所以A,。不正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查了直棱柱的结构特征，考查了棱柱和棱椎的体积公式，属于基础题.

13.ACD

【分析】

先由三视图还原几何体，再由题中数据，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

由三视图还原该几何体如下：

A

该几何体是底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，

且尸AJ_平面ABC,ACIBC,PA=\,AC=4,BC=2,

所以该三棱锥的体积为=§=故A正确；

3263

因为PA_L平面ABC,所以PALAC,PALAB,PAA.BC,

即侧面PAC,侧面P4B都是直角三角形，

因为AC1BC,所以底面ABC是直角三角形，

又ACcPA=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,

所以8CJ,平面PAC,所以BC_LPC,

因此侧面PBC也是直角三角形；故C正确；

22

因为PC=，R42+AC2=后,AB=^AC+BC=275>

PB=VPC2+BC2=717+4=V21，

所以该三棱锥的各棱中，最长的棱的长度为尸8=5/五，故D正确;

因为该三棱锥的该侧面和底面都是直角三角形，

所以该三棱锥的表面积为：S^SPAC+SPAB+SPBC+SMC

=lxlx4+-?-x1x275+-x2xVn+-x2x4=6+75+^,故B错.

2222

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查由几何体三视图计算几何体的体积、表面积等，熟记几何体结构特征即可，属

于常考题型.

14.ACD

【分析】

由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A与B；由棱锥底面积与高为定值

判断C；设B£=x,列出AE+EQ关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D.

【详解】

在直三棱柱ABC-44G中，M=2,AB=BC=l,ZABC=90°

底面ABC和A4G是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为

1x2x2+jF+jX2=4+2夜，故A正确；

直三棱柱的体积为VMSHBCAA=|xlxlx2=l,故B不正确；

由B&II平面刖1GC,且点E是侧棱84上的一个动点，：.三棱锥后一的。的高为定值

V2

---9

2

=JXV2X2=—-VE-AA,O=^X—X—=^故C正确；

423226

设8E=xe[0,2],则8iE=2-x,在R/A48c和用AfiBCi中，,AE+EC]=

Vl+x2+71+(2-X)2.由其几何意义，

即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值，由对称可知，当E为BB]

的中点时，其最小值为亚百=20，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问

题，空间想象能力和思维能力，属于中档题.

15.71

【分析】

先画出几何体的轴截面图，设圆柱的底面半径为小则圆柱的侧面积为

5=24r(2—「)=—2万(，_2厂)=—2冰(「—1)2—1],从而可求出r=1时，S取得最大值,

进而可求出圆柱的体积

【详解】

解：该几何体的轴截面如图所示，则。4=OB=OC=2,设圆柱的底面半径为r,

则OD=ME=AM=r,OM=2-r,

2

所以圆柱的侧面积为S=2兀rQ-r)=—2乃(r-2r)=—2加(r-I)-1],

所以当r=l时，S取得最大值2万，

此时圆柱的体积为V=zrxl2xl=^-

故答案为：)

16.72或112

【分析】

设正四棱柱的底面边长为。，高为匕，则，2a『+/=9,4a由+2/=144,从而解出"=36

或/=16，b=3或〃=7,从而求出其侧面积.

【详解】

解：设正四棱柱的底面边长为a,高为b,则426+从=9,

4a\b+2a2=144,

联立消6可得，

8a4+(72-/)2=810",

即a,-52〃+8x72=0,

解得,。2=36或。2=]6,

a=6。二4

即《或《

b=3b=7'

当。=6,6=3时，侧面积S=4,仍=72,

当。=4,8=7时，侧面积S=4ab=112,

故答案为：72或112

17.73:3

【分析】

设正方体棱长为1,三棱锥Di-A&C为正四面体，求出其棱长，然后可得正方体和三棱锥

的表面积，从而求得比值.

【详解】

设正方体棱长为1,则其表面积为6,

三棱锥Di—A&C为正四面体，每个面都是边长为夜的正三角形，其表面积为

4xlxV2x(—xV2)=2V3＞所以三棱锥DI-A8IC的表面积与正方体的表面积的比为

22

26:上

故答案为：耳3.

13

18.—

3

【分析】

根据三视图确定空间几何体的形状，运用体积公式进行求解即可.

【详解】

由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体,

p

长方体的体积为：0X0x2=4，

三棱锥的体积为：^xlx2xlxl=i,故该几何体的体积为4+

32333

13

故答案为：v

3

1。8后

-LZz.----------------

3

【分析】

根据圆锥侧面积展开图是半径为4的半圆，求得圆锥底面半径，进一步求圆锥的高，计算出

圆锥的体积，由此求出三棱锥的体积.

【详解】

设圆锥的底面半径为r,则2万r='x2%x4,解得尸=2,

2

圆锥的高为力=542-22=26，

所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为V万X22X2，^=随万.

33

故答案为：兀.

3

64

20.——

27

【分析】

1Q1Q

设沙堆的高为力'，根据细沙的体积相等可得出一7/"=x-》,",可得出"=一/?,

327327

即可得解.

【详解】

设圆锥形容器的底面圆半径为人高为力，则圆锥形容器的体积为V=§万，〃，

2_2

当细沙在上部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径为一r,高为一力，

33

细沙的体积为Xx-7rr2h=—V

327327

当细沙在下部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面半径为r,设此时沙堆的高为",

।127f8[78I21—r/曰7，878064/\

则n一乃〃•〃=——V=——x—7rrh,可得/?=——h=—x8=——(cm).

327273272727v7

64

故答案为：—■,

27

21.(1)坦伊一分(2)

解：(1)如图所示,

•.•P。，平面ABCO,侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°,

ZPAO=45°,;.PO=OA=与b,POX=OX\=—a.

分别取4B,44的中点E,B，连接OE,«旦.

/.斜高EE、=PE-PEI=-y(/?-</).

二棱台的侧面积S恻=4x；(a+h)x*e-a)=百•一〃)；

(2)；棱台的侧面积等于两底面面积之和，

4x—(a+人)xEE.=a2+b2,

2

.5a2+b2

-，=2(7^)-

：.OO\=qEE；-(EO-EQ)2=卜+与_("与=迫.

'Y'Y2(a+6)2a+b

设A5=a,A£>=〃,A4'=c,则长方体体积为M=abc,

S^'DD'=,所以棱锥体积为V——S^'-CD——x—bcxa——abc,

A223Al)iy326

17

-abc[

所以I匕Z=6=1.

Vjabc6

23.(1)在几何体PMABC中，平面PAC,平面ABC,

设△PAC的边AC上的高为h,则该几何体的侧视图的面积为LAC1=旦得h=立,

242

又因为8C=2PM=2,所以，该几何体的主视图(正视图)如下图所示:

由图可知，该几何体的主视图为直角梯形，其面积为S=（l+2）x6=£l

2x24

（2）分别取AC、PC的中点。、N,连接P。、AN,如下图所示：

•/PA=PC,。为AC的中点，所以，POLAC,

后11

由（1）可知，PO