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文档简介
人教版必修第二册2020-2021学年高一下数学第八章
831棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、单选题
1.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为()
A.6B.12C.24D.48
2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是()
A.再2B.C,土立。2D.如走出
4424
3.如图所示,在正方体A8CD-4B1QD1中,四棱锥S-A8CD的体积占正方体体积的
()
D,C,
AB
C.;D.不确定
4
4.一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形,则该圆柱的体积是()
A.647B.32%
C.167rD.8万
5.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该儿何体的体积(单位:cm3)为
俯视图
4
A.-B.2
3
C.4D.6
6.已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2,母线与底面所成的
角为60。,则该圆锥的体积为()
A.包鱼B.C.应宜D.16指)
33
7.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,每个圆锥的底面直径和高均为12cm,现有
体积为72万cn?的细沙全部漏入下圆锥后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,
则此锥形沙堆的高度为()
A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm
8.如图,四边形ABC。是正方形,四边形BOEF是矩形,平面6OEF_L平面ABC。,
AB=2,NAFC=60°,则多面体A5COEF的体积为()
16
D.
T
9.如图,已知底面边长为。的正四棱锥P-ABCO的侧棱长为2a,若截面PAC的面积
为8«,则正四棱锥尸-ABCD的体积等于()
a325Az32V7108
A.12714D.-----rD.——
383
10.如图所示,正方体ABCO—AgGR的棱长为4,线段。A上有两动点E、F,
且EF=2.点M、N分别在棱GA、4cl上运动,且MN=2,若线段MN的中点
为P,则四面体B-EFP的体积最大值为()
c5出
C.5u.------
32
二、多选题
11.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的
高之比为1:2,则关于上、下两空间图形的说法正确的是()
A.侧面积之比为1:4B.侧面积之比为1:8
C.体积之比为1:27D,体积之比为1:26
12.已知直三棱柱ABC-AAG的体积为V,若点P在A4,且AP=:A4,点Q是
棱CG上的动点,则四棱锥3—APQC的体积不可能是()
A.—VB.—VC.—VD.—V
12939
13.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则下列
判断正确的是()
4
A.该三棱锥的体积为1
B.该三棱锥的表面积为6+石
C.该三棱锥的各个面都是直角三角形
D.该三棱锥的各条棱中,最长的棱的长度为01
14.如图,直三棱柱ABC—44G中,M=2,AB=BC=\,NABC=90°,侧
面A&GC中心为。,点E是侧棱3耳上的一个动点,有下列判断,正确的是()
B.直三棱柱体积是;
C.三棱锥E—胡。的体积为定值D.AE+EC1的最小值为20
三、填空题
15.已知一个圆锥的底面半径与高均为2,且在这个圆锥中有一个内接圆柱.当此圆柱的
侧面积最大时,此圆柱的体积等于.
16.已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm,表面积等于144cm2,则这个棱柱的侧面
积为cm2.
17.如图,在正方体ABCD-Ai&QDi中,三棱锥Di-A8iC的表面积与正方体的表面积
的比为.
4
18.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
19.中国南北朝时期,祖冲之与他的儿子祖晒通过对几何体体积的研究,早于西方1100
多年,得出一个原理:“幕势既同,则积不容异","幕"是面积,"势”是高.也就是说:夹
在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得
两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖晒原理.现有
水平放置的三棱锥和圆锥各一个,用任何一个平行于底面的平面去截它们时,所截得的
两个截面面积都相等,若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆,根据祖晅原理可知这个
三棱锥的体积为.
20.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏
就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄
的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器,如
图,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成,圆锥的底面圆的直径和高均为8cm,细沙全部
2
在上部时,其高度为圆锥高度的1(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰
好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为cm.
四、解答题
21.正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b).
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45。,求棱台的侧面积;
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高.
22.如图所示,在长方体A8CD-ABCD,中,用截面截下一个棱锥C-4DD,,求棱锥C
-ADD,的体积与剩余部分的体积之比.
23.在如图所示几何体中,平面PAC_L平面ABC,PMIIBC,PA=PC,AC=1,
BC=2PM=2,AB=B若该几何体左视图(侧视图)的面积为立.
主视方向
(1)画出该几何体的主视图(正视图)并求其面积S;
(2)求出多面体的体积V.
24.一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和
3
底面圆周都在这个球面上,如图,已知圆锥底面面积是这个球的表面积的、,设球的
半径为/?,圆锥底面半径为r.
(1)试确定月与r的关系,并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.
(2)求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.
25.如图,在棱长为2的正方体ABC。-A4GA中,截去三棱锥求
(1)截去的三棱锥A一钻。的表面积;
(2)剩余的几何体A4GA-O8C的体积.
参考答案
1.D
【分析】
首先由勾股定理求出斜高,即可求出侧面积;
【详解】
解:正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则其斜高”=4.所以正四棱锥
的侧面积S=—x4x6x4=48
2
故选:D
2.A
【分析】
先求出侧棱长,即可求出表面积.
【详解】
如图,PA,PB,PC两两垂直且R4=PB=PC,
△ABC为等边三角形,AB^a,
PA=PB=PC=Ja,
2
,小通如心由21(及丫。V32323+62
..表面积为—xciH—x—cix3=—a4—cr---------a
422444
故选:A.
3.B
【分析】
令正方体棱长为a,求出正方体的体积及四棱锥的体积,即可判断;
【详解】
解:令正方体棱长为。,贝11VlE方体=。3,
_12_।3,,_1
^S-ABCD=~XaXa,-V四枝gtS-A8c0=1V诋方体.
故选:B
4.C
【分析】
根据题意,求得圆柱的底面直径和高,代入公式,即可求得答案.
【详解】
因为轴截面的面积为16,所以圆柱的底面直径和高均为4,
所以圆柱的体积V=%-22X4=16TT.
故选:C
5.B
【分析】
根据三视图判断出几何体的结构,利用椎体体积公式计算出该几何体的体积.
【详解】
根据三视图可知,该几何体为如图所示四棱锥,
该棱锥满足底面是直角梯形,且侧棱ED_L平面ABCO,
所以其体积为V=gxgx(l+2)x2x2=2,
故选:B.
【点睛】
方法点睛:该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题,解题方法如下:
(1)首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体;
(2)结合三视图,分析几何体的结构特征,利用体积公式求得结果.
6.A
【分析】
设圆锥的高为力,底面圆的半径为r,母线长为/,则母线长/=2x24,母线与底面所成的
角为60。,可得r=2,从而得出圆锥的高,进一步求出体积.
【详解】
设圆锥的高为打,底面圆的半径为r,母线长为/.
因为圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心间的距离为2,
设P为母线SB的中点,在直角三角形SBO中,PO=2
所以母线长/=2x2=4,又母线与底面所成的角为60。,
rr1
所以cos600=-=-=—,解得r=2,
I42
所以圆锥的高〃=26,
故该圆锥的体积V=—7cr2h=—xx22x2^3=.
333
故选:A.
7.B
【分析】
根据圆锥体积公式即可求得高.
【详解】
1(12丫
设锥形沙堆的高度力,则上〃=72%,解得〃=6
3
故选:B
8.D
【分析】
根据面面垂直性质可证得5尸,平面A8CO,4。,平面8。£:/,设=可表示出
AF,根据Ab=AC可构造方程求得x,即BF,利用V=%_皿£+匕-SOEF,根据四棱
锥体积公式可求得结果.
【详解】
连接BO,AC,
•••四边形BDEF为矩形,/.BFX.BD,
•.•平面平面A8CQ,平面BOERc平面ABC£>=8。,BFu平面BDEF,
.•.8/_L平面ABC。,又平面ABC。,BF1AB,
设5P=x,则.=凡=,4+9,
又NAFC=60°,AFC为等边三角形,;.A£=AC=474=20,
即,4+f=20,解得:尤=2;
•.•四边形ABC7)为正方形,..AC1BD,
•.•平面平面ABC。,平面8力四门平面/^⑺二^。,ACu平面ABCO,
AC±平面BDEF,
多面体ABCDEF体积
V=V.BDFF+勿HDFF=一SO/JL'C."AC=—X2\/2X2X2>/2=—.
—i5IJr.rV-niJtzr3nlJttr3'"3
故选:D.
【点睛】
思路点睛:本题考查不规则多面体体积的求解问题,求解此类问题的基本思路是将多面体拆
分成多个棱锥或体积易求的几何体,加和得到所求多面体的体积.
9.B
【分析】
连接80,交AC于。,连接P。,根据截面尸4。的面积为8,7可解得4=4,即可求出
体积.
【详解】
解:连接8。,交AC于。,连接P。,则PO_L底面ABC。且。是AC中点,
截面PAC的面积为8a,
Sp«r——xsflaxa-8币>解得a=4,
22
二正四棱锥P-ABC。的体积为:
\7=_!_乂qxpc12>fl43-s/14332-714
VP-ABCD,x3正方形x=_xa=---a=------x4=-----------
J32663
【分析】
先分析确定尸点轨迹,由于匚5EF面积为定值,所以当点P到平面的距离最大时,
四面体8-EFP的体积最大,从而可得答案.
【详解】
连接A£、BR、BD、CXP,则AG_Lg〃,C\P=gMN=l,
即点P在以G为圆心、1为半径的1个圆上,
4
当N与£重合或“与G重合时,此时P到平面的距离最长,
过点作易得P”_L平面
PH4尸3
又则有口与夫”和口与。6相似,
则p”=¥,•.•SBEF=gx2x4夜=4后,
.".四面体B—EFP的体积最大值为VB_EFp=VP_EFB=;x40x乎=4,
故选:S.
【点睛】
关键点睛:本题考查锥体的体积的最值,解答本题的关键是先确定出点P在以G为圆心、1
为半径的:个圆上,当N与G重合或M与G重合时,,此时P到平面BBRD的距离最长,
属于中档题.
11.BD
【分析】
计算出小棱锥与原棱锥的相似比,结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相
似比的立方可求得结果.
【详解】
依题意知,上部分为小棱锥,下部分为棱台,
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1:3,高之比为1:3,
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1:9,体积之比为1:27,
即小棱锥与棱台的侧面积之比为1:8,体积之比为1:26.
故选:BD.
12.AD
【分析】
设范=,,owrwi,点B到平面ACGA的距离为力,根据棱椎和棱柱的体积公式,结
合直棱柱的结构特征求出四棱锥8—APQC的体积为+根据OVfWl可知
33
14
-v<vB-A^c<-v,由此可知答案•
y9
【详解】
如图:
设器=,,O<Z<1,点8到平面ACGA的距离为/?,
332。5
=U+r)4vAe=:(,).,.《A4)=1d+r)-SA4BC.A4,
6333233
=!(!+,*,
33
111414
因为04f«l,所以+所以<匕-"如<§丫,
所以A,。不正确.
故选:AD.
【点睛】
本题考查了直棱柱的结构特征,考查了棱柱和棱椎的体积公式,属于基础题.
13.ACD
【分析】
先由三视图还原几何体,再由题中数据,逐项判断,即可得出结果.
【详解】
由三视图还原该几何体如下:
A
该几何体是底面为直角三角形,一条侧棱垂直于底面的三棱锥,
且尸AJ_平面ABC,ACIBC,PA=\,AC=4,BC=2,
所以该三棱锥的体积为=§=故A正确;
3263
因为PA_L平面ABC,所以PALAC,PALAB,PAA.BC,
即侧面PAC,侧面P4B都是直角三角形,
因为AC1BC,所以底面ABC是直角三角形,
又ACcPA=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,
所以8CJ,平面PAC,所以BC_LPC,
因此侧面PBC也是直角三角形;故C正确;
22
因为PC=,R42+AC2=后,AB=^AC+BC=275>
PB=VPC2+BC2=717+4=V21,
所以该三棱锥的各棱中,最长的棱的长度为尸8=5/五,故D正确;
因为该三棱锥的该侧面和底面都是直角三角形,
所以该三棱锥的表面积为:S^SPAC+SPAB+SPBC+SMC
=lxlx4+-?-x1x275+-x2xVn+-x2x4=6+75+^,故B错.
2222
故选:ACD.
【点睛】
本题主要考查由几何体三视图计算几何体的体积、表面积等,熟记几何体结构特征即可,属
于常考题型.
14.ACD
【分析】
由题意画出图形,计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A与B;由棱锥底面积与高为定值
判断C;设B£=x,列出AE+EQ关于x的函数式,结合其几何意义求出最小值判断D.
【详解】
在直三棱柱ABC-44G中,M=2,AB=BC=l,ZABC=90°
底面ABC和A4G是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以其侧面积为
1x2x2+jF+jX2=4+2夜,故A正确;
直三棱柱的体积为VMSHBCAA=|xlxlx2=l,故B不正确;
由B&II平面刖1GC,且点E是侧棱84上的一个动点,:.三棱锥后一的。的高为定值
V2
---9
2
=JXV2X2=—-VE-AA,O=^X—X—=^故C正确;
423226
设8E=xe[0,2],则8iE=2-x,在R/A48c和用AfiBCi中,,AE+EC]=
Vl+x2+71+(2-X)2.由其几何意义,
即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值,由对称可知,当E为BB]
的中点时,其最小值为亚百=20,故D正确.
故选:ACD.
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用,考查直三棱柱的侧面积和体积的求法,函数思想求最值问
题,空间想象能力和思维能力,属于中档题.
15.71
【分析】
先画出几何体的轴截面图,设圆柱的底面半径为小则圆柱的侧面积为
5=24r(2—「)=—2万(,_2厂)=—2冰(「—1)2—1],从而可求出r=1时,S取得最大值,
进而可求出圆柱的体积
【详解】
解:该几何体的轴截面如图所示,则。4=OB=OC=2,设圆柱的底面半径为r,
则OD=ME=AM=r,OM=2-r,
2
所以圆柱的侧面积为S=2兀rQ-r)=—2乃(r-2r)=—2加(r-I)-1],
所以当r=l时,S取得最大值2万,
此时圆柱的体积为V=zrxl2xl=^-
故答案为:)
16.72或112
【分析】
设正四棱柱的底面边长为。,高为匕,则,2a『+/=9,4a由+2/=144,从而解出"=36
或/=16,b=3或〃=7,从而求出其侧面积.
【详解】
解:设正四棱柱的底面边长为a,高为b,则426+从=9,
4a\b+2a2=144,
联立消6可得,
8a4+(72-/)2=810",
即a,-52〃+8x72=0,
解得,。2=36或。2=]6,
a=6。二4
即《或《
b=3b=7'
当。=6,6=3时,侧面积S=4,仍=72,
当。=4,8=7时,侧面积S=4ab=112,
故答案为:72或112
17.73:3
【分析】
设正方体棱长为1,三棱锥Di-A&C为正四面体,求出其棱长,然后可得正方体和三棱锥
的表面积,从而求得比值.
【详解】
设正方体棱长为1,则其表面积为6,
三棱锥Di—A&C为正四面体,每个面都是边长为夜的正三角形,其表面积为
4xlxV2x(—xV2)=2V3>所以三棱锥DI-A8IC的表面积与正方体的表面积的比为
22
26:上
故答案为:耳3.
13
18.—
3
【分析】
根据三视图确定空间几何体的形状,运用体积公式进行求解即可.
【详解】
由该几何体的三视图可知,该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体,
p
长方体的体积为:0X0x2=4,
三棱锥的体积为:^xlx2xlxl=i,故该几何体的体积为4+
32333
13
故答案为:v
3
1。8后
-LZz.----------------
3
【分析】
根据圆锥侧面积展开图是半径为4的半圆,求得圆锥底面半径,进一步求圆锥的高,计算出
圆锥的体积,由此求出三棱锥的体积.
【详解】
设圆锥的底面半径为r,则2万r='x2%x4,解得尸=2,
2
圆锥的高为力=542-22=26,
所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为V万X22X2,^=随万.
33
故答案为:兀.
3
64
20.——
27
【分析】
1Q1Q
设沙堆的高为力',根据细沙的体积相等可得出一7/"=x-》,",可得出"=一/?,
327327
即可得解.
【详解】
设圆锥形容器的底面圆半径为人高为力,则圆锥形容器的体积为V=§万,〃,
2_2
当细沙在上部时,细沙形成一个圆锥,该圆锥的底面圆半径为一r,高为一力,
33
细沙的体积为Xx-7rr2h=—V
327327
当细沙在下部时,细沙形成一个圆锥,该圆锥的底面半径为r,设此时沙堆的高为",
।127f8[78I21—r/曰7,878064/\
则n一乃〃•〃=——V=——x—7rrh,可得/?=——h=—x8=——(cm).
327273272727v7
64
故答案为:—■,
27
21.(1)坦伊一分(2)
解:(1)如图所示,
•.•P。,平面ABCO,侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°,
ZPAO=45°,;.PO=OA=与b,POX=OX\=—a.
分别取4B,44的中点E,B,连接OE,«旦.
/.斜高EE、=PE-PEI=-y(/?-</).
二棱台的侧面积S恻=4x;(a+h)x*e-a)=百•一〃);
(2);棱台的侧面积等于两底面面积之和,
4x—(a+人)xEE.=a2+b2,
2
.5a2+b2
-,=2(7^)-
:.OO\=qEE;-(EO-EQ)2=卜+与_("与=迫.
'Y'Y2(a+6)2a+b
设A5=a,A£>=〃,A4'=c,则长方体体积为M=abc,
S^'DD'=,所以棱锥体积为V——S^'-CD——x—bcxa——abc,
A223Al)iy326
17
-abc[
所以I匕Z=6=1.
Vjabc6
23.(1)在几何体PMABC中,平面PAC,平面ABC,
设△PAC的边AC上的高为h,则该几何体的侧视图的面积为LAC1=旦得h=立,
242
又因为8C=2PM=2,所以,该几何体的主视图(正视图)如下图所示:
由图可知,该几何体的主视图为直角梯形,其面积为S=(l+2)x6=£l
2x24
(2)分别取AC、PC的中点。、N,连接P。、AN,如下图所示:
•/PA=PC,。为AC的中点,所以,POLAC,
后11
由(1)可知,PO
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