湖南省湘潭市名校2022-2023学年九年级数学第一学期期末监测试题含解析_第1页
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文档简介

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(每小题3分,共30分)1.在一个有10万人的小镇,随机调查了1000人,其中有120人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目,那么在该镇随便问一个人,他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是()A. B. C. D.2.如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E,B、E是半圆弧的三等分点,弧BE的长为π,则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin∠B=,则BC=()A.15 B.6 C.9 D.84.下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.如图,电线杆的高度为,两根拉线与相互垂直,,则拉线的长度为(、、在同一条直线上)()A. B. C. D.6.如图,在⊙O中,点A、B、C在⊙O上,且∠ACB=110°,则∠α=()A.70° B.110° C.120° D.140°7.《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余尺;将绳子对折再量木条,木条剩余尺,问木条长多少尺?”如果设木条长尺,绳子长尺,可列方程组为()A. B. C. D.8.若反比例函数的图象经过点,则这个函数的图象一定还经过点()A. B. C. D.9.在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是()A.1 B. C. D.10.方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A.5、6、﹣8B.5,﹣6,﹣8C.5,﹣6,8D.6,5,﹣8二、填空题(每小题3分,共24分)11.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题:“今有圆田一段,中间有个方池,丈量田地待耕犁,恰好三分在记,池面至周有数,每边三步无疑,内方圆径若能知,堪作算中第一.”其大意为:有一块圆形的田,中间有一块正方形水池,测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步,从水池边到圆周,每边相距3步远.如果你能求出正方形的边长是x步,则列出的方程是_______________.12.某地区2017年投入教育经费2500万元,2019年计划投入教育经费3025万元,则2017年至2019年,该地区投入教育经费的年平均增长率为_____.13.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,则建筑物的高是__________米.14.反比例函数y=的图象经过点(﹣2,3),则k的值为_____.15.如图,在正方体的展开图形中,要将﹣1,﹣2,﹣3填入剩下的三个空白处(彼此不同),则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______.16.在一个暗箱里放有m个除颜色外其他完全相同的小球,这m个小球中红球只有4个,每次将球搅匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算m大约是_____.17.如图,在△ABC中,∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′,则∠B′AC的度数为____.18.计算sin60°tan60°-cos45°cos60°的结果为______.三、解答题(共66分)19.(10分)已知,如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF,当点D在线段BC的反向延长线上,且点A,F分别在直线BC的两侧时.(1)求证:△ABD≌△ACF;(2)若正方形ADEF的边长为,对角线AE,DF相交于点O,连接OC,求OC的长度.20.(6分)在平面直角坐标系中,直线y=x与反比例函数的图象交于点A(2,m).(1)求m和k的值;(2)点P(xP,yP)是函数图象上的任意一点,过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x于点B.①当yP=4时,求线段BP的长;②当BP3时,结合函数图象,直接写出点P的纵坐标yP的取值范围.21.(6分)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个;定价每增加1元,销售量将减少10个.商店若准备获利2000元,则售价应定为多少?这时应进货多少个?22.(8分)如图,在等腰直角三角形ABC中,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC.上的点(点E不与端点A,C重合),且连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使,连接DE,DF,GE,GF(1)求证:四边形EDFG是正方形;(2)直接写出当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?最小值是多少?23.(8分)如图,某科技物展览大厅有A、B两个入口,C、D、E三个出口.小昀任选一个入口进入展览大厅,参观结束后任选一个出口离开.(1)若小昀已进入展览大厅,求他选择从出口C离开的概率.(2)求小昀选择从入口A进入,从出口E离开的概率.(请用列表或画树状图求解)24.(8分)已知是一张直角三角形纸片,其中,,小亮将它绕点逆时针旋转后得到,交直线于点.(1)如图1,当时,所在直线与线段有怎样的位置关系?请说明理由.(2)如图2,当,求为等腰三角形时的度数.25.(10分)如图,已知点D在△ABC的外部,AD∥BC,点E在边AB上,AB•AD=BC•AE.(1)求证:∠BAC=∠AED;(2)在边AC取一点F,如果∠AFE=∠D,求证:.26.(10分)如图①,抛物线y=x2﹣(a+1)x+a与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C.已知△ABC的面积为1.(1)求这条抛物线相应的函数表达式;(2)在抛物线上是否存在一点P,使得∠POB=∠CBO,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图②,M是抛物线上一点,N是射线CA上的一点,且M、N两点均在第二象限内,A、N是位于直线BM同侧的不同两点.若点M到x轴的距离为d,△MNB的面积为2d,且∠MAN=∠ANB,求点N的坐标.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】试题解析:由题意知:1000人中有120人看中央电视台的早间新闻,∴在该镇随便问一人,他看早间新闻的概率大约是.故选C.【点睛】本题考查概率公式和用样本估计总体,概率计算一般方法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.2、D【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数,进而利用锐角三角函数关系得出BC,AC的长,利用S△ABC﹣S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可【详解】解:连接BD,BE,BO,EO,∵B,E是半圆弧的三等分点,∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°,∴∠BAC=∠EBA=30°,∴BE∥AD,∵弧BE的长为π,∴=π,解得:R=2,∴AB=ADcos30°=2,∴BC=AB=,∴AC==3,∴S△ABC=×BC×AC=××3=,∵△BOE和△ABE同底等高,∴△BOE和△ABE面积相等,∴图中阴影部分的面积为:S△ABC﹣S扇形BOE=﹣=﹣.故选D.【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识,根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键.3、D【分析】首先根据正弦函数的定义求得AC的长,然后利用勾股定理求得BC的长.【详解】解:∴直角△ABC中,故选:D.【点睛】本题考查的是锐角三角形的正弦函数,理解熟记正弦三角函数定义是解决本题的关键.4、B【解析】由中心对称图形的定义:“把一个图形绕一个点旋转180°后,能够与自身完全重合,这样的图形叫做中心对称图形”分析可知,上述图形中,A、C、D都不是中心对称图形,只有B是中心对称图形.故选B.5、B【分析】先通过等量代换得出,然后利用余弦的定义即可得出结论.【详解】故选:B.【点睛】本题主要考查解直角三角形,掌握余弦的定义是解题的关键.6、D【分析】作所对的圆周角∠ADB,如图,利用圆内接四边形的性质得∠ADB=70°,然后根据圆周角定理求解.【详解】解:作所对的圆周角∠ADB,如图,∵∠ACB+∠ADB=180°,∴∠ADB=180°﹣110°=70°,∴∠AOB=2∠ADB=140°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半7、D【分析】根据“一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺”可知:绳子-木条=4.5,再根据“将绳子对折再量木条,木条剩余1尺”可知:木条-绳子=1,据此列出方程组即可.【详解】由题意可得,.故选:D.【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用,解题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的二元一次方程组.8、A【分析】根据反比例函数的定义,得,分别判断各点的乘积是否等于,即可得到答案.【详解】解:∵反比例函数的图象经过点,∴;∵,故A符合题意;∵,,,故B、C、D不符合题意;故选:A.【点睛】本题考查了反比例函数的定义,解题的关键是熟记定义,熟练掌握.9、C【解析】能够凑成完全平方公式,则2xy前可是“-”,也可以是“+”,但y2前面的符号一定是:“+”,此题总共有(-,-)、(+,+)、(+,-)、(-,+)四种情况,能构成完全平方公式的有2种,所以概率为:.故答案为C点睛:让填上“+”或“-”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概率.此题考查完全平方公式与概率的综合应用,注意完全平方公式的形式.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.10、C【解析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.【详解】5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0,它的二次项系数是5,一次项系数是﹣6,常数项是8,故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据圆的面积-正方形的面积=可耕地的面积即可解答.【详解】解:∵正方形的边长是x步,圆的半径为()步∴列方程得:.故答案为.【点睛】本题考查圆的面积计算公式,解题关键是找出等量关系.12、10%【解析】设年平均增长率为x,则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2;2019年投入教育经费3025万元,建立方程2500(1+x)2=3025,求解即可.【详解】解:设年平均增长率为x,得2500(1+x)2=3025,解得x=0.1=10%,或x=-2.1(不合题意舍去).所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键.13、54【解析】设建筑物的高为x米,根据题意易得△CDG∽△ABG,∴,∵CD=DG=2,∴BG=AB=x,再由△EFH∽△ABH可得,即,∴BH=2x,即BD+DF+FH=2x,亦即x-2+52+4=2x,解得x=54,即建筑物的高是54米.14、-1【解析】将点(−2,3)代入解析式可求出k的值.【详解】把(−2,3)代入函数y=中,得3=,解得k=−1.故答案为−1.【点睛】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式.先设y=,再把已知点的坐标代入可求出k值,即得到反比例函数的解析式.15、【解析】根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小.【详解】解:将-1、-2、-3分别填入三个空,共有3×2×1=6种情况,其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只有一种,故其概率为.故答案为.【点睛】本题考查概率的求法与运用.一般方法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率.16、1【分析】由于摸到红球的频率稳定在25%,由此可以确定摸到红球的概率为25%,而m个小球中红球只有4个,由此即可求出m.【详解】∵摸到红球的频率稳定在25%,∴摸到红球的概率为25%,而m个小球中红球只有4个,∴推算m大约是4÷25%=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了利用频率估计概率,其中解题时首先通过实验得到事件的频率,然后利用频率估计概率即可解决问题.17、17°【详解】解:∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′,∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°,∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.故答案为17°.18、1【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案.【详解】解:原式=1【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.三、解答题(共66分)19、(1)证明见解析;(1)【分析】(1)由题意易得AD=AF,∠DAF=90°,则有∠DAB=∠FAC,进而可证AB=AC,然后问题可证;(1)由(1)可得△ABD≌△ACF,则有∠ABD=∠ACF,进而可得∠ACF=135°,然后根据正方形的性质可求解.【详解】(1)证明:∵四边形ADEF为正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,又∵∠BAC=90°,∴∠DAB=∠FAC,∵∠ABC=45°,∠BAC=90°,∴∠ACB=45°,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABD≌△ACF(SAS);(1)解:由(1)知△ABD≌△ACF,∴∠ABD=∠ACF,∵∠ABC=45°,∴∠ABD=135°,∴∠ACF=135°,由(1)知∠ACB=45°,∴∠DCF=90°,∵正方形ADEF边长为,∴DF=4,∴OC=DF=×4=1.【点睛】本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质,熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键.20、(1)m=2,k=4;(2)①BP=3;②yP≥4或0<yP≤1【分析】(1)将A点坐标代入直线y=x中求出m的值,确定出A的坐标,将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值;(2)①由题可知点P和点B的纵坐标都为4,将纵坐标分别代入两个函数解析式得相应横坐标,即可得到点的坐标,求出BP.②根据函数与不等式的关系,即可得到答案.【详解】(1)解:将A(2,m)代入直线y=x,得m=2,所以A(2,2),将A(2,2)代入反比例函数,得:,则k=4综上所述,m=2,k=4.(2)①解:作图:当yP=4时点P和点B的纵坐标都为4当将y=4,代入得x=1,即P点坐标(1,4)当将y=4,代入y=x得x=4,即B点坐标(4,4)∴BP=3②由图可知BP3时,纵坐标yP的范围:yP≥4或0<yP≤1【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数参数的求法,以及函数与不等式的关系,掌握解题方法是解答此题的关键.21、当该商品每个单价定为50元时,进货200个;每个单价为60元时,进货100个.【解析】试题分析:利用销售利润=售价-进价,根据题中条件可以列出利润与的关系式,求出即可.试题解析:设每个商品的定价是元.由题意,得整理,得解得都符合题意.答:当该商品每个单价定为50元时,进货200个;每个单价为60元时,进货100个.22、(1)详见解析;(2)当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4【解析】(1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD,结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF(SAS),根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF,通过角的计算可得出∠EDF=90°,再根据O为EF的中点、GO=OD,即可得出GD⊥EF,且GD=2OD=EF,由此即可证出四边形EDFG是正方形;(2)过点D作DE′⊥AC于E′,根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度,从而得出2≤DE<2,再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.【详解】(1)证明:连接CD,如图1所示.∵为等腰直角三角形,,D是AB的中点,∴在和中,∴,∴,∵,∴,∴为等腰直角三角形.∵O为EF的中点,,∴,且,∴四边形EDFG是正方形;(2)解:过点D作于E′,如图2所示.∵为等腰直角三角形,,∴,点E′为AC的中点,∴(点E与点E′重合时取等号).∴∴当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是:(1)找出GD⊥EF且GD=EF;(2)根据正方形的面积公式找出4≤S四边形EDFG<1.23、(1);(2)【分析】(1)用列举法即可求得;(2)画树状图(见解析)得出所有可能的结果,再分析求解即可.【详解】(1)小昀选择出口离开时的所有可能有3种:C、D、E,每一种可能出现的可能性都相等,因此他选择从出口C离开的概率为:;(2)根据题意画树状图如下:由树状图可以看出,所有可能出现的结果共有6种,即(AC)、(AD)、(AE)、(BC)、(BD)、(BE),这些结果出现的可能性相等所以小昀选择从入口A进入,出口E离开(即AE)的概率为.【点睛】本题考查了用列举法求概率,列出事件所有可能的结果是解题关键.24、(1)BD与FM互相垂直,理由见解析;(2)β的度数为30°或75°或120°.【分析】(1)由题意设直线BD与FM相交于点N,即可根据旋转的性质判断直线BD与线段MF垂直;(2)根据旋转的性质得∠MAD=β,分类讨论:当KA=KD时,根据等腰三角形的性质得∠KAD=∠D=30°,即β=30°;当DK=DA时,根据等腰三角形的性质得∠DKA=∠DAK,然后根据三角形内角和可计算出∠DAK=75°,即β=75°;当AK=AD时,根据等腰三角形的性质得∠AKD=∠D=30°,然后根据三角形内角和可计算出∠KAD=120°,即β=120°.【详解】解:(1)BD与FM互相垂直,理由如下设此时直线BD与FM相交于点N∵∠DAB=90°,∠D=30°∴∠ABD=90°-∠D=60°,∴∠NBM=∠ABD=60°由旋转的性质得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°-60°=90°∴BD与FM互相垂直(2)当KA=KD时,则∠KAD=∠D=30°,即β=30°;当DK=DA时,则∠DKA=∠DAK,∵∠D=30°,∴∠DAK=(180°﹣30°)÷2=75°,即β=75°;当AK=AD时,则∠AKD=∠D=30°,∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°,即β=120°,综上所述,β的度数为30°或75°或120°.【点睛】本题考查作图-旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决问题的关键.25、见解析【解析】(1)欲证明∠BAC=∠AED,只要证明△CBA∽△DAE即可;(2)由△DAE∽△CBA,可得,再证明四边形ADEF是平行四边形,推出DE=AF,即可解决问题;【详解】证明(1)∵AD∥BC,∴∠B=∠DAE,∵AB·AD=BC·AE,∴,∴△CBA∽△DAE,∴∠BAC=∠AED.(2)由(1)得△DAE∽△CBA∴∠D=∠C,,∵∠AFE=∠D,∴∠AFE=∠C,∴EF∥BC,∵AD∥BC,∴EF∥AD,∵∠BAC=∠AED,∴DE∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∴DE=AF,∴.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.26、(1)y=x2+2x﹣3;(2)存在,点P坐标为或;(3)点N的坐标为(﹣4,1)【分析】(1)分别令y=0,x=0,可表示出A、B、C的坐标,从而表示△ABC的面积,求出a的值继而即可得二次函数解析式;(2)如图①,当点P在x轴上方抛物线上时,平移BC所在的直线过点O交x轴上方抛物线于点P,则有BC∥OP,此时∠POB=∠CBO,联立抛物线得解析式和OP所在直线的解析式解方程组即可求解;当点P在x轴下方时,取BC的中点D,易知D点坐标为(,),连接OD并延长交x轴下方的抛物线于点P,由直角三角形斜边中线定理可知,OD=BD,∠DOB=∠CBO即∠POB=∠CBO,联立抛物线的解析式和O

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