ICTAM2012大会对外宣传工作进展汇报

赵沛浙江大学交叉力学中心浙江大学工程力学系2019年4月16日第五章基本变形（4）：弯曲（3）材料力学（乙）重要基本概念的回顾与强化1、剪力方程和弯矩方程。

2、剪力图和弯矩图。

3、q(x)、FS(x)图、M(x)图三者间的关系。内力包括：剪力；弯矩；轴力。平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。弯矩图：画在受压（凹入）侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），注明正、负号。内力图符号的规定4、平面刚架和曲杆的内力平面曲杆是轴线为一平面曲线的杆件。AOABC重要基本概念的回顾与强化弯矩：使刚架杆外侧受拉或曲杆的曲率增加的弯矩为正。平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。平面曲杆是轴线为一平面曲线的杆件。AABC重要基本概念的回顾与强化MFNFSql＋－＋内力包括：剪力；弯矩；轴力。4、平面刚架和曲杆的内力O5、微分关系绘制剪力图和弯矩图的方法根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面（在集中力和集中力偶作用处的两侧截面、均布载荷两侧截面、以及支座反力内侧截面均为控制面）。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立FS-x和M-x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。重要基本概念的回顾与强化6、几种载荷下剪力图和弯矩图的特征向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在FS=0的截面或起始点水平直线一般直线或在C处有转折在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面在C处有突变F在C处有突变m在C处无变化C无载荷集中力FC集中力偶mC梁上外力情况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在的可能面q<0均布载荷全梁或梁的边界截面重要基本概念的回顾与强化（3）建立坐标系建立FS-x和M-x坐标系（5）根据微分关系连图线（4）应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS-x和M-x

坐标系中。简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：例题5.37重要基本概念的回顾与强化(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2

kNEDCFM(kN.m)xO0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O=0.89kN＝1.11kN第五章基本变形（4）弯曲（3）内力应力FSM受力特点拉伸扭转弯曲5.19弯曲正应力（5.1-5.3）1、梁横截面上的应力mmFSM当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS。弯矩M

正应力σ只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩。剪力FS

切应力τ内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力。所以，在梁的横截面上一般既有正应力又有切应力。mmFS

mmM

5.19弯曲正应力（5.1-5.3）AB段：AC和BD段：内力图中（纯弯曲）（横力弯曲）2、纯弯曲和横力弯曲5.19弯曲正应力（5.1-5.3）几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式从三方面考虑变形问题：

几何关系、物理关系、静力关系纯弯曲情形：5.19弯曲正应力（5.1-5.3）较易变形材料制成的矩形截面等直梁实验现象3、几何关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）纵向线各横向线仍保持为直线；相对转过了一个角度；仍与变形后的纵向弧线垂直。各纵向线段弯成弧线；靠近顶端的纵向线缩短；靠近底端的纵向线段伸长。横向线aabbmnnmm´a´a´b´b´m´nn´变形观察3、几何关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）aabbmnnmm´a´a´b´b´m´nn´3、几何关系（1）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。变形观察5.19弯曲正应力（5.1-5.3）aabbmnnmm´a´a´b´b´m´nn´3、几何关系（2）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压。变形观察5.19弯曲正应力（5.1-5.3）3、几何关系中性层与横截面的交线：中性轴

中性轴横截面对称轴必有一层变形前后长度不变的纤维：中性层

中性层

纵向对称面中性层和中性轴5.19弯曲正应力（5.1-5.3）几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式从三方面考虑变形问题：

几何关系、物理关系、静力关系纯弯曲情形：平面假设单向受力假设中性层、中性轴5.19弯曲正应力（5.1-5.3）dxdxyzxOybbyρzyxO’b’b’几何关系的三维图示3、几何关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）几何关系的二维图示3、几何关系中性层变形前变形后中性层弧长=dx横截面上距中性层（轴）y处其纵向线应变为应变分布规律直梁纯弯曲时纵向线应变与它到中性层的距离成正比5.19弯曲正应力（5.1-5.3）几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式从三方面考虑变形问题：

几何关系、物理关系、静力关系纯弯曲情形：平面假设单向受力假设中性层、中性轴5.19弯曲正应力（5.1-5.3）根据胡克定律MyzOx等直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。应力分布规律：?中性轴的位置中性层的曲率半径??单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。4、物理关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式从三方面考虑变形问题：

几何关系、物理关系、静力关系纯弯曲情形：平面假设单向受力假设中性层、中性轴5.19弯曲正应力（5.1-5.3）横截面上内力系为垂直于横截面空间平行力系简化得到三个内力分量5、静力关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）考察中性轴过截面的形心5、静力关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）若一对坐标轴中有一轴为截面图形的对称轴，则截面对该对坐标轴的惯性积必为零5、静力关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）考察（惯性积）y轴为对称轴5、静力关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）研究1/ρ为梁弯曲后的曲率ρ为曲率半径M为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩5、静力关系5.19弯曲正应力（5.1-5.3）几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式从三方面考虑变形问题：

几何关系、物理关系、静力关系纯弯曲情形：平面假设单向受力假设中性层、中性轴5.19弯曲正应力（5.1-5.3）M与中性轴距离相等的点正应力相等；正应力大小与其到中性轴距离成正比；中性轴上正应力为零。6、横截面上的正应力分布5.19弯曲正应力（5.1-5.3）M应用公式时，一般将M、y以绝对值代入，根据梁变形的情况直接判断

的正负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力（

为正号），凹入边的应力为压应力（

为负号）。6、横截面上的正应力分布5.19弯曲正应力（5.1-5.3）MM最大压应力最大拉应力最大拉应力最大压应力6、横截面上的正应力分布5.19弯曲正应力（5.1-5.3）当中性轴是横截面的对称轴时：抗弯截面系数当中性轴不是横截面的对称轴时：6、横截面上的正应力分布5.19弯曲正应力（5.1-5.3）7、常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面5.19弯曲正应力（5.1-5.3）圆截面空心圆截面7、常见截面的IZ和WZ5.19弯曲正应力（5.1-5.3）1620年，荷兰物理学家和力学家比克门就发现了梁一侧的纤维伸长，另一侧的纤维缩短。“中性轴的位置”简史5.19弯曲正应力（5.1-5.3）1638年，伽利略认为梁横截面受到均匀拉应力作用。1678年，胡克指出，梁弯曲时凸面的纤维伸长，凹面缩短。1680年，马略特认为，中性轴的位置是不重要的。1690年，莱布尼茨认为，弯曲破裂前梁的纤维伸长了。1704年，伯努利正式提出“中性轴的位置无关紧要”。5.19弯曲正应力（5.1-5.3）1713年，法国科学家帕伦认识到，截面上的抗力必须组成一个与载荷平衡的力系，朝中性轴的正确理论跨近一大步。1773年，库仑断定梁凸面受拉，凹面受压，并求解出梁弯曲应力的正确结果。1819年，纳维认为，中性轴的位置应该如此确定：横截面上拉力对中性轴的力矩，等于压力对该轴的力矩。1826年，纳维获得了最终正确的结论：当材料服从弹性定律时，中性轴必定通过横截面的形心。“中性轴的位置”简史纯弯曲正应力公式上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面将产生剪切变形，使横截面发生翘曲。此外，在与中性层平行的纵截面上，有时还有由横向力引起的挤压应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。8、纯弯曲理论的推广5.19弯曲正应力（5.1-5.3）当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力，梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。

弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。9、横力弯曲时的正应力5.19弯曲正应力（5.1-5.3）2、在弹性范围内；3、平面弯曲（横截面惯性积Iyz=0）。横力弯曲正应力公式横力弯曲最大正应力1、细长直梁的纯弯曲或横力弯曲；公式适用范围9、横力弯曲时的正应力5.19弯曲正应力（5.1-5.3）强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力。（2）设计截面（3）确定许可载荷（1）强度校核10、弯曲正应力的强度条件5.19弯曲正应力（5.1-5.3）强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力。10、弯曲正应力的强度条件5.19弯曲正应力（5.1-5.3）1、等截面梁弯矩最大的截面上2、离中性轴最远处3、变截面梁要综合考虑

与需要校核：强度条件：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力。10、弯曲正应力的强度条件5.19弯曲正应力（5.1-5.3）对于铸铁等脆性制成的梁，且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的材料的拉、压应力根据许用拉应力和许用压应力分别校核：FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mM(x)x30zy180120K1、C截面上K点正应力2、C截面上最大正应力3、全梁上最大正应力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFS(x)x90kN90kN（压应力）解：（1）求支反力例题5.405.19弯曲正应力（5.1-5.3）FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mM(x)x30zy180120K1、C截面上K点正应力2、C截面上最大正应力3、全梁上最大正应力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFS(x)x90kN90kN解：例题5.405.19弯曲正应力（5.1-5.3）C截面弯矩C截面惯性矩（2）求截面最大正应力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mM(x)x30zy180120K1、C截面上K点正应力2、C截面上最大正应力3、全梁上最大正应力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFS(x)x90kN90kN解：例题5.405.19弯曲正应力（5.1-5.3）最大弯矩截面惯性矩（3）全梁最大正应力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mM(x)x30zy180120K1、C截面上K点正应力2、C截面上最大正应力3、全梁上最大正应力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFS(x)x90kN90kN解：例题5.405.19弯曲正应力（5.1-5.3）（4）C截面的曲率半径ρC截面惯性矩C截面弯矩解：图示三种截面梁，材质、截面内Mmax、σmax全相同，指出哪种截面最经济，并求三梁的重量比。即例题5.415.19弯曲正应力（5.1-5.3）分析：图示铸铁梁，许用拉应力[

t]=30MPa，许用压应力[

c]=60MPa，

试校核此梁的强度。对于铸铁梁，拉伸和压缩力学性能不同，在危险截面处，拉伸强度和压缩强度都应校核。例题5.425.19弯曲正应力（5.1-5.3）