直线与平面平行课件

辱

8.5.2直线与平面平行

13画0圃园国(教师独具内容)

课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空

间中直线与平面的平行关系.2.归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并

加以证明.

教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用.

教学难点：综合运用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、

线面平行的相互转化.

核心素养：通过发现、推导、应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的

过程，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.

［新知I

1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知

直线平行的直线.

2.直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可

①直线a和平面a平行，即a〃a.

②平面a和平面£相交于直线b,即aCB=b,

③直线a在平面6内，即aC£.

'±1评价自测I

1.判一判(正确的打"J"，错误的打“义”)

(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平

行.()

(2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平

行.()

(3)若直线a〃平面a,则直线a与平面a内的任意一条直线平行.()

(4)若直线a〃平面a,则平面a内有唯一一条直线与直线a平行.()

2.做一做

⑴下列选项中，一定能得出直线加与平面。平行的是（）

A.直线加在平面a外

B.直线勿与平面a内的两条直线平行

C.平面a外的直线R与平面内的一条直线平行

D.直线加与平面a内的一条直线平行

⑵梯形4?修中，AB//CD,/3U平面a,斯平面a,则直线缪与平面a

内的直线的位置关系只能是（）

A.平行B.平行或异面

C.平行或相交D.异面或相交

（3）已知1,勿是两条直线,a是平面，若要得到“/〃a”，则需要在条件

“加Ua,中另外添加的一个条件是.

（4）如图，空间四边形缪中，茗M,N,尸分别是48,BC,缪的中点，则与

力邠平行的平面是，与川°平行的平面是.

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一直线与平面平行判定定理的理解

例1能保证直线3与平面a平行的条件是（）

A.bua,a//b

B.bua,c//o,a//b,a//c

C.bua,A,BEa,C,DGb,且AC=BD

D.ma,buQ,a//b

［跟踪训练1］给出下列几个说法：

①若直线a在平面。外，则a//&；②若直线a//b,直线bua,贝lj方〃口;

③若直线&〃6,bua,那么直线a就平行于平面a内的无数条直线.

其中正确说法的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

题型二直线与平面平行的判定

例2如图所示，已知尸是平行四边形切所在平面外一点，"为阳的中点.

求证：外〃平面物C

［跟踪训练2］在正方体/aZ-44G〃中，E,尸分别是面对角线46,B、C

的中点.求证：所〃平面力比〃

题型三直线与平面平行性质定理的应用

例3如图，在长方体46CZ-46G〃中，E,〃分别为棱4身，〃。上的点，

旦EH〃A、D\,过功的平面与棱防，CG相交，交点分别为EG,求证：&7〃平面

ADD4.

［跟踪训练3］如图所示，在四棱锥人48"中，底面4?"是平行四边形,

与劭交于点。，物是尸。的中点，在〃"上取一点G,过G和小作平面交平面

BDM于GH,求证：AP//GH.

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.在正方体血力一45G〃中，物是棱缪上的动点，则直线阳与平面4438

的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.相交或平行

2.如图，下列正三棱柱/比’一464中，若M,A；尸分别为其所在棱的中点，

则不能得出AB//平面MNP的是（）

3.（多选）过平面。外的直线/,作一组平面与。相交，如果所得的交线分

别为a,b,c,…，则这些交线的位置关系可能为（）

A.都平行B.都相交于同一点

C,都相交但不交于同一点D.以上均不正确

4.如图，alla,4是a的另一侧的点，B,C,D《a,线段AC,AD分

别交a于E,F,G,若笈9=4,CF=4,AF=5,则跖=.

5.在四面体力一腼中，肱N分别是△力劭和△△⑦的重心，求证：他〃平

面ADC.

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

一、选择题

1.如果直线勿与平面a,£,尸满足：BC\y=1,m//1,mua,则必

有（）

A.1//aB.a//y

C.m//B且m//yD.m//B或m//y

2.已知直线a〃平面a,a〃平面£,an£=b,则a与8（）

A.相交B.平行

C.异面D.共面或异面

3.在空间四边形/时中，E,F,G,〃分别是46,BC,CD,的上的点，当

施〃平面功第时，下列结论中正确的是（）

A.E,F,G,，一定是各边的中点

B.G,〃一定是切，物的中点

C.BE,.EA=BF\FC,旦DH；HA=DG；GC

D.AE\EB=AH\HD,且防：FC=DG\GC

4.如图所示，在长方体力故14B'CD'中，E,尸分别为四'，BB'的

中点，过）的平面EFGH分别交a'和4〃于点G,点H,则HG与48的位置关系是

（）

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

5.（多选）如图，。为平行四边形力时所在平面外一点，0为必的中点，0

为AC与BD的交点,下面说法正确的是（）

A.。。〃平面77口B.PC//平面BDQ

C.40〃平面PCDD.切〃平面处3

二、填空题

6.过三棱柱4AG的任意两条棱的中点作直线，其中与平面/如M平行

的直线有一条.

7.在棱长为a的正方体4腼-4AG〃中，忆N分别是棱4A,6G的中点,

产是棱/〃上的一点，AP=^,过户，N的平面与棱口交于。，则&=.

8.如图所示，在四面体力一65中，"，"分别是△/口?,△颇的重心，则四

面体的四个面中与的V平行的是.

三、解答题

9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥产一力腼中，夕是尸。的中点.求证:

用〃平面BDE.

P

10.如图所示，已知两条异面直线46与5，平面,捌制与⑦都平行，

且肱MP,0依次在线段4C,BC,BD,段上，求证：四边形网倒是平行四边形.

B级£学考水平等级练

1.对于直线加，〃和平面a,下列命题中正确的是（）

A.如果加Ua,rfta,m,〃是异面直线，那么〃〃a

B.如果加Ua,加a,必，〃是异面直线，那么〃与a相交

C.如果/Ua,n//a,m,〃共面，那么加〃〃

D.如果/〃a,n//a,m,〃共面，那么面〃〃

2.已知正方体466714AG〃的棱G〃上存在一点6（不与端点重合），使得

初〃平面3位，则（）

A.BDJ/CEB.AC」BD\

C.仄E=2EC\D.D\E=EC、

3.如图所示的正方体的棱长为4,点反厂分别为4〃，的中点，则过G,

E,6的截面的周长为

4.如图，在三棱台班F—48。中，AC=2DF,G,，分别为他8C的中点.求

证：BD〃平面FGH.

5.如图，在三棱柱/比‘一46K中，点反尸分别是棱CG,防上的点，点"

是线段月C上的动点，EC=2FB=2,若/跖〃平面45F,试判断点物在何位置.

8.5.2直线与平面平行

因谦图阖自困（教师独具内容）

课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空

间中直线与平面的平行关系.2.归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并

加以证明.

教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用.

教学难点：综合运用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、

线面平行的相互转化.

核心素养：通过发现、推导、应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的

过程，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.

，新知1

1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知

直线平行的直线.

2.直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可

①直线a和平面a平行，即a〃*

②平面a和平面£相交于直线b,即aCB=b.

③直线a在平面£内，即au£.

±1评价自测I

1.判一判（正确的打“，错误的打“X”）

（1）如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平

行.（）

（2）如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平

行.（）

（3）若直线a〃平面a,则直线a与平面a内的任意一条直线平行.（）

（4）若直线a〃平面a,则平面a内有唯一一条直线与直线a平行.（）

答案⑴X（2）X（3）X（4）X

2.做一做

（1）下列选项中，一定能得出直线加与平面。平行的是（）

A.直线加在平面a外

B.直线勿与平面a内的两条直线平行

C.平面a外的直线力与平面内的一条直线平行

D.直线勿与平面a内的一条直线平行

(2)梯形力腼中，AB//CD,18U平面a,办平面a,则直线缪与平面a

内的直线的位置关系只能是()

A.平行B.平行或异面

C.平行或相交D.异面或相交

⑶已知1,加是两条直线，a是平面，若要得到，〃a"，则需要在条件

“加Ua,/〃力”中另外添加的一个条件是.

⑷如图，空间四边形四⑦中，若M,N,。分别是物BC,的中点，则与

平行的平面是,与般平行的平面是

答案(1)C(2)B(3)Ida(4)平面戊刀平面/劭

核心素养.形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一直线与平面平行判定定理的理解

例1能保证直线a与平面a平行的条件是()

A.bua,a//b

B.bua,c//a,a//b,a//c

C.bua,A,BGa,C,DGb,且Z£>=劭

D.血a,bua,a//b

［解析］A错误，若bua,a//b,则a〃。或aUa；B错误，若Z?Ua,c

//a,a//b,a//c,则a〃a或aUa；C错误，若满足此条件，则a//a或aU

a或a与。相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件.故选D.

［答案］D

金版点睛

平行问题的实质

(1)平行问题是以无公共点为主要特征的,直线与平面平行即直线与平面没有

任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决.

(2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线与平面的位置关系是解

决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法.

［跟踪训练1］给出下列几个说法：

①若直线a在平面a外，则a〃②若直线allb,直线bua,则a//a；

③若直线。〃6,bua,那么直线a就平行于平面a内的无数条直线.

其中正确说法的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析对于①，直线a在平面。外包括两种情况：a〃。或a与。相交，

.•.a与a不一定平行，①说法错误.对于②，•.•直线a〃4bua,则只能说

明a和6无公共点，但a可能在平面a内，a不一定平行于明•♦.②说法错误.对

于③，Va//b,8Ua,「.aU。或a〃。，与平面a内的无数条直线平行，

...③说法正确.故选B.

题型二直线与平面平行的判定

例2如图所示，已知。是平行四边形48⑦所在平面外一点，"为阳的中点.

求证：外〃平面物C

［证明］如图所示，连接物交〃1于点0,连接物,

P

则加为△应加的中位线,

：.PD//MO.

•.•侬平面MAC,

欣)u平面MAC,

.•.如〃平面MAC.

|金版点睛

证明线面平行的方法、步骤

(1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面。内找一

条直线8和已知直线a平行.即要证直线a与平面a平行，先证直线a与直线8

平行.即由立体向平面转化.

(2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③

由判定定理得出结论.

(3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理.

［跟踪训练2］在正方体/四一464〃中，E,尸分别是面对角线46,8C的

中点.求证：EF“平一噩ABCD.

证明如图，分别取45,a'的中点G,H,连接班,FH,GH.

则由三角形中位线的性质知：

11

EG//AA，EG=~AAX,FH〃BB\,FH=~BBX,

乙乙

又AAJ/BB、,

：.EG//FH,旦EG=FH,

二四边形跖仍是平行四边形，，旗〃以

•.•网平面/腼，而0u平面/比》,

二所〃平面ABCD.

题型三直线与平面平行性质定理的应用

例3如图，在长方体48⑦-43G〃中，E,〃分别为棱43,〃《上的点，

豆EH〃AD，过"的平面与棱防，CC相交，交点分别为凡G,求证：〃平面

ADDA

［证明］因为EH〃A。,A\D\〃B\C\,

所以EH〃BC，

又或平面BCCB,5Gu平面BCCB,

所以防〃平面BCCB.

又平面FGHEC平面BCQR=FG,

所以EH〃FG,即

又放平面ADDA，u平面ADDA,

所以尾〃平面

利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤

找一个与平面相交且过该直线的平面I

定〉一确定两平面的交线

结＞7由性质定理列条件,下结论

［跟踪训练3］如图所示，在四棱锥。一力腼中，底面口是平行四边形,

4。与被交于点0,M是尸。的中点，在加/上取一点G,过G和作平面交平面

BDM于GH,求证：AP//GH.

B

证明如图，连接的.

p

•.•四边形485是平行四边形，

二。是4。的中点.

又，"是用的中点，.•"-〃〃〃

又平面BDM,〃仁平面BDM,

尸〃平面BDM.

又”u平面4PGH,平面APGHC平面BDM=GH,：.AP//GH.

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.在正方体/阅9—4AG〃中，"是棱切上的动点，则直线,嘱与平面加近6

的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.相交或平行

答案B

解析由线面平行的判定定理可知，B正确.

2.如图，下列正三棱柱力8C—46c中，若M,M尸分别为其所在棱的中点，

答案C

解析在图A,B中，易知AB〃AB〃MN,所以43〃平面屈W；在图D中，易

知AB//PN,所以48〃平面MNP；在图C中，力8与平面物肥相交，故选C.

3.（多选）过平面a外的直线作一组平面与a相交，如果所得的交线分

别为a,b,c,…，则这些交线的位置关系可能为（）

A.都平行B.都相交于同一点

C.都相交但不交于同一点D.以上均不正确

答案AB

解析因为Ra,所以/〃。或/Ca=A.若/〃a,则由直线与平面平行

的性质定理可知，l//a,l//b,l//c,所以由基本事实4可知，a//b//c-.

若则力Wa,AGb,A^c,…，an^Acn…=/,故选AB.

4.如图，alla,/是a的另一侧的点，B,C,D^a,线段AC,AD）分

别交。于£,F,6,若戍?=4,CF=4,AF=5,则跖=.

生.20

答案T

AFEG5EG

解析'：a//。，平面4叫na=%,.•.云=瓦，...7钙=彳，BPEG

_20

=V

5.在四面体力一腼中，肱N分别是和△心的重心，求证：/小〃平

面ADC.

证明如图，连接砌，翻并延长，分别交49,DC于P,。两点，连接做

,：M,N分别是△/龙和46口的重心,

：.BM\MP=BN,.NQ=2：1,

：.MN//PQ.

又掰V：平面4%,尸。u平面C,

...MM〃平面ADC.

课后课时精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

一、选择题

1.如果直线/，/与平面a,J3,7满足：8Cy=1,m//1,mUa,则必

有（）

A.1//aB.a//y

C.m//B且m//yD.m//8或m//y

答案D

一BCy=1,/u£,/uy]、、

解析>=>加〃£或zz?〃若/为。与£的交

m//1,mua,

线或为a与尸的交线，则不能同时有R〃£，/〃7.故选D.

2.已知直线a〃平面a,a〃平面£,an£=8,则a与8（）

A.相交B.平行

C.异面D.共面或异面

答案B

解析因为直线。〃，所以在平面a,6中分别有一直线平行于a,

不妨设为加，n,所以a〃力，a//n,所以/力〃〃.又a,。相交，加在平面a内，〃

在平面尸内，所以加〃£,所以m〃b,所以a〃力.

3.在空间四边形力腼中，E,F,G,〃分别是46,BC,CD,加上的点，当

劭〃平面瓯火时，下列结论中正确的是（）

A.E,F,G,，一定是各边的中点

B.G,〃一定是切，物的中点

C.BE：EA=BF：FC,豆DH；HA=DG；GC

D.A£：EB=AH,.HD,aBF；FC=DG；GC

答案D

解析由于劭〃平面跖明由直线与平面平行的性质定理，有BD〃EH,BD

//FG,则AE\EB=AH：HD,且BF；FC=DG\GC.

4.如图所示，在长方体/比力一〃B'CD'中，E,尸分别为4”,BB'的

中点，过）的平面篦弟分别交a'和4〃于点G,点H,则HG与48的位置关系是

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

答案A

解析:E,少分别为44',BB'的中点，...即〃四.•.38U平面力腼，EK

平面力比Z?,.•.①〃平面ABCD.又平面防RA平面ABCD=HG,：.EF//HG,：.HG//AB.

5.（多选）如图，。为平行四边形力腼所在平面外一点，0为川的中点，0

为“'与劭的交点，下面说法正确的是（）

A.平面PCDB.PC〃平面BDQ

C.四〃平面尸切D.5〃平面为6

答案ABD

解析因为。为平行四边形/颔对角线的交点，所以又0为必的

中点，所以QO//PC.由直线与平面平行的判定定理，可知A,B正确.又四边形ABCD

为平行四边形，所以/8〃①，故切〃平面为8,故D正确.阳与平面也相交，

C错误.故选ABD.

二、填空题

6.过三棱柱45C—45G的任意两条棱的中点作直线，其中与平面/85M平行

的直线有一条.

答案6

解析如图所示，与平面力如4平行的直线有EEED,DD\,D、E,DE、,

共6条.

7.在棱长为a的正方体力式》—4旦C〃中，MN分别是棱44,5。的中点,

。是棱丝上的一点，AP=^,过尸，机/¥的平面与棱口?交于0,则图=.

O

答案半

0

2a

解析MN//平面AC,平面PMNC平面AC=PQ,：.MN//PQ.易知DP=DQ=~r.

o

故PQ=y[2a•|=^^.

8.如图所示，在四面体4一65中，"，"分别是△/口?,△颇的重心，则四

面体的四个面中与物V平行的是.

答案平面力回和平面/施

解析连接CV并延长交/〃于反连接③并延长交助于凡则反月分别为

AD,劭的中点，连接期V；EF,：.EF〃AB.易得MN"EF,：.耐/ABJ：■面ABC,

/8U平面力比；.，州〃平面/比；•.•胡恒平面/阿，/8U平面4劭，I肺〃平面/被

三、解答题

9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥产一力阅9中，£是尸。的中点.求证:

为〃平面BDE.

p

证明如图，连接4C交班于点。，连接如

在口48（力中，。是力。的中点，又后是的中点，

.•.施'是△物。的中位线.：.OE//PA.

•.•必Q平面糜；庞1U平面核.•.必〃平面及昭

10.如图所示，已知两条异面直线48与切，平面/眈图与四，修都平行，

且叫N,P,0依次在线段4C,BC,BD,AD上,求证：四边形物T阀是平行四边形.

证明'：AB//平面MNPQ,过力8的平面48C交平面MNPQ于MN,：.AB//MN.

又过48的平面力劭交平面楙74于PQ,

AB//PQ,：.MN//PQ.同理可证NP//MQ.

二四边形助W%为平行四边形.

B级♦,学考水平等级练

1.对于直线加，〃和平面叫下列命题中正确的是（）

A.如果/Ua,rfla,勿，〃是异面直线，那么z?〃a

B.如果/Ua,rfla,m,〃是异面直线，那么〃与a相交