中考数学重难点15 相似三角形

专题15相似三角形

选择题

1.（2022•湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的

高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m

的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到0.01m.参考数据：

72=1.414,73»1.732,逐=2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【答案】B

【分析】设雕像的下部席为xm,由黄金分割的定义得4=叵」，求解即可.

22

【详解】解：设雕像的下部高为xm,则上部长为（2-x）m,

•.•雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕

像为2m,

苴二L.-.x=V5-l?1.24,即该雕像的下部设计高度约是1.24m,故选：B.

22

【点睛】本题考查/黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键.

2.（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每

圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的（）

A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割

【答案】D

【分析】根据黄金分割的定义即可求解.

【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹宜径的比约为

0.618.这体现了数学中的黄金分割.故选：D

【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分

的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为叵1，约等于0.618,这个比例被公认

2

为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.熟知黄金分割的定义是解题关键.

3.（2022•浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直

线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段4?=3,则线段8c的长是（）

23

A.-B.1C.-D.2

32

【答案】C

【分析】过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于。、E,根据题意得

AD=2DE,然后利用平行线分线段成比例定理即可求解.

【详解】解：过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于E,

AnAn11

根据题意得AD=2£>E,^BD//CE,回——=——=2,又1248=3,SBC=-AB=-故选:

BCDE22

C

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键.

4.（2022•湖南湘潭）在「ABC中（如图），点。、E分别为45、AC的中点，则叫%：5\,诋=

B

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】D

【分析】证出OE是A48C的中位线，由三角形中位线定理得出。E〃BC,DE=；BC,证

出A40EMBC,山相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论.

【详解】解：；点。、E分别为AB、AC的中点，,DE是A4BC的中位线，.•.DE〃3C,

DE=-BC,

2

DADEDABC,SVADE:SVABC==；.故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线

定理，证明三角形相似是解决问题的关键.

5.（2022•浙江绍兴）将一张以A8为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在

剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的

是如图所示的四边形纸片A3CC，其中NA=90。，AB=9,BC=1,8=6,AT>=2,则

剪掉的两个直角三角形的斜边长不可熊是（）

【答案】A

【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出

剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意.

【详解】解：当团DFE国ECB时，如图，

E.____________✓!E

D

B

27

x=一

DFFEDE、儿x96+y.4

回正=百=百‘设叫‘"传〒二p解JZH鬲

21

产了

2145

0DE=CD+CE=6+7=-）故8选项不符合题意;

2735

0£B=£>F+AD=—+2=—,故选项。不符合题意;

44

DCCFDF

如图，当国DC®3FE8时，回一=一=——,设FC=m,FD=n,

FEEBFB

回¥=3=二，解得：,回FD=10,故选项C不符合题意；

9n+2m+1["=10

BF=FC+BC=8+6=14,故选项A符合题意；故选：A

【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨

论的方法解答.

Ar

6.（2022•甘肃武威）若△ABC:ADEF,BC=6,EF=4,则——=（）

DF

49-23

A.-B.-C.-D.一

9432

【答案】D

Ar

【分析】根据蜘8a型DEF,可以得到三=/，然后根据8c=6,24,即可求解.

EFDF

【详解】解：团△ABC:△£>£方"回生=生，本三会■一生二）；•・二:三一T：敷学第六感

EFDF

BC=6,EF=4,（=1•故选D

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

7.（2022•云南）如图，在，ABC中，D、E分别为线段8C、BA的中点，设ABC的面积为多,

EBD的面积为工.则（■=（）

【答案】B

【分析】先判定£B£>ABC,得到相似比为再根据两个相似三角形的面积比等于相

似比的平方，据此解题即可.

【详解】解：回D、E分别为线段BC、8A的中点，回组=照=1,

ABBC2

X0ZB=ZB,0EBDABC,相似比为

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识

是解题关键.

8.（2022•浙江舟山）如图，在RtABCRtBOE中，ZABC=/BOE=90。，点4在边。E

的中点上，若他=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为（）

A.V14B.V15C.4D.V17

【答案】D

【分析】过点E作E用BC,交CB延长线于点F,过点A作人G08E于点G,根据等腰直角三

角形的性质可得BE=2JJ,回BED=45°,进而得到AB=BC=石，EG=AG=—AE=—,

22

BG=迪，再证得她£甩附BG,可得BF=迫*EF=处,然后根据勾股定理，即可求解.

255

【详解】解：如图，过点£作£甩8C,交C8延长线于点F,过点A作AG0BE于点G,

在RtBDE中,0BDf=9O°,DB=DE=2,

回BE=>JBD2+DE2=2V2，0BfD=45°，

团点A在边£>Et的中点上，S4D=AE=1,

^AB=y]AD2+BD2=V5>0AB=BC=V5,

EE8ED=45°,0aAEG是等腰直角三角形，

向E•小丘AH&BlDZ-3灰

222

团M8c=团「=90°,用EfEAB,

WBEF=^lABGf^BEFWABG,

272BFEF

BEBFEF—=-=-=-=—=-

回罚=布=前’nun,不也还,

22

解得：BF=^-,EF=—,0CF=—

555

^CE=^EF2+CF2=V17.故选：D

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定

理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的

关键.

9.（2022•江苏连云港）ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,

其最长边为12,则一£）£户的周长是（）

A.54B.36C.27D.21

【答案】C

【分析】根据相似三角形的性质求解即可.本号玄蚪全若来漂于多售公众与敷学第六亲

【详解】解：回（MBC与I3DEF相似，M8C的最长边为4,回。£尸的最长边为12,

回两个相似三角形的相似比为1:3,

02DEF的周长与EW8c的周长比为3:1,

03DEF的周长为3x（2+3+4）=27,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解

题的关键.

An2

10.（2022•四川凉山）如图，在MBC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE08C,—

D£=6cm,则BC的长为（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

【答案】C

ADDEAD2

【分析】根据平行得到AADEAABC,根据相似的性质得出:砥==，再结合==彳，

AD£>CDD3

Df=6cm,利用相似比即可得出结论.本

【详解】解：,在M8c中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE〃BC,乙短光=NB,

__A__ADDE

ZA=ZA»DA4DEDABC,=—-»

ABBC

AD2.DEADAD2

~DB~3'AD+DB~^?

5DE5X6

DE=6cm,BC=-------=-------=15cm,故选：C.

22

【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质

等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

11.（2022・重庆）如图，ABC与,.QE尸位似，点。是它们的位似中心，且位似比为102,

则1MBe与£>防的周长之比是（）

B,

A.102B.104C.1（33D.109

【答案】A

【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即

可求解.

【详解】解：0A6c与.REF位似

0△ABCSADEF

0ABCHDE尸的位似比是1:2

ELABC与£>E尸的相似比是1:2

0ABCHDE尸的周长比是1:2故选：A.

【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质.

12.（2022,重庆）如图，/BC与£>£尸位似，点。为位似中心，相似比为2:3.若.ABC的

周长为4,则Z）所的周长是（）

A.4B.6C.9D.16

【答案】B

【分析】根据周长之比等于位似比计算即可.

【详解】设.DEF的周长是X,

0ABC与DEF位似,相似比为2:3,ABC的周长为4,

04：x=2：3,解得：x=6,故选：B.

【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键.

13.（2022•浙江金华）如图是一张矩形纸片ABC。，点E为AO中点，点F在8c上，把该

纸片沿EF折叠，点4B的对应点分别为A,B',AE与BC相交于点G,的延长线过

B'

A.2&B.殍C.弓D.|

【答案】A

【分析】令8F=2x,CG=3x,FG二y,易证△CGAs^C/吩，得出k==777,进而得出片3x,

CFBF

AH

则4E=4x,AD=8x,过点E作EH08c于点H,根据勾股定理得出E”=2正x,最后求出r的

AB

值.

【详解】解：过点E作EHQBC于点H,

又四边形A8CD为矩形，

00A=0B=0D=I3BCD=9O<,,AD=BC,

回四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，

EWB=£H,ED=CH,

BF2

回---=——

GC3

回令8F=2x,CG=3x,FG=y,则CF=3x+y,B'F=2x,A'G='X~V,

由题意，得NC4'G=NCE'F=900

又NGGV为公共角，

0ACGA,^ACFB,,

CGA'G

团---=一;一,

CFB'F

5x-y

则3x；2,

3x+y2x

整理，得（x+y）（3x-y）=0,

解得x=-y（舍去），y=3x,

0/4D=BC=5x+y=8x,EG=3x,HG=x,

在RtAfGH中EH2+HG2=EG2,

则£“2+/=（3刈2,

解得E”=2&x,EH=-2夜x（舍）,

B48=2&x，

AD8xc衣，…

0-^7=r-=2V2.故选：A.

AB2V2X

AE

B'

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，

借助于相似三角形找到片3x的关系式是解决问题的关键.

14.（2022•浙江湖州）如图，已知8。是矩形ABCD的对角线，AB=6,BC=8,点E,F分别

在边AD,BC上，连结8E,DF.将蜘8E沿8E翻折，将回OCF沿。F翻折，若翻折后，点A,

C分别落在对角线BD上的点G,H处,连结GF.则下列结论布,州的是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG//FHD.GF0BC

【答案】D

【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A,根据折叠的性质即可求得HD,BG,进

而判断B,根据折叠的性质可得N£G3=N77m=90。，进而判断C选项，根据勾股定理求

得C尸的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项

【详解】8。是矩形A8CD的对角线，4B=6,8c=8,

BC=AD=S,AB=CD=6...BD=\）BC2+CD2=10故A选项正确，

.将M8E沿8E翻折，将回DCF沿DF翻折，

：.BG=AB=6,DH=CD=6:.DG=4,BH=BD-HD=4

.•.〃G=10-B”-£）G=10-4-4=2故B选项正确，

EG_LB£）,//F_LOB,E]£G0HF,故C正确

设AE=a,则EG=a,:.ED=AD-AE=S-a,

ZEDG=ZADB.-.tanZEDG=tanZADB

„EGAB63a3

即n---=---=—=—

DGAD8444

.\AE=3f同理可得b=3

若尸G〃8则一=——

BFBG

CF3GD42.CFGD

BF~5'BG~6~3'"BFBG'

.•・FG不平行8,即GF不垂直BC,故D不正确.故选D

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上

知识是解题的关键.本号史料全部来源于笠售公众弓：岐学第六首

15.（2022•四川眉山）如图，四边形A88为正方形，将绕点C逆时针旋转90。至,HBC,

点。，B,H在同一直线上，HE■与AB交于点G,延长与CD的延长线交于点尸，HB=2,

HG=3.以下结论：®ZEZX7=135°；（2）EC2=CD-CF；③HG=EF；④

历

sinZC£D=—,其中正确结论的个数为（）

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质

可知②正确；证明△GB”s△瓦（，得至“段=聂，即EC=。匕”当,利用

HBHGHB2

是等腰直角三角形，求出HE=主答，再证明△HGBjXHDF即可求出EF=3可知③正确;

过点£作初/_1/7）交FD于点M,求出sin/E尸c="=正，再证明乙DEC=NEFC,即

EF3

可知④正确.

【详解】解：回△EOC旋转得到HBC,

⑦NEDC=NHBC,

[2/43C。为正方形，D,B,"在同一直线上,

0ZHBC=18O°-45°=135°,

0Z££）C=135O,故①正确；

回△££＞（；旋转得到HBC,

国EC=HC,ZECH=90°,

0ZHEC=45°,

团ZF£C=180°-45°=135°,

⑦NECD=/ECF,

团△EFCs/^DEC,

ECFC

0-----------,

DCEC

^EC1=CDCF,故②正确；

设正方形边长为o

0Z.GHB+NBHC=45。,/GHB+NHGB=450,

0/BHC=/HGB=/DEC,

0NGBH=NEDC=135。,

回△GBHs△瓦）。，

DCEC-CDHG3a

0——二-----，即EC=-------------=—,

HBHGHB2

回△”£€;是等腰直角三角形，

2

ONGHB=NFHD,NGBH=NHDF=135。,

团HBGsHDF,

23

团■^二即2+&。30。，解得：EF=3,

HDHF—+EF

2

⑦HG=3,

团HG=EF,故③正确；

过点E作HW_LFD父FD于点M,

0ZEDM=45°,

田ED=HB=2,

^MD=ME=y/2.

团历=3,

,MEV2

团sinZ.EFC==——，

EF3

0ZDEC+ZDCE=45°,ZEFC+ZDCE=45°,

⑦/DEC=NEFC,

0sinZDEC=sinZEFC=—=—.故④正确

EF3

综上所述：正确结论有4个，

故选：D

【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解宜角三角形，解

题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解.本

16.（2022•湖南株洲）如图所示，在菱形A8CO中，对角线AC与8。相交于点O,过点C作

CE〃皿交A8的延长线于点E,下列结论不一定正确的是（）

A.OB=gcEB.ACE是直角三角形C.BC=^AED.BE=CE

【答案】D

【分析】由菱形的性质可知AC，OB,A0=0C,由两直线平行，同位角相等可以推出

ZACE=ZAO3=90。，再证明RtACERtAAOfi,得出O8=’CE,AB=-AE,由直角

22

三角形斜边中线等于斜边一半可以得出8C=gAE.现有条件不足以证明=CE.

【详解】解：团在菱形A5C£N」，对角线AC与8。相交于点。，

QACrDB.AO=OC,0ZAOB=9O°,

0CE/7SD,0ZACE=ZAOB=9O°,

E1.ACE是直角三角形，故B选项正确；

回NACE=NAO3=90°,ZCAE=^OAB,

一c……cOBABOAI

团Rt.ACERt/\AOB，团-----------——

CEAEAC2

回O8=2CE,AB=-AE,故A选项正确;

22

0BC为RtACE斜边上的中线,

囱BC=gg故C选项正确；

现有条件不足以证明BE=CE,故D选项错误；故选D.

【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜

边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出AO=OC是解题的关键.

17.（2022•浙江温州）如图，在mABC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，连

结CF,作GM1.CF于点M,8/LGA/于点人AKJ_B/于点K,交CF于点L.若正方形

ABGF与正方形〃2M的面积之比为5,CE=M+&,则CH的长为（）

C.2&D.Vio

【答案】c

【分析】设CF交AB于P,过C作C/VM8于N,设正方形JKLM边长为m,根据正方形A8GF

与正方形JKLM的面积之比为5,得AF=AB=&m,证明EMFLEBFGM（AAS）,可得4=FM,

设AL=FM=x,在RtfMFL中，/+（x+m）2=（亚m）2,可解得x=m,有AL=FM=m,FL=2m,

从而可得4>=画,FP=-m,BP=—,即知P为A8中点，CP=AP=BP=—,由EICPWEBFRA,

2222

得CN=m,PN=m,即得AN=吏'm,而tcrnEia4C=》=R=-3—，又EMEC00BCH,

根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：设CF交A8于P,过C作CM2MB于N,如图:

设正方形JKLM边长为m,回正方形JKLM面积为nA

回正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,

回正方形A8GF的面积为5m2,SAF=AB=y/5m,

由已知可得：EMFL=90°-回MFG=I3MGF,MLF=90°=EIFMG,AF=GF,

SSAFL^FGM（MS）,设AL=FM=x,贝ljFL=FM+ML=x+m,

在AtfflAFL中，AL2+FL2=AF2,/+（x+m）2=（布m）2,

解得x=m或x=-2m（舍去），QAL-FM-m,FL-2m,

FP=〃尸+4尸=J苫当2+（我=-m,BP=AB-AP^书m一^■=

V2222

B4P=BP,即P为A8中点，

回&4。8=90°,0CP=4P=SP=—

2

EBCPN=MPF,EICNP=9O°=E1MP,EBCP/VEBFR4,

CP_CNPN,2_CNPN

而一俞一'5-75,„一出m

回CN=m,PN=^-m,MN=AP+PN=9±I,”

22

BCCN2

•••tan^BAC=—=—=7—

ACANV5+1

的4EC和团BCM是等腰直角三角形,

BCCH

(2gLAECW)BCH,~\C~~CE

2CH

3屈+在'行=；B77r.CH=2"故选：C.

【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，

勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度.

18.（2022・湖北十堰）如图，某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳（两条尺长/C和8。

相等）可测量零件的内孔直径48.如果。1：OC=OB：OD=3,且量得CQ=3cm,则零件的

厚度x为（）

A.（）.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm

【答案】B

【分析】求出△/O8和AC。。相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出再

根据外径的长度解答.

【详解】解：囱。/：OC=OB：。。=3,^AOB^COD,

^AOB^COD,^AB-.CD=3,EW5：3=3,EL48=9（cm）,

团外径为10cm,团19+2x=10,取=0.5（cm）.故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出”的长.

二、填空题

19.（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优

选法"，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗

框ABCZ）分为上下两部分，其中E为边48的黄金分割点，^BE2=AE-AB.已知A8为2

米，则线段BE的长为米.

【答案】（君石）

【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得丝=些=Y1二1,代入数值得出答案.

BEAB2

【详解】回点E是A8的黄金分割点，（3—=—=近二1.

BEAB2

蜘8=2米，0BE=（75-1）TK.故答案为：（6-1）.

【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键.

AF）1

20.（2022•浙江湖州）如图，已知在蜘8c中，D,E分别是AB,AC上的点，DE//BC=

AB3

【答案】6

r）rAni

【分析】根据相似一角形的性质可得芸=黑=:，再根据DE=2,进而得到8c长.

BCAB3

【详解】解：根据题意，

2〃n八DEAD1

^DE//BCWADEWABC.团一=—=-,

fBCAB3

21

团DE=2,[?）—=-,0BC=6；故答案为：6.

BC3

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质进行计

算.

21.（2022•湖南怀化）如图，MBC中，点。、E分另IJ是48、AC的中点，若SAADE=2,则SJ8C

A

[)F1

【分析】根据三角形中位线定理求得DEBBC,芸=从而求得MDEHMBC,然后利用相

BC2

似三角形的性质求解.

【详解】解：回D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，

所以DEI3BC,丝=：所以EWDESa48c0舁迫=(蜉尸=J

BC23ABC/。4

回5”。尸2,回5〃8c=8故答案为：8.

【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平

行线性质等知识点的掌握.

22.(2022•四川成都)如图，ABC和DEF是以点。为位似中心的位似图形.若

OA:AD=2:3,贝iLASC与.DE尸的周长比是.

【答案】2:5

【分析】根据位似图形的性质，得到AOC4AOFD,根据。4:4)=2:3得到相似比为

E"芸二＞W，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论•

FDODOA+AD5

【详解】解：A8C和是以点。为位似中心的位似图形，

CAOA_

•.\OCAAOFD,而一历

.CAOAOA2

OA:AD=2:3,

.访—方―OA+AD_5'

(jC42

・•・根据45。与叱的周长比等于相似比可得产故答案为：2:5.

(ADEF卜DJ

【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质

是解决问题的关键.本

23.（2022•湖南娄底）如图，已知等腰,43C的顶角ZBAC的大小为0,点。为边BC上的动

点（与8、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转。角度时点。落在OC处，连接.给

出下列结论：①AACD二八小。；②AAC8AAW；③当班）=8时，一ADD的面积

取得最小值.其中正确的结论有（填结论对应的序号）.

【答案】①②③

【分析】依题意知，A8C和A3。是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明

/XADC^AD'B,可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为黑，故最小时

AC

面积最小，即等腰三角形三线合D为中点时.

【详解】•••AD绕点A沿顺时针方向旋转。角度得到AD'

：.ZDAD'=e,AD=AD'*'•^CAB="5

即NCAD+ZDAB=NDAB+ZBAD'：.ZCAD=ZBAZT

ZCAD=ZBAD'

-：-AC=AB得：△ADCgZ\A£>'B（SAS）故①对

AD=AD'

ABC和，ADD是顶角相等的等腰三角形zMCB^ADiy故②对

2

...=（—―）即4D最小时5AAD.D最小当AD_L8C时，4。最小

dA/lBCAC

由等腰三角形三线合■,此时。点是8c中点故③对故答案为：①②③

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项

③中将面积与相似比结合是解题的关键.

24.（2022•湖南常德）如图，已知尸是ABC内的一点，FD//BC,FE//AB,若、BDFE

的面积为2,BD=\BA,BE=^-BC,贝％ABC的面积是_______.

34

A

【答案】12

【分析】延长£F、DF分布交AC于点M、N,可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求

出AM、MN、C7V之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解.

【详解】解：如图所示：延长EF、OF分布交AC于点M、N,

FD〃BC,FE//AB,BD=-BABE=-BC

3949

AI—RD.CM__CE_.j47V_AD_

•.CE=3BE,ziZ-x—.——3，一一乙,

AMBECNBD

令AM=x，则CM=3x,.・.AC=4x,

921A

AN=-AC=-x,CN=-AC=-x

3333f

:.MN=，x,NM_5NM_5

3A7V-8，MC-9

S&NMF：S/、NAD=25:64,S&NMF：S^MEC=25:81,

设S^NMF=25。，S&NAD=64〃，5AA/£C=8162,

•,S四边形FECN=56a，.，,S^ABC=2+120a,

求出

°SADN64。—T=-,a=\

S^ABC2+120〃AB)912

・•・SGBC=2+120。=12,故答案为：12.

【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一

定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似

三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键.

25.（2022•天津）如图，已知菱形A3。的边长为2,ND45=60。，E为AB的中点，F为CE

的中点，”与相交于点G,则GF的长等于.

D____________C

AEB

【答案】叵

4

（分析］连接FB,作CG_L交A8的延长线于点G.由菱形的性质得出ZCBG=ZDAB=6（）。,

AD=AB=BC=CZ>=2,解直角ABGC求出CG=6，BG=1,推出FB为AECG的中位线，进

而求出FB,利用勾股定理求出AF,再证明AAEGMBF,得出AG=GF=gAF.

【详解】解：如图，连接F&作CG_LAB交A8的延长线于点G.

D____________C

„\\

AEB~'G

田四边形ABCD是边长为2的菱形

SAD//BC,AD=AB=BC=CD=2,

0ZDAB=60°,

0NCBG=ZDAB=60°,

0CG=fiCsinZCBG=2x—=V3,

2

BG=BCcosZCBG=2xl=l,

回£为A8的中点,

^AE=EB=\,

回8E=8G,即点8为线段EG的中点,

又M为CE的中点,

0FB为AECG的中位线,

1J3

国FB〃CG,FB=-CG=—

229

^FBYAB,即AABb是直角三角形,

^AF=y/AB2+BF2=

在AAED和ABGC中,

AD=BC

ZDAE=ZCBG,'

AE=BG

0MED=A5GC,

0ZA£D=ZBGC=9O°,

0ZAEG=ZABF=9O°,

又回NGAE=NE48,

0AAEGAABF,

0-A-G=-A-E

AFAB2

0AG=-AF=—

24

^GF=AF-AG=

4

故答案为：限

【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性

质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角ABGC是解题的关键.

26.（2022•江苏宿迁）如图，在矩形43CD中，AB=6,BC=8,点”、N分别是边A£＞、BC

的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿M4方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀

速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，

其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF,过点8作EF的垂线，垂足为

H.在这一运动过程中，点//所经过的路径长是

【答案】亚?##叵

22

【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q,且A/1QW:△尸QMNQ.MQ=\.2,

点”在以8Q为直径的PN上运动，运动路径长为PN的长，求出8Q及PN的圆角，运用弧

长公式进行计算即可得到结果.本号空料全克来德于笠售公众弓：敷学第六苒

【详解】解：图点M、N分别是边A。、BC的中点，

连接MN,则四边形A8NM是矩形，

0MN=A8=6,AM=8N=gAD==4,

根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q,如图，

回四边形ABCD是矩形，

SAD//BC,

回AAQM:bFQN,

NFNQ1

回---=----=—

EMMQ2

0NQ=gMN=2

当点E与点A重合时，则NF=gAM=2,

®BF=BN+NF=4+2=6,SAB=BF=6

团AWF是等腰直角三角形，田4尸8=45。，

IEBPEMF,0ZPBF=45°

由题意得，点”在以8Q为直径的PN上运动，运动路径长为PN长，取BQ中点。，连接

PO,NO,EBPCW=90°,

又ZBNQ=90°,回时=yjB^+NQ2=14，+2。=2石，

^ON=OP=OQ=^-BQ=y[5,ElpN的长为组工工叵=立万故答案为：旦兀

218022

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知

识，判断出点”运动的路径长为PN长是解答本题的关键.

27.（2022•四川宜宾）如图，ABC中，点E、尸分别在边48、NC上，Z1=Z2.若3C=4,

AF=2,CF=3,则防=.

【答案】IQ

ppApFFAF'

【分析】易证△/EE3A/8C,得芸=要即一=---------即可求解.

BCACBCAF+CF

【详解】解：001=02,S1A=@A,SAAEF^AABC,

EFAF„EFAF

13---=----,[n!；-----=-----------

BCACBCAF+CF

EF288

138c=4,AF=2,CF=3,回——=-----,回£7三一，故答案为：一.

42+355

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题

的关键.本

28.（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，

钉点/,8的连线与钉点C,。的连线交于点E,则

（1）48与8是否垂直？（填"是"或"否”（2）AE=

【答案】是逑##:百

55

【分析】（1）证明△4CGI3AC网?,推出回。G=0尸CQ,证明团CE/=90。，即可得到结论；

（2）利用勾股定理求得的长，证明△/瓜下回8瓦），利用相似三角形的性质列式计算即可

求解.

【详解】解：（1）如图：AC=CF=2,CG=DF=1,SAC