江苏省新高考2023届高三年级上册第三次大联考数学试卷含答案

数学

本试卷共6页，22小题，总分值150分.考试时间120分钟.

考前须知：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将

条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处〃.

2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案

信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷

上.

3.非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必需保持答题卡的洁净.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一.选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只

有一项为哪一项符合题目要求的.

A={-1,0,1,2,3},B={x|—3<x<2},那么Ac(\B)=()

A.{-1,0,1}B.⑶C.{2,3}D.{-1,0,1,2)

5=4+2i，那么^~；=()

l+i

A.3+iB.l+3i

C.3-iD.l-3i

a,b是单位向量，假设a_L(a+3。)，那么.一0=()

A.2J2B.宜^C.8D.-

33

4.我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又

割，以至于不行割，那么与圆周合体无所失矣'’♦刘徽从圆内挖正六边形逐次分割，始终分

割到圆内接正1536边形，用正多边形的面积靠近圆的面积.利用该方法，由圆内接正〃边形

与圆内接正2〃边形分别计算出的圆周率的比值为()

A.(1801fl80>

A.sinRB.cos

\\n)

一•(360、「360)

C.2sin---nD.02cos

\\n)

/(x)=(x—a)2(x—4a)的极大值点为—1，那么。的值为()

A.—B.—1C.—或—1D.—3或—1

33

22

。：二+与=1(。>。>0)的左、右焦点分别为耳，鸟，过G的直线与C交于

矿b

3

A,B\AB\=-a,AF21AB,那么C的离心率为()

A.叵B.aC.2D,1

5533

1+sin2a=2sin(a+〃)cos(a-齐)，那么()

A-V2R々V2

A.sma=——B.sinp=——

22

C.tan。=1D.tan^=1

a=log。5。Jog/=0.5"Jog05c="，那么()

A.b<a<cB,c<a<b

C.a<c<hD,c<h<a

二,多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分.

/(x)=sin(s+0)[①>0,|同的最小正周期为3肛/yj=-/(O),那么()

71

A.0=—

6

8/=4〃是/(可图象的对称轴

是/(%)图象的对称中心

Dj(x)在(0,乃)上单调递增

、乙、丙、丁四支队伍小组赛结束后，甲队积7分，乙队积6分，丙队积4分，那么()

、丁两队竞赛，甲队胜

、丙两队竞赛，丙队负

、丙两队竞赛，双方战平

P-ABCO的全部棱长都相等，M,N,。分别是侧面Q4B，侧面P8C和底面A6CD的中

心，那么()

A.PM//BNB.MN//平面PAC

C.MN1PBD.OA/_L平面Q4S

“X)的定义域为是偶函数，f(x)-2'是奇函数，那么()

AJ⑼+/(1)=|B./(l)+/(-l)=2

CJ(2)=4D./2⑹二(4"J4-")

4k=oJ

三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.

{q}的前〃项和为S〃，假设%=%+6，那么q=.

(1,0)作曲线y=e凶的两条切线，那么这两条切线的斜率之和为.

G:y2=2x和。2：V=2px(p>1)的焦点分别为尸1，6，点A在。2上，轴，线

段A耳交G于点8,且8为A6的中点，那么P的值为.

0a的轴截面是边长为8的正方形，A8是圆。上两点，。,。是圆。|上两点，且

AB=C£>=6,4BJLCO,那么四周体ABC。的外接球的外表积为，四周体

ABCD的体积为.

四、解答题.证明过程或演算步骤.

17.(10分)

1+CCwAc1yd

记一ABC的内角A6,C所对边分别为a,b,c,-------=「；•

3-cosnsinn

(1)证明：b-vc=3a\

TC

(2)假设C=—,a=5,求.ABC的面积.

3

18.（12分）

数列｛6,｝满意4=-1，4=3,叫"+2=（〃+2）a“+i+（2〃+2）a”.

(1)设b“一同+4,证明：｛2｝是等比数列；

n

(2)记数列｛%｝的前“项和为S“，求$2”.

19.(12分)

函数/(X)=COSX-%2.

(1)设g(x)=7'(x)，求g(x)在区间I，万上的最值；

(2)争论/(X)的零点个数.

20.(12分)

如图，在多面体ABCDE中，平面ACDL平面ABC,8EJ_平面ABC,x.ABC和二ACD均

为正三角形，AC=4,3E=JJ，点尸在AC上.

(1)假设BE〃平面CDE,求CF；

(2)假设F是AC的中点，求二面角尸一。£一。的正弦值.

21.(12分)

22

双曲线。:二一当=1(。］＞0)的实轴长为4,左、右顶点分别为4,42,经过点3(4,0)的

a~b~

直线/与。的右支分别交于M,N两点，其中点M在轴时，|“V|=2j4

(1)设直线MA，N4的斜率分别为匕,右，求9■的值；

£

(2)假设求,AMN的面积.

22.(12分)

函数/(%)=〃山+；12_

X.

(1)求“X)的单调区间；

(2)假设4,0,证明：/(/)+/(/)+/([)++/广；I…-%

2023届新高考基地学校高三第三次大联考

数学答案与解析

一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只

有一项为哪一项符合题目要求的.

1.【答案】C

【解析】今3={x|x4-3或xN2},Ac5(QB)={2,3},选C.

2.【答案】A

_izi(4-2i)2+4i(2+4i)(l-i)

【解析】z=4+2i，那么z=4—2i,----=

1+i1+i-1+iT~

=(l+2i)(l-i)=3+i,选A.

3.【答案】B

【解析】a_L(a+3》),；.a(a+30)=0,即d?+3。.b=o,；.。力=-；,

=yjd2—2ab+b2=Jl+g+1==~~>选B.

4.【答案】B

2412乃IT2TZ*

【解析】正〃边形圆心角一,S[=H---rrsin—=-r2sin—,

n2H2n

r)jr127r7V

正2〃边形圆心角——,5=2H—r-rsin——=Hr2sin—,

2n222nn

n2.2>兀?.7i7i

s厂sin〃厂sin—cos一

幺=z------工=------—运=cos^,选B.

邑nr2sin—nr2sin—n

nn

5.【答案】A

【解析】尸(x)=2(x-a)(x-4a)+(x-a)2=(%-a)(3x-9a)=0,x=。或3〃,

由选项知〃<(),那么3avOJ(x)在(—8,3a)：(3a,0)式0,+8)

・•・/(X)极大值为3a,即3a=-1,即a=—L

6.【答案】A

【解析】令A耳=机，则Ag=2a-m,BFl=券一加，那么BF2

ABF中，—«+m=—a2+(2tz—m)2,/.m=—,

2l2)45

.6。4。「36/16a2\/13、止人

•.A耳——,AF——，Rt.A片/*2中，4e=-------1-------,e=-----,也A.

52525255

7.【答案】D

【解析】l+sin2a=2sin(a+/7)cos(a—/7),

I+sin(a+/?+a-〃)=2sin(a+/?)cos(a-Q)

l+sin(a+/?)cos(a-^)+cos(a+/7)sin(a-/7)=2sin(a4-/7)cos(a-77)

1=sin(a+6)cos(a-/?)-cos(a+/?)sin(a-')=sin[(a+0)-(a_£)]=sin2,,

jlj[

/.2/3=—+2k兀,/./?=—+k?i,keZ,‘tan6=1,选D.

8.【答案】B

【解析】a=log05tz>0,.,.0<^<l,0<logos。<I,,.0.5<a<l,

0.5"=log”)w(0,1),「・Qvb<1,log。5c=dG(0,1),.\CG(0.5』),QV,

二log()5a<log05c,:.a>c,:.c<a<b,选B.

二■多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】BD

【解析】T=女=3肛.•.0=：,/(x)=sin(£x+e],/jg]=-/(O)

那么/(x)关于对称，:.(+0=%肛%eZ,:.(p=-%+kT,kGZ,

|同<一—0,/.cp——,A错.

26

f(x}=sin\—x--=—k/r,keZ,:.x=n+>kji,kGZ,

v7(33622

攵=2,x=4肛二.x=4乃是/(x)图象的对称轴，8对.

271-713.71,.1-

—X----=K7U,kGZ,X-----1---K7T-......时，k—.....£Z,

364243

./一工,。]不是对称中心，C错.

TT27rTTTT\7Ci

一5<§%—7<5，一万<》<乃,，/(》)的一个单调增区间［一5，万1,

/(x)在(O,1)单调增，。对，选BD.

10.【答案】ACD

【解析】甲队积7分=3+3+1,胜两场平一场；

乙队积6分=3+3+0,胜两场负一场，负的一场肯定是负给甲的，

乙队胜了丙、丁两队，C对.

两队积了4分=3+1+0,胜平负各一场，负是输给乙

当甲、丙平常，丙胜丁，甲胜丁；当丙、丁平常，芮胜甲不行能.

二甲丙平，甲胜丁，对，选ACD.

11.【答案】BCD

【解析】取AB中点及BC中点F,",N分别为一PAB3PBe的中心

：.MN//EF,又跖〃AC,:.MN//AC,:.MN//平面PAC,B对.

AC±BD,PO±AC=>AC1.平面PBD=AC，P8="N_LP8,C对.

设AB=2，那么OE=l,PO=g,PE=6,ME=B,cosNPEO=^，

33

O"」+l-2x@xlx@=2,:.OM2+ME2=OE2,：.MELOM，

3333

AB±OE,AB_LPO,:.AB_L平面POE,:.AB±OM,ABcME=E,

AB,用Eu平面PAB,:.QW，平面PA6,D对，选BCD.

12.【答案】ACD

【解析】/(x-g)是偶函数关于x=0对称，〃x)关于x=—；对称,

g(x)=/(x)—2、为奇函数，.•.g(O)=/(O)-2°=O,.-./(O)=l,/(-l)=/(O)=l,

g(-l)+g(l)=〃-1)-，⑴-2=(),—⑴=|，

.•./(O)+/(1)=|,A对，B错.

31

/(l)=5，g(_2)+g(2)=〃_2)-力Q_4=0

.♦./(-2)+/(2)=q=〃l)+/(2)=|+〃2),“(2)45

g(-x)+g(x)=O，/(-x)+/(x)=(；]+2',/(-l+x)+/(x)=g+2X

1i-flT

丝4⑷4(l-4n)

?i")

k=Q1-4

4

,iiriY44„imfiYd

=1+------x-——+-x44“=-4n+l--,O对.

33⑷333|_⑷

三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.

13.【答案】一14

ci,+4d=<2,++6u,=-14,

【解析】，、',Ac=-14

94+36d=6q+115CdJ[d=2

2

14.【答案】e-l

【解析】x>0时，y=e*,切点(X[,e''),y'=e"，4=e』，

切线4:y-ex'=eV|(x-xj过(l,O),「.-e』=e』=2,匕=e2,

xWO时，y=e~x,切点(X2，e72),y'=e7,%2=-e』，

切线4：y-e』=_e-(x一七)过(l,0),;._ef=-e^=O,A^=-l,

2

k[+k2=e-1.

15.【答案】G+l

【解析】呜,0),电+抬)在G上,％=2(抬)

解得p=6+1

16.【答案】128万；48

【解析】方法一：圆柱外接球半径R=J16+16=屈,S=4万A?=128』,

圆O上取两点G,。使得CC\UflO\,DDi//OOl，

圆01上取两点A,B,使得AA4OQ,BB^OOX,

直四棱柱AGBA-AC5Q的体积V=；x6x6x8=144,

VV144-Vv-Vy-Vy-Vy

A-BCD=ErB-CBXDC-BCXDXDr\CD^-AC^

~]"_§x8S_§x8S8Gq_§x8SAG。_§x8SAQ

Sn(

=144----3-.B£C?V|i-q----3-SMC।nL/|=144----3-\S8coi+S.HACCj/£力>J),

=144-J^SXCBDI=144-yx1x6x6=48

方法二：(1)明显圆柱底面半径为4,高为8,取。«中点。，那么。为四周体ABC。球

心，

0A=44?+4?=4>/2=R,.0.S表=4"-32=128〃.

(2)过。作CE〃3A于点瓦・•・四边形A5CE为平行四边形,

^A-BCD=^E-BCD~^B-CDE=^ACDE-/?=-X—x6x6x8=48.

四、解答题、证明过程或演算步骤.

17•【解析】

1+cipA

(1)由于--------=-----，所以$血18+(:(&4$105=3$1114-$1小4(3053,

3-cosBsinB

由于A=%—(B+C),所以sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinB+sinC=3sinA,由正弦定理一日一="=’—,得b+c=3a.

sinAsinBsinC

(2)由①得〃+c=15,①

由余弦定理，得②

由①②解得〃=8,c=7.

所以ABC的百j积为_1々戾inC=—x5x8x^-=10>/3

222

18.【解析】

(1)由于也“+2二(〃+2)4川+(2〃+2)%,

〃+22几+2

所以4+2十4〃+i_nn______

4+1—

n+1〃+1

2〃+2/

(%T回=2(1+%)=2a.

_n

〃+1n

又由于4=4+出=2,

所以数列｛2｝是以2为首项2为公比的等比数列.

(2)由⑴可知，勿=2",所以为+4+1=〃-2",

所以S?”=(4+/)+(4+q)++(生“-I+%>)=1x2+3x2,++(2/?—1),22/11,

所以48“=1x23+3x25++(2H-l)-22n+1.

32n2n+1

两式相减，W-352„=1X2+2X(2++2-')-(2/?-l)-2

24x(1-227)105-6〃c，,用

=2+----------L-(2n-lYT=——+-------2~'用，

1-4v733

所以S2“=”+加工向.

2"99

19.【解析】

,

(1)由于g(x)=2x—sinx,<g(x)=—2—COSJC<0,

所以g（x）在区间（，万上单调递减,

所以当》="^时，g（X）取最大值;

当x=7时，8（力取最小值8（万）=一2）.

（2）先争论/（X）在［0,+8）上的零点个数,

由（1）可知，/'（X）在（0,+8）上递减，./''（x）<_f（0）=0,

所以/（X）在（0,+。）上递减，由于/（0）=1>0,/<0.

所以以/（X）在［0,+8）上有唯一零点,

由于/（%）是偶函数，所以/（x）在R上有两个零点.

20•【解析】

（1）取AC中点O,连结O。，过点E作尸G〃QD交CD于点G,连结EG.

D.

由于_ACD是正三角形，所以ODJ_AC,

由于平面AC。J•平面ABC,平面ACDc平面ABC=AC，

所以OO_L平面ABC.

由于BE,平面ABC，所以BE〃OD,

所以FG〃BE,所以用E,G,尸四点共面,

由于BE〃平面CDE,BEu平面BEGF,

面3EG产c平面CDE=GE,所以B尸〃GE.又由于尸G〃BE,

所以四边形BEG户是平行四边形.

所以FG=B£=LOQ=G，所以FG是三角形OCD的中位线，

2

所以CF=」OC=1.

2

(2)如图，以。为坐标原点，｛。氏。。,。。｝为基底建立空间直角坐标系，

由于8E=6,OO=2j^,AC=4,所以。(0,0,0),A(0,-2,0),806,0,0),

C(0,2,0),D(0,0,2^),E(2V3,0,A/3)

所以CD=(0,-2,26),CE=(2B,-2,G),

,、CDn=0,

设平面CDE的一个法向量〃=(x,y,z),那么＜

CEn=0,

即＜一2：+26z-令％=i,那么y=2ji,z=2,所以〃=(1,26,2).

2\j3x-2y+\/3z=0,'7

又平面DEF的一个法向量〃7=(。」,。)，

■।m-n2x/3

设二面角产一。七一。所成角的大小为a,所以cosa=厂曰=—怖=,

1\m\\n\J17

所以sintz=叵.即二面角E-AG—C的正弦值为姬.

1717

21.【解析】法一：

11)由于2。=4,所以a=2,令x=4得＞2=3/,

_22

所以|加|=2折=2的，解得。=血，所以C的方程为£一三=1

明显直线MN与y轴不垂直，设其方程为x=(y+4,

联立直线MN与C的方程，消去x得，(*-2)/+83+12=0,

当*#2时，A=16/+96>0,

8112

设M（玉，乂）,N&,%）,那么M+%=一?F，%%=

I—Zt—L

由于人意k,

■工2-22y.

所以k=a+2）（/+2）=（以+6）（优+6）

k\2y%2y%

⑵248户

/。%+&（必+%）+36_产2*2+3

（2）由于NRAjNnZ/BAM,所以tan/BAN=tan2/5A|M=2tanfBAM

l-tarr/BAAf

2k2k

又由于Ku-Sn/B&N,所以一42="；—7T，即％2=,2'i，口）

I—K.K.—1

将修=-3年代入口）得，-3kl=：匕1,

rvjJL

由于〃在X轴上方，所以占=弓，所以直线"4方程为y=

x+2）,

联立C与直线M4方程，消去〉得，丁一8%—20=0,

解得x=10或x=-2（舍），所以加（10,4石上

代入x=（y+4,得f=@,所以直线MN方程为x=@y+4,

22

联立C与直线MN方程，消去x得，5y2一16Gy-48=0,

解得y=4V3或y=—，个-

所以AMN的面积为—%|=3乂6乂W6=1，^.

法二:

2a=4

-----a=2v2v2

（1）由题意得《16）,2c/7=0>«厂，，双曲线。的方程为二一2-1.

21\b-=276b=4242

设MN方程为x=冲+4,M（芯,％）,N（w，%），A（-2,0）,A,（2,0）,

x—my+4

-2）/+8my+12=0,m2H2,A>0,

x2-2y2=4

Xj+2x2-2

%%+2_%（，孙+6）殴%+6%

K々—2y,（机上+2）乂，盯，］%+2（乂+）2）-2%

12c\2m/

m-—+6%

也二2-------=-3

12—16m-Amc-

“工+—一2%--2-2%

m-2

hctan26

⑵设=由7=一3=5=3o

.----2,=3=tan^=—AM方程:x=6y-2,

l-tan26>3n

x「2nV-4y/3y=0ny=4石

x-2y=4

x=--y+2

同理联立〈3=>丫2=-

f一2y2=4'

.c_1AI|_o248726

-S4MN=耳，6♦-=3♦---=--一

22.【解析】法一:

2

(1)由于/，(x)=x_K+a,x〉0,

①当a?；时，/'（xROJ（x）在（0,+。）上递增；

②当a＜；时，由/'（x）=0得，%=匕字］,/=匕牛且，

i）当aW0时，为＜0,x2＞0,

当xw（O,X2）时，/r（x）＜0；当xw（x2，y）时，/,（x）＞0,

所以/（X）在（0,々）上递减，在（%2,+8）上递增.

ii）当0＜。＜2时，0＜玉＜k2，

4

当%«0,%）口（工2，+8）时，/'（力＞0；

当xw（国，巧）时,/,（x）＜0,

所以/（x）在（0,内）上递增，在（西,々）上递减，在（天,+8）上递增.

（1+4a）（］+"_4a、

综上，当aWO时，单调减区间为0,一三——，单调增区间为——-——,+e；

\2）\2

\（］_4a1+Ji_4a）