广西柳州市2023届高三第三次模拟数学（理）试题（含答案解析）

广西柳州市2023届高三第三次模拟数学（理）试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人={-1,1,2},B={x|x-l>0},则Au3=（）

A.{1,2}B.[l,+oo）C.[—1,-Ko）D.11<J[1,+OO）

2.在复平面内，复数z=」（i为虚数单位）的共辗复数对应的点位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.世界人口变化情况的三幅统计图如图所示.

世界人口变化情况统计图2050年世界人口分布预测图

年份

2050年世界人口预测图

及大洋洲

下列结论中错误的是（）

A.从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加

B.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多

C.1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢

D.2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平

4.某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进

行独立性检验，经计算得校=/八八听咐\人,\=5.879,临界值表如下：

a0.150.100.050.0250.010

%2.0722.0763.8415.0246.635

则下列说法中正确的是：()A.有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与

性别无关”

B.有99%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关“

C.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有

关,，

D.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无

关”

5.2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会

堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近

平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从

第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为()

A.23B.25C.27D.29

对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉

斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽

利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知=0.3010,lg3«0.4771,

设N=45x9i°,则N所在的区间为()

A.(10",10'2)B.(10,2,1013)C.(10l3,1014)D.(1014,1015)

试卷第2页，共6页

8.已知且可卜+?)=38$2。，则sin2a=()

2115

-

A.3-B.6-3-D.6-

9.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成

的(如图).在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，

假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆

锥中需总时长为1小时，当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的;时，所需时间为()

A.g小时B.(小时C.段小时D.蔡小时

10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两

个全等的直角三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()

11.过双曲线M：的左顶点/作斜率为1的直线/,若/与双曲线M的

两条渐近线分别相交于8、C,且BA+8C=O,则双曲线M的离心率是()

A.V10B.75C.巫D.亚

32

12.已知〃x)=x+eT,g(x)=x"-alnx(a<0),若/(x)2g(x)在xw(l,+oo)上恒成

立，则实数。的最小值为()

A.—2eB.-eC.—>/eD.—

2

二、填空题

13.向量a=。,一2),6=(—1,0),^(a-b)1(Aa+b),贝1」几=.

14.在平面直角坐标系中，抛物线y2=-8x的焦点为尸，准线为/,尸为抛物线上一点,

过点P作交准线/于点4若|P4=|AF|,则OP的长为.

15.己知数列｛%｝满足q=l,%=2,«„+2-«„=(-1)"+2,则数列｛q｝的前30项和为

16.已知A(—1,0),8(3,0),P是圆。：f+y2=49上的一个动点，则sinNAPB的最

大值为•

三、解答题

17.随着中国实施制造强国战略以来，中国制造(Madeinchina)逐渐成为世界上认知

度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制.某企业从生产的一批产品

中抽取40件作为样本，检测其质量指标值,质量指标的范围为［50,100］,经过数据处

理后得到如下频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数(结果精确到01);

(2)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在［50,60)和［90,100］的两组中抽取2

件产品，记取自［50,60)的产品件数为求J的分布列和数学期望.

18.如图，在四棱锥中，%_L底面ABC。，AD//BC,AB1BC,弘=">=4,

(1)证明：平面PC£>_L平面PAC；

试卷第4页，共6页

(2)求AO与平面PC。所成角的余弦值.

19.设的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知.ABC的面积为主8,且

2

cosB_b

cosC2a-c

⑴求5

(2)若AM=2MC，求5M的最小值，并判断此时ABC的形状.

20.已知函数/(x)=2sinx-ca,a£R.

(1)当。=1时，求g(x)=/(x)-ln(x+l)在区间0弓上的最小值；

(2)证明：sin—+sin—Fsin—FL+sin—>In---(n>1nGN).

234n2

21.椭圆G：£+』■=l(a>6>o)经过点E(l，l)且离心率为也；直线/与椭圆G交于/，

a"b~2

B两点,且以AB为直径的圆过原点.

⑴求椭圆C1的方程;

(2)若过原点的直线“与椭圆C1交于C,"两点，且OC=r(Q4+O2),求四边形ACBO面

积的最大值.

x=-l+V5cos。

22.在平面直角坐标系，中，已知曲线C的参数方程为(。为参数),

y=l+&sine

以原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

⑵设射线4：。=兀(夕20)和射线4：，=5+。(。20,0<。<方)分别与曲线(：交于人、B

两点，求.4OB面积的最大值.

23.已知4?C对应的三边分别为“，b,c.

⑴若x,y,z是正实数，求证：—+<+CJ"+"c),当q=2=£时，等号成立;

xyzx+y+zxyz

ab、3

(2)求证:+----+---->-.

a+bb+cc+a2

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】直接根据集合并集运算的定义进行求解即可.

【详解】已知A={-1』,2},B={x|x-l>O}={x|x>l),

所以Au8={x|x=_1或xNl}.

故Ai|8={-1}［1,+8).

故选：D

2.D

【分析】先求出复数z,再求z的共辗复数，即可判断.

ii(l-i)1i

［详解］Z=-=.w..x=-+-.

l+i+-1)22

所以复数Z的共朝复数I=对应的点在第四象限.

故选：D

3.C

【分析】结合图像逐一辨析即可.

【详解】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确：

由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确：

由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确:

三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C错误.

故选：C.

4.C

【分析】根据独立性检验的方法即可求解.

n(ad-bc)~

【详解】由题意可知，Z2»5.879>5.024,

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有

关

故选：C.

5.C

【分析】根据题意转化为等差数列问题，应用等差数列通项公式和前“项和公式，基本量运

答案第1页，共15页

算即可求解.

【详解】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为%,首项为4,公差

为d,前”项和为S“，则d=2,5|0=180,

10x910x9

因为510=104+下式”=104+与3*2=10q+90=180,所以％=9,即得

aw=at+9d=9+9x2=27.

故选:C

6.C

【分析】利用函数奇偶性及特殊点、特殊值即可.

【详解】因为〃”=(高-ijsinx定义域为R,关于原点对称,

所以f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，故排除选项B、D；

当x>0时，令f=卜nx=0可得工=0或x=E(keZ),

所以x>0时，两个相邻的零点为x=0和x=Jt,

当0<x<?t时，-^―-l<0,sinx>0,『(x)=f7^T-l]sinx<0,

1+e'U+eJ

故排除选项A,

故选：C.

7.B

【分析】只需计算IgN的值即可解决.

【详解】计算lgN=lg(45x9,0)=101g2+201g3»l2.5520,对选项中的区间端点值同样取以

10为底的对数值，可知B正确.

故选：B

8.A

【分析】利用诱导公式和商数关系展开后，然后由和差公式可得.

【详解】因为tan(a+^)=3cos2a

答案第2页，共15页

.,兀、

sm(a+—)

所以--------=3sin(2a+—)=6sin(a+—)cos(a+—)

cos/(a+—兀)、244

4

.(I口一”7Tf7t3K]./兀、c

由ac0n,彳，所以a+;，二-,sm(a+-)>0

<2J4<44J4

所以cos?(a+；)=」,BPcosa-sina)2=—

46v226

112

所以—(l-sin2a)=—,即sin2a=±

263

故选：A

9.C

【详解】设圆锥沙子漏完时圆锥底面半径为凡高为/?,圆锥体积为：v=9"

上方圆锥中沙子漏至圆锥高度;时，上方圆锥底面半径为q,高为《，剩余沙子体积

V.=-x-nR2h

|327'

V.

此时还剩余时间为」xl=_L小时，沙漏流逝时间为筹小时.

V2727

故选：C

10.D

【分析】讲立方体放在长方体中进行还原，根据体对角线得出外接球半径，最后算出外接球

表面积.

【详解】在长为4、宽为2、高为2的正方体还原上述儿何体如下图所示:

该几何体为一个三角锥形，外接球半径为R=1"t?/42=瓜,

2

该外接球表面积为：S=4TI/?2=24K.

故选：D

11.A

【分析】由题意易得直线/的方程及双曲线的渐近线方程，设B（x，y）,C（七,月）,联立方程,

利用韦达定理求得士+匕,中2，再根据3A+8C=0，求得XM，进而可求得〃，再根据双

答案第3页，共15页

曲线的离心率公式即可得解.

【详解】由题意A(-1,O),则直线/的方程为y=x+i,

22

双曲线“：/-3=1的渐近线为丁-}=0,

设网内,X),。®,%),

y=x+\

联立,/，消y得1=0,

“F=°

△=4+4伊-l)>0

由，,')，得且匕2片0,

h2-\^0

21

则占+W=时居当=一,，

所以X1+%=-2为々,

由BA+5C=0.得(_1_%,_凶)+仁一玉，％一凶)=0，

所以-1+々-2占=0,所以%=2占+1,

则办+2%+1=—2与(2%+1),解得％=一；或玉=—1(舍去)，

所以工2=；，

21

贝lJx+x,=工^--=->解得/=9,

所以《=早=而.

故选：A.

12.B

【分析】/(x)>^(x)<=>-x-e-t<a\nx-xa<=>lne-v-e^<\nxa-xa构造函数

h(t)=\nt-t(0<t<l)9求导判断单调性，从而得到/NeT,即。之丘了'=-4，再构造

Inx

Y

函数尸。)=-「。>1),求导判断单调性得到最大值，从而问题可解.

Inx

【详解】f(x)>g(x)<=>-%-e~x<a]nx-x('<=>lne-v-e-A<\nxa-xa,

即Inxa-xa>\ne-'-在x£(L”)上恒成立.

易知当X£(L+°0)M<0时，0<x"<l,0<e-x<1.

答案第4页，共15页

令函数力⑺=lnfT(O<f<l),则〃⑺函数力⑺在(0,1)上单调递增，

故有x">e-S贝I」。之log,e-r=在xw(l,+<x>)上恒成立.

Inx

令产(%)=一户。>1),则F'(x)=：亭,

Inx(Inx)

令尸(x)>。,HPl-lnx>0,解得l<x<e,

令尸(x)<o,即1-lnxvO,解得x>e,

所以F(x)=在(l,e)上单调递增，在［e,R)上单调递减，

Inx

所以尸“)max=P(e)=-e,

所以a》-e,即实数。的最小值为-e.

故选：B

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及

数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

13-I

【分析】先求出a-b与/la+6的坐标，再利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.

【详解】向量：=(L-2),^=(-1,0),

所以a-6=(2,_2),(/la+4=(2_l,_2/l),

又因为(a_6)_L(2a+。)，

所以(a-Z?)—(/la+%)=0,gp2(/l-l)-2x(-2/l)=0,

解得】=；，故答案为提

【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：(1)两向量平行，

利用不%-工2%=。解答；⑵两向量垂直，利用痞+乂%=0解答.

14.2历

【分析】由抛物线的定义得出△出/是等边三角形，再由定义得出点尸坐标，进而由距离

公式求解.

【详解】不妨设点尸在第二象限，由抛物线定义可得|「耳=|必|,又|Pq=|AF|,

答案第5页，共15页

所以△/<4尸是等边三角形.所以NAFO=60。，则归川=恒曰二［=

2

贝|J4=-8+2=—6,yp=,6x8=4G,贝ij|QP|=J48+36=2-721.

故答案为：2历

【分析】根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前

30项和.

【详解】当〃为奇数时，”“+2-4,=1，｛4,1｝是首项为1，公差为1的等差数列；

当〃为偶数时，all+2-a„=3,｛为“｝是首项为2,公差为3的等差数列；

§30=(4+«3+--+029)+(02+<74+",+030)

(1+15)x15(2+44)x15

2―

故答案为：465

16.1

13

【分析】设PAB外接圆半径为R,由正弦定理可得，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O

相内切时，sinNAPB最大.

【详解】设E4B外接圆半径为R,由正弦定理，四=2Rn四1=sin/APB，

sinNAPB2R

当外接圆半径最小，即外接圆与圆。相内切时，sin4P8最大.

设」尔外接圆圆心为"，由题可得其在中垂线上，可设其坐标为：(l,x).

则R=|AM|=,4+/,\MO\=V1+%2,又圆M与圆。相内切，则圆心距等于半径之

差，则J1+%2=7->/4+X2，

答案第6页，共15页

等式两边平方并化简后可得：V4+X2=y.

即.PAB外接圆半径为R的最小值为半.

网_J__7_

则此时sinNAPB最大，最大值为方=52=13.

【分析】(1)根据频率分布直方图中平均数、中位数计算规则计算即可；

(2)首先求出样本中质量指标在［50,60)、［90,100］中的产品数，依题意可得J可能的取值

为0,1,2,求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望.

【详解】(1)设质量指标值的平均数为元，中位数为。，

则T=55x0.15+65x0.25+75x0.3+85x0.2+95x0.1=73.5,

因为(0.015+0.025)x10=0.4,(0.015+0.025+0.03)x10=0.7>0.5,所以中位数。位于

［60,70)之间，

贝I］0.4+(“-70)x0.03=0.5,解得a。73.3；

(2)样本中质量指标在［50,60)的产品有40x10x0.015=6件，质量指标在［90,100］的有

40x10x0.01=4件，

则4可能的取值为0,1,2,

相应的概率为：PQ=O)=鲁=4=2，

|()I1J

答案第7页，共15页

*=八=型1=*=&HD口="2

（）（44515’（-）C；o45

3

所以随机变量J的分布列为

4012

281

P

15153

所以随机变量4的期望E⑷=0x|+喋+2x；］.

18.（1）证明见解析

⑵半

【分析】（1）通过勾股定理，证明出DCJ•平面PAC,再根据面面垂直定理求证即可.

（2）所以以AS,A。，AP方向分别为x,y,z轴建系，利用直线方向向量与平面法向量

关系求解线面角.

【详解】（1）口相上⑶。，BC=1,AB=^,

由勾股定理得：AC=7AB2+fiC2=Vl2+（V3）2=2,NAC8=（

ACD中，由余弦定理：CD2=AC2+AD2-2AC-ADcos-=4+\6-2x2x4x-=\2,

32

UAC'+CD1=4+12=16=AD2,UDCVAC,

又因为24,底面ABC。，DCu底面ABC。，所以A4LQC,

又因为ACc以=A,GDCl^PAC,

£>Cu底面PC。口平面PDCJ•平面PAC；

（2）作A〃，PC,垂直为H,连结

因为平面PDC1■平面PAC,且平面尸DC平面必C=PC

所以AH_L平面PCD,

所以“汨为AO与平面PCO所成的角,

-“，，PAAC4x24

△叽中，AH=k~"⑻

sinZAD//=—=^xl=—,

DA4545

答案第8页，共15页

所以直线AO与平面PC。所成角的余弦值为孚.

另解：(1)因为AO〃5C,AB1BC,所以43,4),且底面ABC。，AB,4)u底

面A8CO,

所以弘d.AB,PA1AD,所以以43,A。，AP方向分别为x,y,z轴建系如图，

则A（0,0,0）,8（万0,0）,C（^,l,0）,£＞（0,4,0）,P（0,0,4）,

设平面PC。的一个法向量为机=（x,y,z）,

CP=（-^,-1,4）,CO=（-石,3,0）,AP=（0,0,4）,

CP-m--y/3x-y+4z=0「i

所以｛r,令x=6，则y=i,z=l.所以机=（

CD-tn=—V3x+3y=0

设平面PAC的一个法向量为〃=（。,ac）,

CP-n=-y/3a-ft+4c=0「

所以《，令A4=1,则匕=一百，C=0,所以〃=

AP'n=4c=0

所以，"•〃=石-石=0,所以平面PCD_L平面PAC,

(2)因为姑_L底面ABC。，45u底面A8C£>,所以4J_4),且PAAB^A,

PA,45u平面/^4B,所以451.平面所以A£>=(0,4,0)为平面K4S的一个法向量,

设直线4。与平面PCD所成角为。,

答案第9页，共15页

所以sin*k°s〈A。,附卜周=焉=9，

所以直线A£＞与平面PCO所成角的余弦值为平.

19.(l)y

(2)2,是直角三角形

|TT

【分析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦可得cos8=「，从而可求8=；.

(2)根据面积可得改=6,根据向量关系结合数量积、基本等式可求IBM|取得最小值2,

此时sinC=2sinA,从而可求A,故可判断三角形形状.

【详解】⑴由条件得：(2a-c)cos8=/?cosC,

由正弦定理，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

即2sinAcosB=cos5sinC+sin3cosC,所以2sinAcos4=sin(8+C),

因为A+5+C=/r,所以sin(4+C)=sinA,即2sin4cosB=sinA,

|TT

因为A为三角形内角，故sinAwO,所以COS8=5，因为0<5〈乃，所以8=

1f

(2)由(1)WS^ABC=^acsinB=ac=~~~解得〃c=6,

因为8A/=+=84+§(BC-8A)=§a4+§8C,

所以|刎2=?84+28。［=-6^+-BABC+-BC'=-(c2+2ac+4a2}

U3J9999、7

=—(c2+4a2+2ac)>•(2-j4a2c2+lac)=".(4ac+2ac)=gac=4,

当且仅当c=2a即a=6,c=26时，取得最小值2,此时sinC=2sinA,

又因为C=4-A,所以sin(与-A1=2sinA,整理得tanA=@,

因为0<A<=,所以A=J,所以C=g,所以一ABC是直角三角形.

362

20.(1)0

(2)证明详见解析

答案第10页，共15页

jr

【分析】(1)利用导数判断出g(x)在区间0,-上的单调性，从而求得最小值.

(2)先证得sinx>ln(x+l)在区间0,上恒成立，进而证得要证明的不等式成立.

【详解】(1)g(x)=2sinx-x-ln(x+l)(0Vx4^),

g，(x)=2cosx-l———,g<0)=0,

令v(x)=-2sinx+—^\0<x<-］,v'(x)=-2cOsx——^<0,

(x+1)-k6)(x+1)

jrrr

所以V(x)在区间o,-上单调递减，即”'(x)在区间0,-上单调递减.

〃，图=一1+高<0,/(0)嘘卜0,

故存在％e(0高使/(%)=0,

所以“(x)在区间(0,%)单调递增，在区间［。谓)单调递减，

麻)3d跖>0，所以在区间/)，g'(x)>0,

6

所以g(x)在区间0弓上递增，最小值为g(o)=o.

(2)由(1)可知8(力=24(1彳一了一1!1(》+1)2：8(0)=0在区间［0,；上恒成立(；<.)，

所以2sinx-%21n(x+l),

对于函数力(x)=x-ln(x+l)(0Wx(：］,//(0)=0,/?7x)=l———=-^->0,

I27x+1x+l

所以/：(%)在区间［*］上单调递增，

所以当0vx<；时，/?(x)>0,即x-ln(x+l)>0,x>ln(x+l),

所以2sinx2x+ln(x+l)>ln(x+l)+ln(x+l),

即sinx>ln(x+l)在区间0,1上恒成立,

J9fWsin—+sin-+sin—+L+sin—

234n

答案第11页，共15页

>ln-+ln-++ln但=ln34n+1=14

23n23n2

【点睛】关键点点睛：不等式证明的可考虑综合法以及分析法，本题第2小问是分析法.在

导数运用的题目中，第一问的结论可能会用到第二问.特殊不等式(常见不等式)%>ln(x+l)

等，可以在平时做题中积累，解答过程中需要利用导数进行简单的证明.当一次求导无法求

得函数的单调性时，可考虑利用多次求导来进行求解.

21.⑴《+支=1

33

(2)26

【分析】(1)根据椭圆过的点以及椭圆的离心率，可列出等式，求得即得答案；

(2)分类讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立

椭圆方程，得到根与系数的关系式，根据条件求出参数之间的关系式，进而表示出四边形

的面积，进行化简，可求得答案.

【详解】⑴椭圆=1(“>%>。)经过点以1,1),5+城=1，

椭圆的离心率为也,则/=3,即/=»,

2

即斤1+31=1，解得/=3,从=；3,

所以椭圆G的方程为工+支=1.

33

(2)当直线AB斜率不存在时，设以48为直径的圆的圆心为G。)，

则(XT)2+y2=»,则不妨取AQJ),故匚+生=1,

33

解得/=土1,故A8方程为x=±l,

直线CO过A8中点，即为x轴，得|4同=2,|CD|=2>/3,

故SACM=《A叫.|8|=26；

直线A8斜率存在时，设其方程为丫=依+机，A区,%),8(々,必)，

f+2寸=3

联立｛",nJW(2A:2+l)x2+4knvc+2nr-3=0,

y=kx+m

则A=4(6产-2帚+3)>0口,

答案第12页，共15页

4km2m2-3

Xi+X-)_i,X,X-)—z□,

2炉+11-2*2+1

以A8为直径的圆过原点即OA-OB=XyX2+y,y2=+的+m)(kx2+m)=0»

2

化简可得(%?+1)玉”2+攵6(*+x2)+m=0,

将□□两式代入,整理得(公+1)(2"-3)+切7(-4切。+irr(2k2+1)=0,

即加=F+1□,

将□式代入口式，得八=4(4/+1)>0恒成立，则「wR,

设线段A8中点为M,由OC=«OA+O3)=2foM,

不妨设r>0,得sACBD=2soACB=4fsOAB,

又□s.*=；MlN-々I=\m\R；］l，nSACBD=4/帆堂］:，

又由。C=f(0A+08),则C点坐标为《(%+/)/(%+%))，

/、4km

t\Xy+42)=------2----(22I------2------

化简可得-2：+1,代回椭圆方程可得雪匚=3即一，户(2々：1)

......2烧，2/