八年级数学轴对称与将军饮马问题练习（含答案）

轴对称与将军饮马问题专题练习

一、两定点一动点

1、如图，直线/外不重合的两点A、B,在直线/上求作一点C,使得4C+BC的长度最

短，作法为：①作点B关于直线/的对称点8,.②连接A夕与直线/相交于点C,则点C

为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）.

A.转化思想

B.三角形的两边之和大于第三边

C.两点之间，线段最短

D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

2、如图，MN是正方形ABC。的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，PC+PD

).

C.60°D.无法确定

3、如图，AABC是等边三角形，是BC边上的高，£是AC的中点，P是上的一个

动点，当PC与PE的和最小时，NCPE的度数是（）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

4、如图，PQ为△A2C边上的两个定点，在2C边上求作一点M,使PM+QM最短.（保

留作图痕迹，不写作法，无需证明)

5、如图，解答下列问题:

①画出△ABC关于)，轴对称的图形△ABICI.

②在x轴上找出点P,使得点P到点A、点B的距离之和最短.(保留作图痕迹)

6、在平面直角坐标系中，已知点A(2,6),B(4,0),在y轴上求一点尸，使AA8P

的周长最小.

(1)在坐标系中画出4、B两点的位置.

(2)画出点P的位置.

(3)求出点P的坐标.

7、在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形4BC(顶点是网格线

交点的三角形)的顶点A,B,C的坐标分别是(-4,6),(-2,2),(-1,4).

(1)请画出△ABC关于y轴对称的其中A,B,C的对称点分别为4,

Ci.

(2)请在y轴上求作一点P,使APBC的周长最小.

8、如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分

(1)画出AAOB关于直线轴对称后图形△A'O'B'.

(2)点P在x轴上使△APB周长最小时，在图中画出点P.(请保留作图痕迹)

(3)求出AAOB的面积.

二、一定点两动点

9、如图，ZAOB=a,点P是NAOB内的一定点，点M、N分别在。4、。8上移动，当

△的周长最小时，NMPN的值为（）.

4.90°+〃.B.90°+-G.

2

C.180°-iz.D.1800-2a.

10、如图，点尸是NAOB内任意一点，OP=6c〃?，点M和点N分别是射线0A和射线08

上的动点，△PMN周长的最小值是6CT»,则NAOB的度数是（）.

11、如图，在四边形ABC。中，ZA=ZC=90°,ZABC=a,在A8,8c上分别找一点E、

F,使ADEF的周长最小，此时，NEDF=（）.

B.90°--a

2

D.1800-2a

2

12、如图，点尸关于04、0B的对称点分别为C、D,连接CZ）,交0A于M,交0B于

N,若C£>=18c〃?，则△PMN的周长为cm.

13、如图，点P在NA08的内部，点M、N分别是点P关于直线04。8的对称点，线

段MN交。4、。8于点E、F,若APEF的周长是20cm,则线段MN的长是cm.

14、已知：如图，点P为NAO8内一点，分别作出P点关于OA,。8的对称点Pi,Pi,

连接PP2,交OA于点"，交于点N,PIP2=15,则的周长为;若

Z(9=40°,则NMPN='

P2

15、如图，等腰△ABC底边8c的长为4a”，面积是12cm2,腰A8的垂直平分线E尸交AC

于点F,垂足为E,若M为BC边上一动点，D为EF上一动点,则BC+MD的最小值为

______cm.

16、如图，已知点P在锐角/AOB内部，ZAOB=a,在08边上存在一点。，在0A边上

存在一点C,能使PD+OC最小，此时NFDC=.

•p

D

17、如图，在四边形ABC。中，NB=/D=90°,ZC=65°,M、N分别是边BC,CD上的动

点，当△4MN的周长最小时，NMAN=

18、如图，。是NABC内一点，80=4,ZABC=30°,设M是射线BA上一点，N是射线

BC上一点，则^MND的周长的最小值是

19、如图，已知钝角三角形ABC的面积为20,最长边48=10,8。平分NABC,点、M、N

分别是BQ、BC上的动点，则CM+MN的最小值为

20、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6,ZACB=75°,AO_LBC于。，点M、N分别是线

段AB、线段AO上的动点，则MN+BN的最小值是

21、如图，在锐角AABC中，AC=6,4ABC的面积为15,/8AC的平分线交BC于点

D,M,N分别是A。和4B上的动点，则BM+MN的最小值是.

22、如图，ZAOB=30°,0c=2,在。4上找一点M,在上找一点N,使得CM+MN最

小，求出此最小值.

A

23、如图，已知点A是锐角/M0N内的一点.

(1)按要求画图：(不写作法，尺规作图，保留作图痕迹)

①分别作点A关于0M,0N的对称点4,A”.

②试分别在0M、ON上确定点B,点C,使AABC的周长最小.

(2)若NM0245。时，试判断△ABC的形状，并说明理由.

24、如图，ZAOB=30°,点尸是乙408内一点，P0=8,在N40B的两边有点R、Q（均不

同于。），求APQR周长的最小值.

25、某班举行晚会，桌子摆成两条直条（如图中的A。，8。），A。桌面上摆满了桔子，

8。桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮

助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.

26、如图，在mZiABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=\O,A。是N8AC的平分

线.若匕。分别是4。和4c上的动点，求PC+P。的最小值.

轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习

一、两定点一动点

1、答案：D

分析：

解答：•••点B和关于直线/对称，且点C在/上，

CB=CB',

又所交/于C,且两条直线相交只有一个交点，

••.C夕+CA最短，即C4+C8的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之

间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边.

2、答案：B

分析：

解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴，

：.PD=AP,

当尸C+PD最小时，即点P位于AC与的交线上，

此时/PCD=45。.

3、答案：C

分析：

解答：当PC+PE最小时，P在BE与的交点位置，

；△ABC是等边三角形，

，ZACB=60°,

:。、E分别是边BC,AC的中点,

•••P为等边△ABC的重心，

：.BELAC,

,11

NPCE=-ZACB=-x60°=30°,

22

ZCPE=90°-ZPC£=90°-30o=60°,

选C.

4、答案：作图见解答.

分析：

解答：如图所示：

5、答案：作图见解答.

分析：

解答：所作图形如图所示:

(2)画图见解答.

(3)P(0,4).

分析：

(3)过点4作4川_1_》轴于M,

VA(2,6),

；.M(2,0),AM=6,

又,：B(4,0),

.••点8关于y轴的对称点夕(-4,0),

：.B'M=6=AM,

...为等腰直角三角形，

：.ZP'BO=45°,

：.△P'BO也为等腰直角三角形，

.*.B'O=PO=4,

：.P(0,4).

7、答案：(1)画图见解答.

(2)画图见解答.

分析：

解答：(1)关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反.

(2)作C关于y轴的对称点Cl,连接GB,交y轴于点P.连接尸8,PC,此时△P8C周

长最小.

8、答案：(1)如图所示:

(2)如图所示:

(3)3.5.

分析:

(2)如图所示:

y

222

二、一定点两动点

9、答案：D

分析：

解答：分别作点P关于。A、。8的对称点P、Pi,连接尸卜P2,交。4于

交08于N,则0Pi=0P=0P2,N0P\M=/MP0,

ZNP0=ZNPi0,

根据轴对称的性质可得MP=PiM,PN=PW,

二△PMN的周长的最小值=21凡，

由轴对称的性质可得/POP2=2ZA0B=2a,

.•.等腰40PiP2中，N0P1B+/OP2Pl=180。-2%

NMPN=Z0PM+Z0PN=Z0P\M+ZOP2M

=/0P|P2+/0P2Pl

=180°-2a,

分析：

解答：分别作点P关于。8,0A对称点C、D,

连CD,分别交04、0B于点M、N,连OC、O。、PM、PN、MN,

：.PM=DM,OP=OD,ZCOB=ZPOB,NDOA=NPOA,

/.OC=OP=OD,ZAOB=；ZCOD,

,/MMN周长的最小值是bcm,

:.PM+PN+MN=6,

：.DM+CN+MN=6,BPCD=6=0P,

，OC=OD=CD,即4OCD为等边三角形,

ZCOD=60°,

，ZAOB=30°.

分析：

解答：如图，作点。关于直线AB的对称点G,作点。关于直线BC的对称点H,

连接GH交AB于点E,交BC于点F,则此时△DEF的周长最小，

VZDAB+ZABC+ZDCB+ZADC^360°,ZDAB=ZDCB=90°,NABC=a

：.ZADC=3600-ZDAB-ZDCB-NABC=180°-a,

ZG+Z//=180°-ZADC=a,

:./EDF=ZADC-(ZADE+ZCDF)=180°-2a.

选D.

12、答案：18

分析：

解答：根据题意点P关于04、。8的对称点分别为C、D,

故有例P=MC,NP=ND;

则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=18cm.

13、答案：20

分析：

解答：根据题意，EP=EM,PF=FN,

MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=4PEF的周长，

:.MN=20.

14、答案：15;100

分析：

解答:连接。P,OP\,OP1,PP1,PP2.

由对称可知，MPi=MP,NP=NPz,

APMN的周长为MN+MP+NP=MN+MPI+NP2=PIP2=15.

由对称可知，ZOPM=ZOPtM,ZOPN=ZOPiN,

：.NMPN=ZOPM+ZOPN=ZOP\M+ZOPW=180°-2ZAOB=100°.

15、答案：6

分析：

解答：连A£>,过A作ANJ_BC于N,

是A8的垂直平分线,

：.AD=BD,

：.DB+DM=AD+DM,

在AAOM中，AD+DM>AM,

：.(AD+DM)min=AM,

又M为BC上动点,

.•.当时最小，即为AN,

V5a4BC=12ew2,BC=4cm,

AN=2x12-T4=6C/M.

16、答案：2a

分析：

解答：过P的作关于。B的对称点尸，作产CLOA于C,交0B于D,

此时PD=PD',根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P'C最短.

■:NPDB=P，DB,NCDO=NFDB>

：.ZCDO=ZPDB,

"：P'C1.0A,ZAOB=a,

：.ZCDO=90°-a,

：.ZPDC=180°-2(900-a)=2a.

17、答案：50°

分析：

解答：作A关于BC的对称点为E,作A关于CO的对称点F,

连接EF交BC,CD于点M,N.

此时AMN的周长就是最小的时候.

设NNAD=/F=a,NE=NBAM=0,

VZB=ZD=90°,ZC=65°,

，ZBAD=a+/i+ZMAN=\15°.

'：2a+2/3+ZMAN=180°,

."+£=65°.

:.NMAN=/BAD-（a+在）=50°.

18、答案：4

分析：

解答：作。关于BA,BC的对称点E,F.连接BE,BF.则当M,N是CD与BA,8c的

交点时，AMNC的周长最短，最短的值是E尸的长.

连接BE、BF,

,:D、E关于BA对称，BE=BD,

：.NABE=NABD,

同理，NFBC=NDBC,BF=BD,

.../E8尸=2/ABC=60°,BE=BF,

.•.△BEF是等边三角形.

:.EF=BE=BD=4.

故答案是：4.

B………1、C

19、答案：4

分析：

解答：过点C作CELAB于点E,交8。于点M,过点M作MN工BC于N,

平分/ABC,ME_LA8于点E,MNLBC于N,

:.MN=ME,

，CE=CM+ME=CM+MN的最小值.

•••三角形ABC的面积为20,A2=10,

1

二一xl0xCE=20,

，CE=4.

即CM+MN的最小值为4.

故答案为4.

A

分析：

解答：如图：CM即为最短距离.

ZBAC=30°,CMLAB,

c

21、答案：5

分析：

解答：如图，作N关于A。的对称点M,连接MV,

作BATL4c于AT,交于Ml

BM+MN=BM+MNWBV',

.•.当M与M,N与N”重合时，BN”最小,

"：S^ABC=--ACBN,,=15,AC=6,

2

解得BM，=5,

.♦.BM+MN的最小值为5.

22、答案：6

分析：

解答：如图所示，易得CM+M论百