精讲精炼（必修第二册）6.2.1平面向量的线性运算

6.2.1平面向量的线性运算(精讲)

思维导图

定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法

-<>

适用范围任意向量

三---------

角

形

法

则

口诀人首尾连、连首尾三角形法则

加-----<9-----------------------

法①两个向量一定首尾相连；

运②和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点;

算操作要点③当多个向量相加时，可以使用三角形法则

适用范簿"任意两个非零向量，且不共才"

行

平

边

四

法

形

则

本口诀Q起点相同连对角Q平行四边形法则

\①两个非零矗一定要有相同的始点；

②平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向量；

I③方法与步骤：

\第一步：先把两个已知向量a与b的始点平移到同一点；

平\操作要点°第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形

面

向定义人长度相等，方向相反的向量

量------------------------------------

的①零向量的相反向量仍是零向量

线相反向量②对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a=0

性

运枇庆a,向量，则a=-b,b=-a,a+b=0

算-----------------------------------------------

定义°求两个向量差的运算

实质向量加法的逆运算.利用相反向量的定义就可以把减法转化为加法.

减-------------------------------------------------------------------------

法

运

算

三角形法则八共起点，连终点，指向被减入三角加法则

定义规定实数人与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘

--------€)—

Ua|=RlliI当久〉0时，久a与a的方向相同

当MO时，4a与a的方向相反当久=0时，久：=0

数乘记作入a

运e------------------------------------------

算

律(入+入入入入加

TA.(jia)=(Ay)a,ii)a=a+ua•(a+6)=a+

常见考法

考点一向量的加法运算

【例1-1］（2021•全国•高一课时练习）已知向量箫,工如图,求作向量£+b+c.

【例1-2］（2021•全国•高一课时练习）化简：口8。+48;DDB+CD+BC;DAB+DF+CD+BC+FA-

【一隅三反】

1.（2021・全国•高一课时练习）化简.

WAB+CD+BC+DA.（2）（AB+MB）+（BO+BC）+OM.

2.（2021•全国•高一课时练习）如图，在.ABC中，。为重心，点。,E尸分别是2C,AC,A3的中点，化简下

列各式：

今

WBC+CE+EA；

(2)OE+AB+EA；

Q)AB+FE+DC-

3.（2021•全国•高一课时练习）如图，已知向量06、c,求作和向量a+6+c.

考点二向量的减法运算

【例2-1](2021•全国•高一课时练习)如图，已知向量。，b,求作向量

【例2-2](2021•全国•高一课时练习)化简下列式子：(l)NQ-PQ-NM-MP；

(2)(BA-BC)-(ED-EC).

【一隅三反】

1.(202卜山西临汾•高一月考)化简AB+CD-M3-CM=()

A.MDB.ADC.ACD.MA

2.（2021•河北邢台・高一月考）如图，在&ABC中，点。为AC上一点，贝I]A3-O3+£）C=（）

3.（2021・广东・江门市新会第二中学高一月考）（多选）下列各式结果为零向量的有（）

A.AB+CA+BCB.AB+AC+BD+CD

C.OA-OD+ADD.NQ+QP+MN-MP

考点三向量的数乘

【例3-1]（2021•全国•高一课时练习）化简：

⑴5（2a-26）+4（2b-3“）；

（2）6（a-36+c）-4（-a+6-C）；

（3）；（3a-2b）+5a-g（6a-9b）；

（4）（x-y）（a+/＞）-（%-y）（a-Z?）.

【例3-2】（2021•安徽・定远县育才学校高一月考（文））如图，解答下列各题.

E

d

D

e,

B

⑴用a,d,e表小DB；

（2）用5c表示QB；

（3）用a,b,e表小EC;

（4）用d,c表示EC.

.【一隅三反】

1.（2021・湖南•长沙市湘郡长德实验学校高一月考）化简

（1）5（2々-2人）+4（2人一3〃）；

（2）；（3〃一2匕）+5〃一；（6〃一9/7）

2.（2021・全国•高一课时练习XI）化简：5[2（2。+46）-4（526）].

1U1U1U

（2）已知向量为〃力,未知向量为羽y向量〃1满足关系式3x-2y=々,一4%+3y=6,求向量.

3.（2021•云南•罗平县第二中学高一月考）如图，四边形力中，已知AO=25C.

c

（1）用A8，AO表示。C;

3一

(2)若AEuZEB，DP=-DE,用AB，A。表示AP.

4.（2021・全国•高一专题练习）如图，在口。48中，延长A4至!JC,使/C=A4,在。8上取点D,使。2=,

DC与OA交点、为E,设。4=a,O2=b,用〃，6表示向量OC，DC.

B

考点四向量线性运算的实际运用

【例4T】（2021•全国•高一课时练习）如图，两条绳子悬挂一个重量为G的物体，已知每条绳子用力为4N,

两条绳子的夹角为90。，则6=

【例4-2］（2021•全国•高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c，贝Ula+b+cI

等于（）

A.0B.73C.V2D.272

【一隅三反】

1.（2021・全国•高一课时练习）一艘船在水中航行，水流速度与