2024-2025学年新教材高考数学空间向量的正交分解及其坐标表示3练习含解析选择性必修第一册

PAGE8-空间向量的正交分解及其坐标表示（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.假如向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则肯定有()A.a与b共线 B.a与b同向C.a与b反向 D.a与b共面2.(2013·石家庄高二检测)设向量a,b,c不共面,则下列各组向量可作为空间的一个基底的是()A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c}3.(2013·珠海高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是上底面对角线AC与BD的交点,若A1B1→=a,A1D1→=b,A1A.12a+12b+c B.12a-1C.-12a-12b+c D.-12a+14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CDD1C1的中心,且AF→=AD→+mAB→-nA.m=12,n=-B.m=-12,n=-C.m=-12,n=D.m=12,n=5.(2013·大理高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若A1B→=a,A1D→=b,A1A→A.-12a+12b+c B.12a+1C.12a-12b+c D.-12a-1二、填空题(每小题8分,共24分)6.如图,在空间四边形OABC中,已知E是线段BC的中点,G是AE的中点,若OA→,OB→,OC→分别记为a,b,c,则用a,b,c表示7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若EF→+λA1D→=0(λ∈8.(2013·金华高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则向量EF→的坐标为三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM→=2MC→,PN→=ND→,求满意10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).(1)试求向量EF(2)求证:EF∥BD1.11.(实力挑战题)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=2,DC=3,AD=1,E是DC上一点,且DE=1,连接AE,将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使得∠D1AB=30°,设AC与BE的交点为O.(1)试用基向量AB→,AE→,(2)求直线OD1与BC所成角的余弦值.答案解析1.【解析】选A.依据题意向量a,b与任何向量都共面,所以只有在a,b共线的条件下才有可能.2.【解析】选C.由已知条件及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.3.【解析】选D.结合图形,依据三角形法则和平行四边形法则计算得B1B1B→+BM→=A1A→+12(BA→+BC→)=-1【举一反三】若把条件A1A→=c改为A1【解析】如图,B1M→=B1A=-A1B1→=-A1B1→=-A1B1→+A1C→=-32A1B=-32a-12b+4.【解析】选A.AF→=AD→+DF→=AD=AD→+12DC→+12D∵DC→=AB→,∴m=12,n=-15.【解析】选A.

6.【解析】连接OE.OG→=OE→+EG→=12=12(OB→+OC→)-14=12(OB→+OC→)-14[(OC=12(OB→+OC→)-14(=14OB→+14OC→+12OA→=答案:12a+14b+7.【解题指南】通过向量的运算与代换,把EF→用A1【解析】如图,连接A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上,易知EF=12A1∴EF→=∴12A1D→+∴λ=-12答案:-1【变式备选】如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,且AA1→=a,AB→=b,AD→=c,且B1G→(1)A1(2)BG【解析】(1)A1C→=A1A→+AD→=-a+b+c.(2)BG→=BB1→+=BB1→+13(BA→+BC→)=8.【解析】由图易知E(1,1,12),F(0,12,0),∴EF→=(-1,-答案:(-1,-12,-19.【解题指南】解决本题可以结合图形,从向量MN→动身,利用向量的运算法则不断进行分解,直到全部向量都用AB→,【解析】方法一:如图所示,取PC的中点E,连接NE,则MN→=EN∵EN→=1=-12AB→,EM=23PC→-1连接AC,则PC→=AC→-AP→=∴MN→=-12AB→-16(AB→+AD∴x=-23,y=-16,z=方法二:如图所示,在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连接MF,则MN→=MF而MF→=23FN→=D=12DP=16DP→=16(∴MN→=-23AB→∴x=-23,y=-16,z=方法三:MN→=PN→-P=12(PA→+AD→)-2=-12AP→+12AD→-23=-23AB→-∴x=-23,y=-16,z=10.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量EF→,【解析】(1)∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,依据题意知{DA→,DC→,DD1→}为单位正交基底,设DA→=i,DC→=j,DD1→=kED→+DC→+CF→,ED→与DA1→共线,CF→与CA→共线,∴+DC→+μCA→=λ(DA→+DD1→)+DC→+μ(DA→-DC→)=(λ+μ)DA→+(1-μ)D∵EF⊥A1D,EF⊥AC,即EF→⊥A1D→∴EF→·A1D→又A1D→=-i-k,AC→整理得-(λ+μ)-λ=0,解得λ=-13,μ=23,∴EF∴EF→的坐标是(13,1(2)∵BD1→=BD→+DD1∴EF→=-13BD又EF与BD1无公共点,∴EF∥BD1.11.【解析】(1)CD1→=CA→+AD=EA→+BA→+AD1→(2)∵OD1→=OA→+=-12AB→-1BC→=又∵<AB→,AE→>=45°,<AD1→,AE→∴cos<OD1→,=-1又异面直线OD1与BC所成角的范围为(0,π2∴OD1与BC的夹角的余弦值为15【拓展提升】求解折叠问题的妙招——向