2025版新教材高中数学同步练习42蝗制新人教A版必修第一册

同步练习42弧度制必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．下列说法中，错误的是()A．半圆所对的圆心角是πB．长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度C．周角的大小等于2πD．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径2．750°化成弧度为()A．eq\f(25π,6)B．eq\f(14π,3)C．eq\f(11π,2)D．eq\f(17π,3)3．若α＝3，则它是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角4．将－1665°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A．－eq\f(5π,4)－8πB．eq\f(3π,4)－8πC．eq\f(5π,4)－10πD．eq\f(3π,4)－10π5．[2024·安徽宣城高一期末]已知扇形的半径为2，圆心角为45°，则扇形的弧长是()A．45B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2)D．906．[2024·浙江绍兴高一期末]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于()A.eq\f(π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．17．[2024·河北保定高一期末]扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为()A．1B．4C．4或1D．2或18．[2024·重庆铜梁高一期末](多选)下列给出的各角中，与－eq\f(2π,3)终边相同的角有()A．eq\f(4π,3)B．－eq\f(8π,3)C．eq\f(7π,3)D．eq\f(16π,3)9．(多选)下列命题正确的是()A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．在－4π～0范围内全部与eq\f(π,4)角终边相同的角为－eq\f(15π,4)和－eq\f(7π,4)D．第三象限角的集合为{α|π＋2kπ≤α≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}二、填空题(每小题5分，共15分)10．终边在直线y＝x上的角的集合是________．11．已知角α的终边与角β终边关于y轴对称，则α，β的关系是β＝________．12．[2024·河北邢台高一期末]已知某扇形的周长为27，其圆心角为1，则该扇形的面积为________．三、解答题(共20分)13．(10分)已知α＝1690°.(1)把α表示成2kπ＋β的形式，其中k∈Z，β∈[0，2π)；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈[－4π，－2π).14．(10分)[2024·河南南阳高一期中]时间经过2小时20分钟，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？关键实力提升练15．(5分)[2024·湖南永州高一期末]玉雕在我国历史悠久，玉雕是采纳传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺．某扇环形玉雕(扇环是一个圆环被扇形截得的一部分)尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕的面积为()A．2700cm2B．3500cm2C．4300cm2D．4800cm2[答题区]题号12345678915答案16.(5分)[2024·重庆巴蜀中学高一期末]已知某机械装置有两个相互啮合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿．假如小轮的转速为120转/分钟，大轮的半径为10cm，则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为________cm.17．(10分)已知扇形的圆心角为α，半径为r.(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值．同步练习42弧度制必备学问基础练1．答案：B解析：对于A，因为半圆的弧长为l＝eq\f(1,2)×2πr＝πr，所以其所对的圆心角为α＝eq\f(l,r)＝π，故A正确；对于B，长度等于半径的弦与弦的两端点到圆心的半径构成了等边三角形，易知其所对的圆心角为eq\f(π,3)，故B错误；对于C，明显，周角的大小等于2π，故C正确；对于D，因为圆心角α＝1，所以其所对的弧长为l＝|α|r＝r，即1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径，故D正确．故选B.2．答案：A解析：依据角度制转化弧度制公式得750°×eq\f(π,180°)＝eq\f(25π,6).故选A.3．答案：B解析：1rad≈57°，故α＝3rad≈171°，故α在其次象限．故选B.4．答案：D解析：－1665°＝－1800°＋135°＝－10π＋eq\f(3π,4).故选D.5．答案：C解析：因为圆心角的弧度数为eq\f(π,4)，所以扇形的弧长是eq\f(π,4)×2＝eq\f(π,2).故选C.6．答案：B解析：依据题意：作图如图所示，AB＝OA＝OB＝r，则△OAB为等边三角形，故∠BOA＝eq\f(π,3).故选B.7．答案：C解析：设圆心角为α，半径为r，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6,\f(1,2)αr2＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1,α＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2,α＝1)).故选C.8．答案：ABD解析：由题意可知，与－eq\f(2π,3)终边相同的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝－\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))，由此可得，k＝1时，α＝eq\f(4π,3)，即A正确；k＝－1时，α＝－eq\f(8π,3)，即B正确；α＝eq\f(7π,3)时，k＝eq\f(3,2)∉Z，所以C错误；k＝3时，α＝eq\f(16π,3)，即D正确．故选ABD.9．答案：AC解析：终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}，故A正确；由于角度制和弧度制不能混用，故B错误；全部与eq\f(π,4)角终边相同的角可以表示为{α|α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z}，则在－4π～0范围内，取k＝－2，－1，得α＝－eq\f(15π,4)，α＝－eq\f(7π,4)，故C正确；第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))，故D错误．故选AC.10．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z)).解析：直线y＝x为平分一、三象限的直线，取第一象限的锐角eq\f(π,4)，则与eq\f(π,4)终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}．11．答案：β＝π－α＋2kπ，k∈Z解析：因为角α的终边与角β的终边关于y轴对称，在一个周期[0，2π)中，α＋β＝π或α＋β＝3π，即β＝π－α或β＝3π－α，所以由周期性知β＝π－α＋2kπ，k∈Z.12．答案：eq\f(81,2)解析：设该扇形的半径为r，圆心角为1，则扇形的弧长l＝r.由已知可得l＋2r＝3r＝27，解得r＝9，则其面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×9×9＝eq\f(81,2).13．解析：(1)α＝1690°＝4×360°＋250°＝8π＋eq\f(25π,18).(2)∵α＝8π＋eq\f(25π,18)，设θ＝eq\f(25π,18)＋2nπ(n∈Z)，由θ∈[－4π，－2π)可得－4π≤eq\f(25π,18)＋2nπ<－2π，解得－eq\f(97,36)≤n<－eq\f(61,36)，∵n∈Z，则n＝－2，故θ＝eq\f(25π,18)－4π＝－eq\f(47π,18).14．解析：每经过1分钟，时针转了－eq\f(360°,12×60)＝－0.5°，分针转了－eq\f(360°,60)＝－6°，时间经过2小时20分钟，则时针转了－0.5°×140＝－70°，等于－70°×eq\f(π,180°)＝－eq\f(7π,18)，则分针转了－6°×140＝－840°，等于－840°×eq\f(π,180°)＝－eq\f(14π,3).关键实力提升练15．解析：如图，设∠AOB＝α，OB＝r，由弧长公式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60＝αr,120＝α（r＋30）))，解得α＝2，r＝30，设扇形COD，扇形AOB的面积分别为S1，S2，则该玉雕的扇面面积约为S1－S2＝eq\f(1,2)×120×(30＋30)－eq\f(1,2)×60×30＝2700(cm2).故选A.16．答案：15π解析：由题意知，小轮每秒转过的圈数为120÷60＝2，则每秒大轮转过的圈数为eq\f(2×18,48)＝eq\f(3,4)，所以大轮每秒转过的弧长为eq\f(3,4)×2π×10＝15π.17．解析：(1)由题意知，扇形的圆心角为α，半径为r，设扇形的弧长为l，若扇形的周长是定值C(C>0)，则2r＋l＝C，即l＝C－2r，又由扇形的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(C－2r)r＝－r2＋eq\f(1,2)Cr＝－(r－eq\f(C,4))2＋eq\f(C2,16)，当r＝eq\f(C,4)时，扇形的面积取得最大值，此时最大值为eq\f(C2,16)，此时l＝C－2r＝eq\f(C,2)，又由扇形的弧长公式，可得eq\f(C,2)＝α×eq\f(C,4)，解得α＝2.(2)由扇形的圆心角为α，半径为r，设扇形的弧长为l，若扇形的面积