2024-2025学年新教材高考数学第一课时导数的概念练习含解析选修2

PAGEPAGE10第一课时导数的概念课标要求素养要求1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变更率的数学表达，体会导数的内涵与思想.依据详细的实例得到导数的概念，求函数的导数，培育学生的数学抽象与数学运算素养.新知探究在实际生产生活中，我们须要探讨一些物体的瞬时变更率，例如(1)摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行竞赛；(2)冶炼钢铁时须要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；(3)净化饮用水时须要依据净化费用的瞬时变更率来限制净化成本.问题上述实例中都涉及到某个量的瞬时变更率，在数学意义上，这些事实上是某个量的函数的瞬时变更率，它在数学上称为什么？提示函数的导数.1.平均变更率比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变更率.2.导数导数是函数的平均变更率，当自变量的增量趋于0时的极限假如当Δx→0时，平均变更率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的导数(也称为瞬时变更率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).拓展深化[微推断]1.函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变更的快慢程度.(×)提示导数反映的是函数在某一点处的变更的快慢程度，非在某区间上的.2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.(√)3.设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，则Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(f（x）－f（x0）,x－x0).(√)[微训练]1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变更率为()A.2.1 B.1.1C.2 D.0解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1.1）－f（1）,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.答案A2.设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.解析f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f([2（1＋Δx）＋1]－（2×1＋1）,Δx)＝2.答案2[微思索]1.导数或瞬时变更率可以反映函数变更的什么特征？提示导数或瞬时变更率可以反映函数在某一点处变更的快慢程度.2.函数的平均变更率与瞬时变更率有什么区分和联系？提示(1)平均变更率与瞬时变更率的区分：平均变更率刻画函数值在区间[x1，x2]上变更的快慢，瞬时变更率刻画函数值在x＝x0处变更的快慢.(2)平均变更率与瞬时变更率的联系：当Δx趋于0时，平均变更率eq\f(Δy,Δx)趋于一个常数，这个常数为函数在x＝x0处的瞬时变更率，它是一个固定值.题型一求函数的平均变更率【例1】已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变更率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)依据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变更率有怎样的变更趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变更率渐渐变大，并接近于－3.3.规律方法求平均变更率的主要步骤：(1)先计算函数值的变更量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再计算自变量的变更量Δx＝x2－x1.(3)得平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).【训练1】求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变更率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变更率的值.解函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变更率为eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,（x0＋Δx）－x0)＝eq\f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3xeq\o\al(2,0)＋2）,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变更率为6×2＋3×0.1＝12.3.题型二导数定义的干脆应用【例2】利用导数的定义，求f(x)＝eq\r(x2＋1)在x＝1处的导数.解Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\r(（1＋Δx）2＋1)－eq\r(2)＝eq\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－eq\r(2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)，∴f′(1)＝eq\f(\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)＝eq\f(（Δx）2＋2Δx,Δx[\r(（Δx）2＋2Δx＋2)＋\r(2)])＝eq\f(Δx＋2,\r(（Δx）2＋2Δx＋2)＋\r(2))＝eq\f(\r(2),2).规律方法求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变更量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)；(3)取极限，得导数f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx).【训练2】求函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数.解因为Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).eq\f(Δy,Δx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2，所以f′(1)＝2，即函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为2.题型三导数概念的应用【例3】已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：(1)eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)；(2)eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx).解(1)∵eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,x0－（x0－Δx）)＝f′(x0)，即eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝f′(x0)＝k.∴eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)＝eq\f(k,2).(2)∵eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,（x0＋Δx）－（x0－Δx）)，即eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)为函数f(x)在区间[x0－Δx，x0＋Δx]上平均变更率.∴当Δx→0时，eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)必趋于f′(x0)＝k，∴eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)＝k，∴eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝2k.规律方法由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，它仅与x0有关，与Δx无关，因此运用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母也应当是(1－Δx)－1，要留意公式的变形.【训练3】(1)若函数f(x)可导，则eq\f(f（1－Δx）－f（1）,2Δx)等于()A.－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C.－eq\f(1,2)f′(1) D.f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))(2)已知函数f(x)可导，且满意eq\f(f（3）－f（3＋Δx）,Δx)＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为()A.－1 B.－2C.1 D.2解析(1)eq\f(f（1－Δx）－f（1）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\f(f[1＋（－Δx）]－f（1）,－Δx)＝－eq\f(1,2)f′(1).(2)由题意，知f′(3)＝eq\f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝－2，故选B.答案(1)C(2)B一、素养落地1.在学习导数定义的过程中，培育了学生的数学抽象素养，在应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.2.在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必需选择相应的形式，利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式.二、素养训练1.函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变更率是()A.0 B.1C.2 D.Δx解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.答案A2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A.4 B.4xC.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(2（1＋Δx）2－2,Δx)＝4＋2Δx.答案C3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________.解析∵f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(a（Δx＋1）＋3－（a＋3）,Δx)＝a，又f′(1)＝3，∴a＝3.答案34.已知函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(1)＝________.解析f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)5.若eq\f(f（x0）－f（x0＋3Δx）,2Δx)＝1，求f′(x0).解因为eq\f(f（x0）－f（x0＋3Δx）,2Δx)＝－eq\f(3,2)×eq\f(f（x0＋3Δx）－f（x0）,3Δx)＝－eq\f(3,2)f′(x0)＝1.所以f′(x0)＝－eq\f(2,3).基础达标一、选择题1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变更率是()A.1 B.－1C.2 D.－2解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.答案B2.设函数f(x)在点x0处旁边有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A.f′(x)＝a B.f′(x)＝bC.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝b解析∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝a＋bΔx.∴f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝a.答案C3.已知函数y＝f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值为()A.－4 B.2C.－2 D.±2解析∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（m＋Δx）－f（m）,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,m（m＋Δx）)，∴f′(m)＝eq\f(－2,m（m＋Δx）)＝－eq\f(2,m2)，∴－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.答案±24.若可导函数f(x)的图象过原点，且满意eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，则f′(0)等于()A.－2 B.2C.－1 D.1解析∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝eq\f(f（0＋Δx）－f（0）,Δx)＝eq\f(f（Δx）,Δx)＝－1，故选C.答案C5.设f(x)为可导函数，且满意eq\f(f（1）－f（1－2x）,2x)＝－1，则f′(1)为()A.1 B.－1C.2 D.－2解析令x→0，则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，所以eq\f(f（1）－f（1－2x）,2x)＝eq\f(f（1）－f（1－Δx）,Δx)＝f′(1)＝－1.答案B二、填空题6.已知函数y＝x3－2，当x＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝________.解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（2＋Δx）3－2－（23－2）,Δx)＝eq\f(（Δx）3＋6（Δx）2＋12Δx,Δx)＝(Δx)2＋6Δx＋12.答案(Δx)2＋6Δx＋127.已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变更率为－8，则f(x0)＝________.解析由题知－8＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（x0＋Δx）2＋1－（2xeq\o\al(2,0)＋1）,Δx)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.答案98.若f′(x0)＝2，则eq\f(f（x0）－f（x0＋Δx）,2Δx)＝________.解析eq\f(f（x0）－f（x0＋Δx）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－1.答案－1三、解答题9.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并说明它的实际意义.解因为eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(f（2＋Δt）－f（2）,Δt)＝eq\f(3（2＋Δt）－3×2,Δt)＝3，所以f′(2)＝eq\f(Δy,Δt)＝3.f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3m3/s.10.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（Δx）2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝eq\f(Δy,Δx)＝(2Δx＋16)＝16.实力提升11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于随意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f（1）,f′（0）)的最小值为________.解析由导数的定义，得f′(0)＝eq\f(f（Δx）－f（0）,Δx)＝eq\f(a（Δx）2＋b（Δx）＋c－c,Δx)＝[a·(Δx)＋b]＝b>0.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))∴ac≥eq\f(b2,4)，∴c>0.∴eq\f(f（1）,f′（0）)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f