新教材2025版高中数学第七章复数7.1复数的概念7.1.2复数的几何意义学案新人教A版必修第二册

7．1.2复数的几何意义课程标准1.理解实轴、虚轴、模等概念．2．驾驭复数的几何意义，并能适当应用．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一复平面建立直角坐标系来表示复数的平面❶叫做____________，x轴叫做______，y轴叫做________．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示________数．要点二复数的几何意义❷要点三复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模或肯定值❸，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________．假如b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的肯定值)．要点四共轭复数1．一般地，当两个复数的实部________，虚部________时，这两个复数叫做互为共轭复数❹.2．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做________．3．复数z的共轭复数用z表示，即假如z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝________．助学批注批注❶复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．批注❷复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有多数个．批注❸表示复数的点Z到原点的距离.|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离．批注❹两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．夯实双基1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点．()(2)复数即为向量，反之，向量即为复数．()(3)复数的模肯定是正实数．()(4)复数与向量一一对应．()2．复平面内的点M(1，2)对应的复数为()A．－1＋2iB．1＋2iC．2－iD．2＋i3．已知i是虚数单位，则复数z＝3＋2i在复平面上对应的点的坐标为()A．(2，3)B．(2，－3)C．(3，2)D．(－3，2)4．复数z满意z＝2－i(其中i为虚数单位)，则z＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1复数与复平面内点的关系例1[2024·山东青岛高一期末]已知复数z＝(m2－7m＋10)＋(m2－5m＋6)i，i为虚数单位，m∈R.(1)若在复平面上表示复数z的点位于其次象限，求m的取值范围；(2)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，求m的值．题后师说利用复数与点的对应解题的一般步骤巩固训练1(1)[2024·广东揭阳高一期末]若复数z＝－4＋i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限(2)[2024·湖北宜昌高一期中]已知复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是()A．(－2，－1)B．(－∞，－2)∪C．(－1，＋∞)D．(－∞，－2)题型2复数与复平面内向量的对应关系例2在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．题后师说复数与平面对量的对应关系的解题策略巩固训练2(1)[2024·福建福州高一期末]已知复平面内的点A，B分别对应的复数为z1＝2＋i和z2＝－1－2i，则向量BA对应的复数为()A．1－iB．－1－iC．－3－3iD．3＋3i(2)在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转π3A．23iB．－23iC．3－3iD．3＋3i题型3复数的模及其应用例3已知复数z1＝3＋i，z2＝－12(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设z∈C，满意条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？题后师说解决与复数的模有关问题的策略巩固训练3(1)[2024·湖北武汉高一期末]已知a∈R，若有a-i＝5(i为虚数单位)，则A．1B．－2C．±2D．±1(2)设z∈C，则满意条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？7．1.2复数的几何意义新知初探·课前预习[教材要点]要点一复平面实轴虚轴纯虚要点二一一对应一一对应Z(a，b)要点三a要点四1．相等互为相反数2．共轭虚数3．a－bi[夯实双基]1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：点M(1，2)对应的复数为1＋2i.故选B.答案：B3．解析：由复数的几何意义可知复数z＝3＋2i在复平面上对应的点的坐标为(3，2)．故选C.答案：C4．解析：由已知可得z＝22+-答案：5题型探究·课堂解透例1解析：(1)复数z的点位于其次象限则m2-5m+6(2)复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，则2(m2－7m＋10)－(m2－5m＋6)－14＝0，解得m＝0或m＝9.巩固训练1解析：(1)因为复数z＝－4＋i，则z在复平面内对应的点位于其次象限．故选B.(2)因为复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，所以m+2<0m+1<0所以实数m的取值范围为(－∞，－2)．故选D.答案：(1)B(2)D例2解析：由题意得OA＝(2，3)，OB＝(3，2)，OC＝(－2，－3)．设OD＝(x，y)，则AD＝(x－2，y－3)，BC＝(－5，－5)．由题意知，AD＝BC，所以x-2=-5，巩固训练2解析：(1)由题可得A(2，1)，B(－1，－2)，故BA＝(3，3)，则向量BA对应的复数为3＋3i.故选D.(2)复数对应的向量的坐标为(3，－3)，按顺时针方向旋转π3后得到新向量的坐标为(0，－23)，所得向量对应的复数为－23答案：(1)D(2)B例3解析：(1)∵z1＝3＋i，z2＝－12∴|z1|＝32+12＝2，|z∴z1>z(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，依据复数几何意义可知复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆及外部全部点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆及内部全部点组成的集合，所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分(包括两边界)．巩固训练3解析：(1)因为a∈R，所以a-i＝a2即a2＋1＝5，解得a＝±2，故选C.(2)(方法一)|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ的模等于5，即