新高考2025届高考数学二轮复习专题突破精练第21讲数列求和教师版

第21讲数列求和一、单选题1．（2024·山东·嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现肯定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满意，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【详解】依题意，记，则，又，两式相加可得，则.故选：B．2．（2024·全国·高二课时练习）已知函数，若等比数列满意，则（）．A．2024 B． C．2 D．【答案】A【分析】由函数解析式可知，，而依据等比数列的性质恰好满意两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题【详解】∵，∴．∵数列为等比数列，且，∴．∴，∴由倒序求和可得．故选：A．3．（2024·全国·高二专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（）A． B．0 C．59 D．【答案】A【分析】由题得①，②，两式相加化简即得解.【详解】令①则②①+②可得：，，..故选：A4．（2024·江西·新余市第一中学高二月考）已知函数，数列满意，则（）A．2024 B．2024 C．4036 D．4038【答案】A【分析】依据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.【详解】∵，∴．又∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选：A5．（2024·全国·高三专题练习（理））已知函数，则的值为（）A．1 B．2 C．2024 D．2024【答案】C【分析】设，得到，再利用倒序相加求和得解.【详解】解：函数，设，则有，所以，所以当时，，令，所以，故．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要依据已知条件敏捷选择方法求解.6．（2024·河南南阳·高二期中）已知数列满意，，，则数列的前2024项的和为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用累加法得到，带入得到，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】，即...故.故选：A.7．（2024·河南南阳·高三期中（文））意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为（）A．2024 B．1348 C．1347 D．672【答案】B【分析】求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.【详解】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，因为，所以数列的前2024项的和为，故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.8．（2024·云南大理·模拟预料（理））已知数列的前项和为，且满意，则的值为（）A．7 B．126 C．247 D．254【答案】C【分析】依据和的关系得到，计算，，故，利用分组求和法计算得到答案.【详解】，当时，，故；当时，，，相减得到，数列是首项为，公比为的等比数列，故，验证时成立，故，，，.故选：C.9．（2024·西藏·拉萨中学高二月考）数列满意，则它的前20项和等于（）A．-10 B．-20 C．10 D．20【答案】D【分析】依据，利用并项求和法即可得出答案.【详解】解：因为，所以.故选：D.10．（2024·全国·高二课时练习）已知数列中，，，则（）．A．3009 B．3031 C．3010 D．3030【答案】B【分析】由条件求数列的前几项，由此确定数列具有周期性，利用组合求合法求.【详解】在数列中，，，可得，，，…，即奇数项为1，偶数项为2，则．故选：B．11．（2024·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，其前项和，则项数（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用分组求和的方法，求出数列的前项和，解方程即可.【详解】由题知，．又，由得．故选：C12．（2024·河南·高二月考（文））设数列的前项和为，若，，则（）A．620 B．630 C．640 D．650【答案】A【分析】当为奇数时，，可得的奇数项构成等差数列，由等差数列的求和公式可得奇数项的和，当为偶数时，，可计算偶数项的和，由分组求和即可求解.【详解】当为奇数时，，故数列的奇数项构成以为首项，为公差的等差数列；所以，当为偶数时，，所以，，，，所以，所以.故选：A.二、多选题13．（2024·全国·高二单元测试）已知数列满意，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（）A．的值为2B．数列的通项公式为C．数列为递减数列D．【答案】ACD【分析】对于A，令干脆求解，对于B，当时，，然后与已知的式子相减可求出，对于C，利用进行推断，对于D，利用错位相减法求解即可【详解】当时，，∴，∴A正确；当时，，∴，∴，∵上式对也成立，∴（），∴B错误；∵，∴数列为递减数列，∴C正确；∵，∴，两式相减得，∴，∴．∴D正确．故选：ACD．14．（2024·河北衡水中学高三月考）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简洁的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发觉的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发觉数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A．数列的通项公式为B．数列的第2024项为C．数列的前项和D．数列的前项和【答案】CD【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，推断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可推断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和【详解】数列各项乘以10再减4得到数列故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；从而所以故B错误当时；当时0.3.当时也符合上式，所以故C正确因为所以当时当2时，所以所以又当时也满意上式，所以，故D正确.故选：CD.15．（2024·广东荔湾·高二期末）设为数列的前项和，且，若数列满意：，且，则以下说法正确的是（）A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C． D．【答案】ACD【分析】利用求得通项公式，即可得推断A；化简推断的正负可推断单调性推断B；利用错位相减法可求得，再作差推断的正负可推断D.【详解】，则当时，，两式相减得，当时，也适合，故，则，则，所以数列是等比数列，故A正确；，，当时，，即，则数列不是递增数列，故B错误；，，两式相减可得，所以，故C正确；，当时，，则,当时，，则，当时，，则，综上可得，故D正确.故选：ACD.16．（2024·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列的前项和为，，，数列的前项和为，下列正确的结论是（）A．是等差数列 B．是等比数列C． D．【答案】BCD【分析】推导出，可推断AB选项的正误；利用等比数列的通项公式可推断C选项的正误；利用裂项求和法可推断D选项的正误.【详解】因为，所以，，，则，，，以此类推可知，对随意的，，所以，，则，故数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，，，，所以，.所以，BCD选项正确，A选项错误.故选：BCD.17．（2024·全国·高三月考）已知数列满意，（），则下列说法正确的有（）A．数列是等差数列B．数列的前项和不超过C．存在等差数列，使得对恒成立D．不存在实数，使得对恒成立【答案】ABC【分析】先由题意求得，将其代入A选项干脆得出结论；B选项，利用放缩技巧将其裂项求和得结论；C选项，利用超越不等式得到结论；D选项，由错位相减法可得结论.【详解】将两边同除以，得到，所以为等差数列，首项为，公差为1，所以，对于A选项，，此时令，则，所以数列是等差数列，正确；B选项，，所以，所以正确；C选项，，又令，则，令，则，令，则，所以在单减，在单增，又，所以，即成立，所以，所以存在等差数列，使得对恒成立所以正确；D选项，令，则，所以，令,则，所以，所以，故错误，故选：ABC18．（2024·江苏·海安高级中学高二期中）已知数列的前项和为，且，，若，则正整数的值可以为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】CD【分析】由题意，项和转换可得，裂项相消可得，令，解不等式即可【详解】由已知可得，当时，，即，∴，，令，得，即解得（舍去）或，∴结合选项，知正整数的值可以为8或9．故选：CD19．（2024·江苏·高二单元测试）设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】对于AB，通过累乘法求出的通项公式，进而求出的通项公式，即可求解；对于CD，通过的通项公式求出的通项公式，再通过裂项相消求，进而求解.【详解】由题意，得，∴当时，，又当时也符合上式，∴，易得，∴，故A，B正确；，∴，易知单调递增，∴，∴，故C错误，D正确.故选:ABD．三、填空题20．（2024·上海市行知中学高二期中）已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为___．【答案】【分析】当时，，当时，可得的通项公式，再利用裂项求和即可求解.【详解】当时，，当时，，因为满意上式，所以，所以所以，故答案为：.21．（2024·上海市复兴高级中学高二期中）设数列的前项和为，且，则满意的最小值为___________【答案】【分析】先求得，由，可得，由此即可求解【详解】因为，所以，由，可得，解得，所以满意的最小值为，故答案为：22．（2024·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））无穷数列满意：只要必有则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，则=_________.【答案】7578【分析】依据新定义得数列是周期数列，从而易求得．【详解】∵成等比数列，，∴，又，为“和谐递进数列”，∴，，，，…，∴数列是周期数列，周期为4．∴．故答案为：7578．23．（2024·全国·模拟预料）已知数列满意，，，则下列表达式的值为____________．【答案】【分析】依次求得，由此求得所求表达式的值.【详解】，，，，，，，，．故答案为：四、解答题24．（2024·全国·高二课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.（1）求数列的通项公式；（2）求的值；（3）令，求数列的前2024项和.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由题意可得：，由即可求解；（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，当时，，适合上式，所以.（2）因为，所以，所以.（3）由（1）知，可得，所以，①又因为，②因为，所以①②，得，所以.25．（2024·全国·高二课时练习）设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.（1）证明：数列为等比数列；（2）记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn.【答案】（1）证明见解析（2）Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－【分析】（1）依据an＝Sn－Sn－1得到，即，得到证明.（2）计算Sn＝n·2n－n，依据错位相加法结合分组求和法计算得到答案.（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则，所以，又＋1＝2，故数列是首项为2，公比为2的等比数列.（2）知，所以Sn＝n·2n－n，故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，所以M＝(n－1)×2n＋1＋2，所以Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－.26．（2024·陕西西安·模拟预料（理））已知数列的前项和为，且，当时，．（1）求数列的通项公式；（2）设，设，求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【分析】（1）当时，，可得，两式相减即可求解；（2）由（1）可求得，进而可得，，利用乘公比错位相减求和即可求解.【详解】（1）当时，，，两式相减可得：，即，所以，不满意，所以数列的通项公式为；（2）当时，由，，可得，，满意，所以，可得，，，，两式相减可得：，所以.27．（2024·广东顺德·一模）已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为．【答案】（1）；（2）【分析】（1）结合等差数列性质，将详细项转化为关于的关系式，可求通项，，可求解的通项公式；（2）由（1）知，再采纳错位相减法即可求解．（1）（1）方法1：设数列的公差为d，由题意得：，解得，，故；由可得：，即有或（舍），从而有数列为首项为1，公比为的等比数列，即可得；（2）（2）由（1）得，①，②，①②得：，故．28．（2024·浙江·模拟预料）已知正项数列的前项和为，且，.数列满意，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）依据与的关系以及等差数列的通项公式即可求解.（2）由，利用叠加，裂项相消法即可证明.（1）∵，，∴，∴，当时，有，∴，∴，∵，∴∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，，∴.（2），所以得，从而，从而可得29．（2024·新疆·克拉玛依市教化探讨所模拟预料（理））已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）①；②；③．从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）选①时，；选②时，；选③时，.【分析】（1）利用等差数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；（2）选①时，得到，利用裂项相消法可求得；选②时，得到，利用分组求和法，结合等差等比求和公式求得；选③时，得到，利用错位相减法可求得.（1）是递增的等差数列，数列的公差，由题意得：，解得：，，．（2）选①时，．，．选②时，，．选③时，，，则，两式作差得：．30．（2024·浙江·模拟预料）已知正项数列的首项，其前项和为，且.数列满意：(b1+b2.（1）求数列的通项公式；（2）记，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）依据题意得到和，两式相减得，解得答案.（2）计算，，放缩和，利用裂项相消法计算得到证明.（1）由得，两式相减得，由，得，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列，当为奇数时，，当为偶数时，.综上所述.（2）由，，，，两式相减得，，验证成立，故.则，那么，故，同理，故，得证.【点睛】本题考查了求数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生的计算实力，转化实力和综合应用实力，其中数列的放缩是解题的关键，同学们须要敏捷驾驭.31．（2024·上海·模拟预料）已知无穷数列满意，.（1）若；（i）求证：；（ii）数列的前项和为且，求证：；（2）若对随意的，都有，写出的取值范围并说明理由.【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）证明见解析；（2）.【分析】（1）（i）首先依据已知条件推出与的大小关系，计算出，然后求出的取值范围，从而可使问题得证；（ii）首先依据条件求出，然后求出，从而结合（i）的结论使问题得证；（2）首先分，，三种状况求出的取值范围，当时，求出的取值范围，从而可推出在时，当时，，不符合题意，即可求解的取值范围．【详解】（1）（i）由可得，①当时，∵，∴，∴，②假设时，，则，∴时，，，由①②可知对一切正整数都有，∴，∴，∴，∴，但当时，，∴．（ii）∵，∴，∴，∴，∴，由（i）知，可得，即，∴．（2）∵对随意的，都有，且，∴明显，由（1）证明知，①若，则，∴，∴；②若，则为常数列，∴；③若，则，∴，又，若，则，则，∴，∴当时，有，∴当时，，不符合题意．综上可知，.【点睛】关键点点睛：对于数列不等式的证明、不等式恒成立问题．解题中留意问题的转化，如利用，求出这个式子的取值范围后可证明不等式，利用裂项相消求和法求出，利用分类探讨求出参数的取值范围.32．（2024·四川遂宁·模拟预料（文））已知数列为等比数列，正项数列满意，且，.（1）求和的通项公式；（2）若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的依次组成数列，设，求.【答案】（1），（2）【分析】（1）先推断数列是等差数列，再由等差数列和等比数列的通项公式求解即可；（2）由分组转化求和法即可求解（1）因为，所以，又，所以.即，又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.所以，即，设的公比为，又，，所以，解得，所以.综上，数列和的通项公式分别为，；（2）由（1）知，，，，，，，，.所以..33．（2024·全国·模拟预料）已知数列满意，若数列满意，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用递推作差法求出通项公式，且证明当时也符合，再利用构造法结合已知条件求出的通项公式；（Ⅱ）借助分组求和、等差、等比数列求和公式即可求出数列的前项和．【详解】（Ⅰ）由得当时，，可得；当时，，两式相减得，所以，当时也满意上式，所以的通项公式为，因为，因为，所以，即，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．34．（2024·广东·江门市培英高级中学模拟预料）已知数列满意：，．（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，依据构造即可得证；求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出数列的前项和；（2）求出数列得通项公式，利用错位相减法即可求得数列的前项和．【详解】（1）证明：因为，所以，即，，所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，则，故，所以；（2）解：，则①②①②得：所以.35．（2024·山东肥城·模拟预料）设各项均为正的数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；（2）计算出，然后利用等差数列的求和