江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何午练7空间线面关系的判定苏教版选择性必修第二册

午练7空间线面关系的判定1.(2024南京月考)已知平面α外的直线l的一个方向向量是a=(3,2,1),平面α的一个法向量是u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是()A.l⊥α B.l∥αC.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是DD1的中点,N是A1B1的中点,则直线ON与AM的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法推断3.在正方体ABCD-A1BC1D1中,P,Q分别是线段AB1,A1C1上的点(不为端点),给出如下两个命题:①对随意点P,均存在点Q,使得PQ⊥CD1;②存在点P,对随意点Q,均有PQ⊥DB1成立.下面推断正确的是()A.①②均正确 B.①②均不正确C.①正确,②不正确 D.①不正确,②正确4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2AA1,当=λ时,有D1P∥平面BDC1,则实数λ的值为()A.1 B.2 C.3 D.5.(多选题)已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,假如=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),那么下列结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.是平面ABCD的一个法向量D.6.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则()A.A1C⊥AB1B.A1B与AD1所成角为60°C.D1D⊥AFD.A1G∥平面AEF7.设直线l的一个方向向量为d=(6,2,3),平面α的一个法向量为n=(-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系为.

8.(2024宿迁质检)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,且AA1=AD=DC=2,M∈平面ABCD,当D1M⊥平面A1C1D时,DM=.

9.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ⊥平面PQMN?若存在,求出实数λ的值;若不存在,说明理由.午练7空间线面关系的判定1.B因为a·u=(3,2,1)·(-1,2,-1)=-3+4-1=0,所以a⊥u,又l⊄α,所以l∥α.故选B.2.B依据题意,以A为原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.设正方体的棱长为2,则O(1,1,0),N(1,0,2),A(0,0,0),M(0,2,1),则=(0,2,1),=(0,-1,2).由·=0+2×(-1)+1×2=0,得⊥,即ON⊥AM.故选B.3.D以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,由题意可设P(x,0,x),Q(y,y,1),其中x∈(0,1),y∈(0,1),C(1,1,0),D1(0,1,1),则=(y-x,y,1-x),=(-1,0,1).若PQ⊥CD1,则⊥,则·=0,即-(y-x)+1-x=0,解得y=1.因为y∈(0,1),所以舍去,故①不正确.D(0,1,0),B1(1,0,1),则=(1,-1,1),若PQ⊥DB1,则⊥,即·=0,即y-x-y+1-x=0,解得x=,此时P,0,,故只需点P位于AB1的中点,对随意点Q,均有PQ⊥DB1成立,故②正确.故选D.4.C如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AA1=1,则A1(0,0,1),B(2,0,0),C(2,2,0),C1(2,2,1),D(0,2,0),D1(0,2,1).设P(x,y,z),则=(2,2,-1),=(x,y,z-1),由=λ,得(2,2,-1)=(λx,λy,λz-λ),即x=,y=,z=1-,所以P,则=.设平面BDC1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),=(0,2,1),=(-2,2,0),所以令y1=1,则x1=1,z1=-2,所以m=(1,1,-2).由D1P∥平面BDC1,可知m·=0,即-2=0,所以λ=3.故选C.5.ABC由题意可知,,都是非零向量,对于A,·=-1×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0,正确;对于B,·=-1×4+2×2+(-1)×0=0,正确;对于C,∵AP⊥AD,AP⊥AB,AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD∩AB=A,所以⊥平面ABCD,正确;对于D,∵AP⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴AP⊥BD,错误.故选ABC.6.ABD以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),G(2,2,1),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).对于A选项,=(0,2,2),=(-2,2,-2),·=4-4=0,所以A1C⊥AB1,故A选项正确.对于B选项,=(0,2,-2),=(-2,0,2),cos<,>===-,所以向量与向量的夹角是120°,A1B与AD1的所成角为60°,故B选项正确.对于C选项,=(0,0,2),=(-2,2,1),则·=2≠0,故C选项错误.对于D选项,设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),=(-1,2,0),=(-1,0,1),由可得取x=2,可得m=(2,1,2).又=(0,2,-1),m·=2-2=0,所以m⊥.因为A1G⊄平面AEF,所以A1G∥平面AEF,故D选项正确.故选ABD.7.直线l在平面α内或平行于平面α依题意,d·n=6×(-1)+2×3+3×0=0,则d⊥n,所以直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行于平面α.8.2如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).由题意可设M(a,b,0),则=(a,b,-2),=(2,0,2),=(0,2,2).若D1M⊥平面A1C1D,则解得即M(2,2,0),故DM==2.故答案为2.9.证明以D为坐标原点,建立右图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ),M(2,1,2),N(1,0,2),则=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,λ-2).(1)当λ=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即∥,又BC1与FP无公共点,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)假