四川省成都市2024-2025学年高三数学下学期3月二诊模拟考试文含解析

Page13四川省成都市2024-2025学年高三数学下学期3月二诊模拟考试（文）（全卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知z的共轭复数是，且（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A． B． C．-2 D．-2i3．下图是我国跨境电商在2016~2024年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（）A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%4．设实数x，y满意约束条件则的最小值为（）A．-8 B．-6 C．-4 D．-25．已知，则的值为（）A． B． C． D．6．已知a，b，c为直线，，，平面，下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则7．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如．如图所示程序框图的算法源于我国古代著名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（）A．20 B．21 C．22 D．238．已知双曲线的右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．39．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A． B． C．4 D．10．已知函数满意，，当时，，则（）A． B． C． D．11．已知抛物线与直线相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若，则AB的中点的横坐标为（）A． B．3 C．5 D．612．设，，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面对量，满意，，且，则x的值为______．14．已知直线，，圆C的圆心在第一象限，且与，都相切，则圆C的一个方程为______．（写出满意题意的随意一个即可）15．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以PC为直径的球面上，，，，则该球的表面积为______．16．已知函数，，，且在上单调，则的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答；第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，全部参加调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”看法的人数如下表所示．支持保留不支持50岁以下80004000200050岁以上（含50岁）100020003000（Ⅰ）在全部参加调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”看法的人中抽取了30人，求n的值；（Ⅱ）在持“不支持”看法的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中随意选取2人，求至少有1人年龄在50岁以下的概率．18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，从①，②，③三个条件中任选一个，求数列的前n项和．19．（本小题满分12分）如图，是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，，平面平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，．（Ⅰ）求证：平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥的体积．20．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求的最大值；（Ⅱ）若，，求a的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆经过点，其右焦点为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满意直线AP与AQ的斜率之积为，求面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，那么按所做的第一题计分．22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的一般方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线与直线l和曲线C分别交于点A，B，若，求的值．23．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知存在，使得成立，，．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求的最小值．成都石室中学2024-2025学年度下期高2024届二诊模拟考试文科数学参考答案答案及解析1．C【解析】由题意可得，集合，，所以．故选C．2．C【解析】设．因为，所以，解得则，所以复数z的虚部为-2．故选C．3．D【解析】这7年我国跨境电商交易规模的平均数为（万亿元），故A错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，故B错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为（万亿元），故C错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为，故D正确．故选D．4．B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可化简为，即斜率为的平行直线．由解得则．结合图形可知，当直线过点时，z取最小值，．故选B．5．B【解析】由已知，得．故选B．6．D【解析】可借助正方体进行推断．对于A选项，正方体中从同一顶点动身的三条棱两两垂直，故A错误；对于B选项，选取正方体的上、下底面为，以及一个侧面为，则，故B错误；对于C选项，选取正方体的上底面的对角线为a，b，下底面为，则不成立，故C错误；对于D选项，选取正方体的上、下底面为，，随意作一个平面平行于下底面，则有成立，故D正确．故选D．7．C【解析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满意条件：①被3除余1，②被5除余2，且最小为两位数，所以输出的．故选C．8．C【解析】因为双曲线的右焦点为，所以．设其左焦点为．因为，点P，Q关于原点O对称，所以．由的面积为4，得，则．又，所以．又由双曲线的对称性可得，则由双曲线的定义可得，所以，则离心率．故选C．9．B【解析】如图，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥，其中面积最大为．故选B．10．D【解析】因为满意，所以为奇函数．又因为，所以，所以是周期为2的奇函数．又因为时，，所以．故选D．11．A【解析】如图，设AB的中点为G，抛物线的准线为，焦点为，直线过定点，过点A，B分别作于点M，于点N．由，得，所以点B为AP的中点．连接OB，则，做点B的横坐标为1，则点A的横坐标为4，所以AB的中点G的横坐标为．故选A．12．A【解析】因为，，所以，所以，所以，所以．故选A．13．【解析】因为，，所以，．又因为，所以，解得．14．（答案不唯一）【解析】由题意可得，圆心C在直线上，圆C的方程形如．15．【解析】由，，，得，所以，得（r为外接圆半径）．又，则，所以，即点P到平面ABC的距离为2，所以外接球球心O（PC的中点）到平面ABC的距离，所以外接球半径，所以．16．5【解析】因为函数，，所以，①．又因为，所以直线是图象的对称轴，所以，②．由①②可得，．又．所以，则，．又在上单调，的最小正周期为，所以，即，解得，故的最大值为5．17．解：（Ⅰ）参加调查的总人数为，其中从持“不支持”看法的人数中抽取了30人，所以．（Ⅱ）由已知易得，抽取的5人中，50岁以下与50岁以上人数分别为2人（记为，），3人（记为，，）．画树状图如下：由树状图可知，从这5人中随意选取2人，基本领件共10个，其中，至少有1人年龄在50岁以下的事务有7个，故所求概率为．18．解：（Ⅰ）因为，所以．将上述两式相减，得．因为，，即，所以，所以，所以．因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．若选①：，则，．将上述两式相减，得，所以．若选②：，则．若选③：．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上，．19．（Ⅰ）证明：如图，取CF的中点D，连接DM，DN．因为M，N分别是AF，CE的中点，所以，．又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．又因为，所以，同理可得，平面ABC．因为平面MND，平面MND，，所以平面平面ABC．又因为平面MND，所以平面ABC．（Ⅱ）解：如图，取AB的中点O，连接OC，OE．由已知可得，且，所以四边形OAFE是平行四边形，所以且．因为是正三角形，O是AB的中点，所以．又因为平面平面ABEF，平面平面，所以平面ABEF．又平面ABEF，所以．设，则，．在中，由，得，则，所以，，则，．由题意易得，，则点M到AB的距离，即点M到平面ABC的距离为．又平面ABC，所以．20．解：（Ⅰ）当时，，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．（Ⅱ）由，得，易知在上单调递减．①由（Ⅰ）可知，当时，，符合题意．②当时，，，所以存在时，使得，故当时，，单调递减，所以，不符题意，舍去．③当时，，，所以存在，使得，故当时，，单调递减，．令，则，故在上单调递减，所以，故，符合题意．综上所述，a的取值范围是．21．解：（Ⅰ）依题意，得解得所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，故可设，，．由得，所以，，，即．由，得，消去，得，即，所以，整理得，所以或，所以直线或．又因为直线P