函数与导数解题方法知识点技巧总结

函数与导数解题方法知识点技巧总结函数与导数解题方法知识点技巧总结/函数与导数解题方法知识点技巧总结函数及导数解题方法知识点技巧总结1.高考试题中,关于函数及导数的解答题(从宏观上)有以下题型:（1）求曲线在某点出的切线的方程（2）求函数的解析式（3）探讨函数的单调性,求单调区间（4）求函数的极值点和极值（5）求函数的最值或值域（6）求参数的取值范围（7）证明不等式（8）函数应用问题2.在解题中常用的有关结论（须要熟记）:（1）曲线在处的切线的斜率等于,且切线方程为。（2）若可导函数在处取得极值,则。反之不成立。（3）对于可导函数,不等式的解是函数的递增（减）区间。（4）函数在区间上递增（减）的充要条件是:恒成立（不恒为）.（5）若函数在区间上有极值,则方程在区间上有实根且非二重根。（若为二次函数且,则有）。（6）若函数在区间上不单调且不为常量函数,则在上有极值。（7）若恒成立,则；若恒成立,则（8）若使得,则；若使得,则.（9）设及的定义域的交集为,若恒成立,则有.（10）若对恒成立,则.若对,使得,则.若对,使得,则.（11）已知在区间上的值域为,在区间上值域为,若对使得成立,则。（12）若三次函数有三个零点,则方程有两个不等实根且（13）证题中常用的不等式:①（仅当时取“”）②（仅当时取“=”）③④⑤⑥⑦3.函数及导数解答题常见题型的解法（1）已知曲线（含参数）的切线方程为,求参数的值【解法】先设切点坐标为,求出切线方程再及已知切线方程比较系数得:,解此方程组可求参数的值（2）已知函数（含参数）,探讨函数的单调性【解法】先确定的定义域,并求出,视察能否恒大于或等于（恒小于或等于）,假如能,则求参数的范围,探讨便从这里开始,当参数在上述范围以外取值时,令,求根.再分层探讨,是否在定义域内或探讨的大小关系,再列表探讨,确定的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数,因此探讨函数单调性问题又往往是探讨二次函数在某一区间上的符号问题）（3）已知函数（含参数）在区间上有极值,求参数的取值范围.【解法】函数在区间上有极值,可转化为方程在区间上有实根,且为非二重根。从而确定参数（或其取值范围）。（4）可导函数（含参数）在区间上无极值,求参数的取值范围【解法】在区间上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在上恒成立（5）函数（含单个或多个参数）仅在时取得极值,求参数的范围【解法】先由,求参数间的关系,再将表示成=,再由恒成立,求参数的范围。（此类问题中一般为三次多项式函数）（6）函数（含参数）在区间上不单调,求参数的取值范围【解法一】转化为在上有极值。（即在区间上有实根且为非二重根）。【解法二】从反面考虑:假设在上单调则在I上恒成立,求出参数的取值范围,再求参数的取值范围的补集（7）已知函数（含参数）,若,使得成立,求参数的取值范围.【解法一】转化为在上的最大值大于（最小值小于）【解法二】从反面考虑:假设对恒成立则（）,求参数的取值范围,再求参数的取值范围的补集（8）含参数的不等式恒成立,求参数的取值范围【解法一】分别参数求最值【解法二】构造函数用图像注:对于多变量不等式恒成立,先将不等式变形,利用函数的最值消变元,转化为单变量不等式恒成立问题（9）可导函数（含参数）在定义域上存在单调递增(减)区间,求参数的范围.【解法】等价转化为在定义域上有解即使成立（1）可用分别参数法（2）利用图像及性质（10）证明不等式【解法】构造函数并确定定义域,考察在上的单调性（留意区间端点的函数值）或者求在上的最值注:对于含有正整数的带省略号的不定式的证明,先视察通项,联想基本不定式,确定要证明的函数不定式,再对自变量赋值,令分别等于,把这些不定式累加,可得要证的不定式。）1.已知函数,实数满意,设.（1）当函数的定义域为时,求的值域；（2）求函数关系式,并求函数的定义域；（3）求的取值范围.（1）若,令,……1分在上为增函数 ……2分；,……3分值域为.……4分（2）实数满意,则,则,……6分而,,故,,……7分由题意,,则,故,……8分又,即,故,当且仅当时取得等号,……9分综上:.……10分（3）,……12分令,当恒成立,……14分故在单调递增,,故.……16分2.已知函数。（1）若f（x）的图象及g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上,且在该点处两条曲线的切线相互垂直,求b和c的值。（2）若a＝c＝1,b＝0,试比较f（x）及g（x）的大小,并说明理由；（3）若b＝c＝0,证明：对随意给定的正数a,总存在正数m,使得当x时,恒有f（x）＞g（x）成立。解:,时,,……5分①时,,,即②时,,,即③时,令,则.设,则,当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取得微小值,且微小值为即恒成立,故在上单调递增,又,因此,当时,,即.……9分综上,当时,；当时,；当时,.……10分⑶证法一:①若,由⑵知,当时,.即,所以,时,取,即有当,恒有.②若,即,等价于即令,则.当时,在内单调递增.取,则,所以在内单调递增.又即存在,当时,恒有.……15分综上，对随意给定的正数，总存在正数，使得当，恒有.……16分证法二:设,则,当时,,单调减,当时,,单调增,故在上有最小值,,……12分①若,则在上恒成立,即当时,存在,使当时,恒有；②若,存在,使当时,恒有；③若,同证明一的②,……15分综上可得，对随意给定的正数，总存在,当时,恒有.……16分设函数在点处的切线方程为.(1)求实数及的值；(2)求证:对随意实数,函数有且仅有两个零点.4.已知函数,；（取为,取为,取）（1）若函数在上单调递增,求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线,求的最小值；（3）当时,若及的图象有两个交点,,求证:.解析:（1）由,得；∵在上递增,∴对,都有,（求出导数给2分）即对,都有,∵,∴；故实数的取值范围是.………………4分（无等号的扣1分）（2）设切点,则切线方程为:,即,亦即,令,由题意得；……………7分令,则,当时,在上递减；当时,在上递增,∴,故的最小值为.………10分（3）由题意知:,,两式相加得:,两式相减得:,即,∴,即,………12分不妨令,记,令,则,∴在上递增,则,∴,则,∴,又,∴,即,令,则时,,∴在上单调递增,又,∴,∴,即.■………16分已知函数,其中为自然对数底数.（1）当时,求函数在点处的切线方程；（2）探讨函数的单调性,并写出相应的单调区间；（3）已知,若函数对随意都成立,求的最大值.解:（1）当时,,,,………………2分∴函数在点处的切线方程为,即.……………………4分（2）∵,①当时,,函数在上单调递增；………………6分②当时,由得,∴时,,单调递减；时,,单调递增.综上,当时,函数的单调递增区间为；当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.……9分（3）由（2）知,当时,函数在上单调递增,∴不可能恒成立；………………10分当时,,此时；………11分当时,由函数对随意都成立,得,∵,∴………………13分∴,设,∴,由于,令,得,,当时,,单调递增；时,,单调递减.∴,即的最大值为,.…………………16分5.此时若函数在处取得极大值或微小值,则称为函数的极值点.已知函数当时,求的极值；若在区间上有且只有一个极值点,求实数的取值范围.已知函数,.（1）设.①若函数在处的切线过点,求的值；②当时,若函数在上没有零点,求的取值范围；（2）设函数,且,求证:当时,.解:（1）由题意,得,所以函数在处的切线斜率,……………2分又,所以函数在处的切线方程,将点代入，得.……………4分（2）方法一:当,可得,因为,所以,①当时,,函数在上单调递增,而,所以只需，解得，从而.……………6分②当时,由,解得,当时,,单调递减；当时,,单调递增.所以函数在上有最小值为,令,解得,所以.综上所述，.……………10分方法二:当,①当时,明显不成立；②当且时，，令，则，当时，，函数单调递减，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，，由题意知.（3）由题意,,而等价于,令,……………12分则,且,,令,则,因,所以,……………14分所以导数在上单调递增,于是,从而函数在上单调递增，即.……………16分己知函数(1)若,求函数的单调递减区间;(2)若关于x的不等式恒成立,求整数a的最小值:(3)若,正实数满意,证明:（1）因为,所以,………1分此时,………2分由,得,又,所以．所以的单调减区间为.…………4分（2）方法一:令,所以.当时,因为,所以.所以在上是递增函数,又因为,所以关于的不等式不能恒成立.……6分当时,,令,得.所以当时,；当时,,因此函数在是增函数,在是减函数．故函数的最大值为.……………………8分令,因为,,又因为在是减函数.所以当时,．所以整数的最小值为2.…………10分方法二:（2）由恒成立,得在上恒成立,问题等价于在上恒成立.令,只要.…………6分因为,令,得.设,因为,所以在上单调递减,不妨设的根为.当时,；当时,,所以在上是增函数；在上是减函数.所以.………8分因为,所以,此时,即.所以,即整数的最小值为2.………………10分（3）当时,由,即从而…………………13分令,则由得,可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增.所以,………15分所以,因此成立.…………16分已知为实数,函数,函数.（1）当时,令,求函数的极值；（2）当时,令,是否存在实数,使得对于函数定义域中的随意实数,均存在实数,有成立,若存在,求出实数的取值集合；若不存在,请说明理由.解:（1）,,令,得．………1分列表:x0+↘微小值↗所以的微小值为,无极大值.………4分（2）当时,假设存在实数满意条件,则在上恒成立.………5分1）当时,可化为,令,问题转化为:对随意恒成立；（*）则