等比数列高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册+

4.3.2等比数列的前n项和复习

话说猪八戒西天取经后回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO，可好景不长，因资金周转不灵集团陷入了窘境，急需大量资金投入，于是猪八戒就找到孙悟空帮忙.悟空一口就答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件：作为回报，从投资的第一天起你必须返还我1元，第二天返还2元，第三天返还4元,……,即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了心里打起了小算盘：“第一天：支出1元,收入100万元;第二天：支出2元,收入100万元;第三天：支出4元,收入100万元……哇，发财了……”心里越想越美，再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”一.新课导入：=?分析：30天八戒吸纳的资金共3000万元。由于后一天返还数为前一天的2倍，且共有30天，所以八戒每一天返还悟空的钱依次是：则八戒共返还悟空：问：

假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？=1073741823228，２29２，２２，１，２３，…，2S30=2+22+23+…+229

+230思考3：S30与2S30的表达式中有许多相同的项，用什么办法消去相同的项？倒序相加

不能

问题1：如何求引例中S30=1+2+22+…+228+229S30=229+228+…

+22+2+1思考1：等差数列求和用了什么方法？等比求和能否用这种方法？1+2+22+…+228+2292S30=S30=2+22+23+…+229

+230①②由①－

②得:

–

S30=

1–230S30=230–1.即=1073741823?你想得到什么样的赏赐？陛下赏小人几粒麦就搞定.OK每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子…

请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求?他能兑现自己的诺言吗?上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263这个等比数列的和.

令S64=1+2+4+8+‥‥‥+263

①2S64=2+4+8+‥‥‥+263+264

，

②②－①得S64=264－1.错位相减=18446744073709551615(粒).当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？

算

一

算如果按1000颗麦粒40克计算，这里大约有_____麦粒；如果按人均每天吃______粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界_____亿人吃上_____年.7000亿吨702741000克设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，如何求Sn？所得结果如何？解：Sn＝a1＋a2＋

a3＋…＋an-1＋an……①qSn＝a1q＋a2q＋

a3q＋…＋an-1q＋an

q①－②

得错位相减法qSn＝

a2＋

a3＋…＋an-1＋an＋an

q……②qSn＝

a2＋

a3＋…＋an-1＋an＋an

q探究思考：当q＝1时，如何求Sn？Sn＝a1＋a2＋

a3＋…＋an-1＋an当公比q≠1时，结合等比数列通项公式，Sn可变形为什么？探究等比数列的前n项和公式：新知注意：(1)运用公式时，注意公比是否为1练习解决问题让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，他的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍。因此国王不可能实现他的诺言(1)等比数列

的前7项和为______.(2)等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是________.(3)等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝8，则S5＝______.211248练习n个判断下列计算是否正确练习例7、已知数列{an}是等比数列例题解：（1）由题意知,由

得例题解:（3）由题意知由

得例题在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝

，求a4和S5；练习在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝

，求a4和S5；练习例题我们知道，等差数列有这样的性质：那么，在等比数列中，是否也有类似的性质？探究例题例9已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比证明：当q=1时，Sn=na1，S2n-Sn=2na1-na1=na1,S3n-S2n=3na1-2na1=na1,所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为1当q≠1时，所以所以Sn，S2n-Sn