新人教版高二暑期数学衔接第10讲直线的倾斜角与斜率讲义(学生版+解析)

第10讲直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直【基础知识】一、直线的倾斜角1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向

与直线l向上的方向之间所成的角α

叫做直线l的倾斜角.2.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0°

.因此,直线的倾斜角α的取值

范围为0°≤α<180°

二、直线的方向向量1.直线P1P2上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量

.2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的一个方向向量的坐标为三、直线的斜率1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=

tanα

(α≠90°).2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率.3.过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k=.4.直线的方向向量与斜率的关系(1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1) ,因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量的坐标为(1,k)

.(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=.四、两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在图示  对应关系l1∥l2⇔k1=k2

两直线斜率都不存在⇒l1∥l2

五、两条直线垂直的判定类型斜率都存在有直线斜率不存在图示  对应关系l1⊥l2⇔k1k2=-1

斜率不存在，斜率为0⇒l1⊥l2

【考点剖析】考点一：求直线的倾斜角例1．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．考点二：求直线倾斜角的范围例2．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是(

)．A． B．C． D．考点三：求直线的斜率例3．经过两点,的直线的斜率为(

)A． B． C． D．考点四：求直线斜率的范围例4．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是(

)A． B．或 C． D．考点五：两直线平行问题例5．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.考点六：两直线垂直问题例6．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．【真题演练】1.(2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试)直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为(

)A． B． C． D．2.(2023学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末)若倾斜角为的直线过，两点，则实数(

)A． B． C． D．3.(2023学年江西省南昌市实验中学高二12月月考)经过点、两点的直线的倾斜角为(

)A．90º B．120º C．135º D．150º4.(多选)(2023学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中)在下列四个命题中，错误的有()A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα5.(多选)(2023学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二上学期期中)已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数(

)．A． B． C． D．6.(2023学年上海市控江中学高二下学期期中)设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.7.(2023学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考)若三点，，在同一条直线上，则实数___________.8.(2023学年河北省石家庄十二中高二上学期期中)已知两点，求：(1)直线的斜率k；(2)已知实数，求直线的倾斜角的范围.【过关检测】1.(河北省保定市2022学年高二上学期期末)若直线经过，两点，则直线的倾斜角为(

)A． B． C． D．2.以点，，为顶点的三角形是(

)．A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形3．(2023学年湖北省荆州市八县市高二上学期期末)直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是(

)A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直4．(2023学年河北省唐山市滦南县第一中学高二上学期10月月考)过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为(

)A． B． C． D．5.(2023-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期月考)设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是()A．或 B．C． D．以上都不对6．(多选)下列四个命题中，错误的有(

)A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为7.(多选)如果直线l过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l的倾斜角可能是(

)A．0° B．120°C．90° D．60°8.(2023学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中)如图所示，直线的频斜角，直线，则直线的斜率为________．9．在△ABC中，已知A(3，﹣2)，B(1，﹣3)，C(1，1).(1)求直线AB，AC，BC的斜率；(2)判断直线AC的倾斜角是锐角还是钝角或直角.10.已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为、、，求该平行四边形的第四个顶点坐标．第10讲直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直【基础知识】一、直线的倾斜角1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向

与直线l向上的方向之间所成的角α

叫做直线l的倾斜角.2.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0°

.因此,直线的倾斜角α的取值

范围为0°≤α<180°

二、直线的方向向量1.直线P1P2上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量

.2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的一个方向向量的坐标为三、直线的斜率1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=

tanα

(α≠90°).2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率.3.过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k=.4.直线的方向向量与斜率的关系(1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1) ,因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量的坐标为(1,k)

.(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=.四、两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在图示  对应关系l1∥l2⇔k1=k2

两直线斜率都不存在⇒l1∥l2

五、两条直线垂直的判定类型斜率都存在有直线斜率不存在图示  对应关系l1⊥l2⇔k1k2=-1

斜率不存在，斜率为0⇒l1⊥l2

【考点剖析】考点一：求直线的倾斜角例1．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．答案:解析：设直线的倾斜角为，因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，因为，因此，.考点二：求直线倾斜角的范围例2．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是(

)．A． B．C． D．答案:B解析：由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选B．考点三：求直线的斜率例3．经过两点,的直线的斜率为(

)A． B． C． D．答案:B解析：经过两点,的直线的斜率为：；故选B.考点四：求直线斜率的范围例4．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是(

)A． B．或 C． D．答案:B解析：如下图示，当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或.故选B考点五：两直线平行问题例5．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.答案:解析：因为直线与直线平行，直线的斜率为，所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为考点六：两直线垂直问题例6．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．答案:5或2解析：因为直线经过点，，且，所以的斜率存在，设斜率为，当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直．当时，，此时直线斜率存在．由，得．解得．综上，的值为或．【真题演练】1.(2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试)直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为(

)A． B． C． D．答案:B解析：，∴.故选B.2.(2023学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末)若倾斜角为的直线过，两点，则实数(

)A． B． C． D．答案:C解析：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选C3.(2023学年江西省南昌市实验中学高二12月月考)经过点、两点的直线的倾斜角为(

)A．90º B．120º C．135º D．150º答案:D解析：因直线过点、，则直线l的斜率，直线l的倾斜角为满足，显然，则有，解得，所以直线的倾斜角为.故选D4.(多选)(2023学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中)在下列四个命题中，错误的有()A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα答案:ABD解析：对于A，倾斜角为的直线斜率不存在，所以A错误对于B，直线的倾斜角的取值范围为，所以B错误对于C，因为且，所以，所以C正确对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，所以D错误，故选ABD5.(多选)(2023学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二上学期期中)已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数(

)．A． B． C． D．答案:BC解析：当时，直线的斜率为，直线不存在斜率，此时满足直线互相垂直；当时，直线的斜率为，直线的斜率为，若两直线垂直，则，解得，满足题意.综上所述：或.故选BC.6.(2023学年上海市控江中学高二下学期期中)设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.答案:1解析：因为直线l经过点､，所以直线l的斜率是7.(2023学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考)若三点，，在同一条直线上，则实数___________.答案:解析：由题意可知，，三点所在的直线的斜率存在，所以，即，解得8.(2023学年河北省石家庄十二中高二上学期期中)已知两点，求：(1)直线的斜率k；(2)已知实数，求直线的倾斜角的范围.解析：(1)当时，直线的斜率不存在，当时，直线的斜率，(2)当时，，当时，，因为，且，所以，且，所以或，即或，所以，综上，直线的倾斜角【过关检测】1.(河北省保定市2022学年高二上学期期末)若直线经过，两点，则直线的倾斜角为(

)A． B． C． D．答案:A解析：斜率，∴倾斜角．故选A．2.以点，，为顶点的三角形是(

)．A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形答案:B解析：由题意，同理，，，，三角形是直角三角形．故选B．3．(2023学年湖北省荆州市八县市高二上学期期末)直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是(

)A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直答案:C解析：设方程的两根为、，则．直线、的斜率，故与相交但不垂直．故选C．4．(2023学年河北省唐山市滦南县第一中学高二上学期10月月考)过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为(

)A． B． C． D．答案:D解析：设，，则，解得：，，，.故选D.5.(2023-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期月考)设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是()A．或 B．C． D．以上都不对答案:A解析：如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，结合图形可知或，故选A6．(多选)下列四个命题中，错误的有(

)A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则