高中数学第3章空间向量与立体几何3-1-3空间向量的数量积运算素养课件新人教A版选修2-1

3.1.3空间向量的数量积运算目标定位重点难点1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法2.掌握两个向量的数量积概念、性质、计算方法及运算规律重点：两个向量的数量积运算难点：两个向量的数量积及简单应用1．空间向量的夹角互相垂直2．空间向量的数量积λ(a·b)|a|·|b|－|a|·|b||a|·|b|1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是(

)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c【答案】B【解析】对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．4．已知空间四边形OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为________．4．已知空间四边形OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为________．【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求下列向量的数量积.【解题探究】根据图形，利用定义并结合运算律计算两个向量的数量积.空间向量的数量积运算

在空间几何体中求空间向量数量积时，首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积，最后代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.【例2】如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．【解题探究】利用向量数量积公式的逆用进行计算．求两直线所成的角【例2】如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．【解题探究】利用向量数量积公式的逆用进行计算．求两直线所成的角2.已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(

)A.30°B.45°C.60°D.90°【例3】如图，已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.利用空间向量的数量积解决垂直问题证明两直线垂直，可转化为证明两直线的方向向量垂直．由a⊥b⇔a·b＝0，转化为向量的数量积的运算．3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD1和DC1相交于点O，连接AO.求证：AO⊥CD1.【例4】

在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|=|ND|，求|MN|.利用数量积求距离或线段长度求两点间的距离或线段的长度时，先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示该向量，再利用|a|=，计算出|a|，即得所求距离.找向量的夹角易出错【示例】如图，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α所成角为30°，AO＝BO＝BC＝a，求AC长．1．利用向量的模求线段的长度，可避免画图，很方便．2．利用向量的数量积求夹角是常见问题，要注意不同角的取值范围．3．重视数学思想方法的运用，可优化解题思维，简化解题过程．(1)方程思想：在解题过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，使得在已知向量及未知向量之间构成函数方程关系，整体处理，简化解题运算量．(2)数形结合思想：根据平面几何知识易于发现各量之间的关系，将位置关系用向量表达．(3)化归转化思想：注意空间向平面的转化．【答案】B

【解析】若l⊥平面α，则c⊥

a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，则c⊥

a，c⊥

b，并不能保证l⊥平面α.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏|a|·|b|－|a