重难点02二次函数综合(原卷版+解析)

重难点02二次函数综合命题趋势命题趋势二次函数是初三学习的重点内容之一，也是中考数学中的热门考点。其主要的考点包括二次函数的概念，解析式的求解，函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程、不等式的应用以及二次函数的实际应用。这些考点在复习的过程当中，其关联性是非常重要的一个部分，不能说某一部分的考点在考试中只是考这个部分。随着这个中考难度的“逐渐下降”，那么更加注重各知识点之间的关联性，所以二次函数的各个考点在实际的解题或者是应用当中，除了针对每一个考点的应用能够熟练使用以外，还要加强各知识点之间的联系。热点解读热点解读二次函数是中考必考题型，常常以压轴题的形式出现。也正是这些二次函数的压轴题，难度之大，让不少考生叫苦连天。加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．满分技巧满分技巧1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）2.二次函数的压轴题主要考向1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）、几何变换等）；2）最值问题（线段、周长、面积）3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略1）线段最值（周长）问题——斜化直策略2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题4）线段差——三角形三边关系或函数5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论6）（特殊）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法限时检测限时检测1．（2023·广东茂名·统考一模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．2．（2023·广东深圳·统考一模）把二次函数先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东肇庆·统考一模）对于抛物线，下列判断正确的是（

）A．顶点B．抛物线向左平移个单位长度后得到C．抛物线与轴的交点是D．当时，随的增大而增大4．（2023·广东广州·统考一模）二次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．5．（2023·广东佛山·统考一模）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．6．（2023·广东深圳·统考一模）二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，则函数y＝ax＋b和y＝的大致图像是（

）A． B．C． D．个交点为，与y轴的交点在和之间．下列结论中：①；②；③（m为任意实数）；④正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·广东中山·统考一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根为和3；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中错误的有（）个A．4 B．3 C．2 D．19．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在矩形中，，，为的中点，连接、，点，点分别是、上的点，且．设的面积为，的长为，则关于的函数图象大致是（

）A． B． C． D．10．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．11．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线的解析式；（3）求的面积最大值．12．（2023·广东茂名·统考一模）如图，直线与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点．（1）求的值和抛物线的解析式．（2）为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点．若以为顶点的四边形是平行四边形，求的值．13．（2023·广东深圳·统考一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

图1

备用图(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；(3)抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．14．（2023·江苏常州·常州市校考模拟预测）如图1，抛物线的图像与x轴交于两点.过点动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒.(1)求抛物线的表达式；(2)过D作交于点E，连接BE，当时，求的面积；(3)如图2，点在抛物线上.当时，连接、、，在抛物线上是否存在点P，使得若存在，直接写出此时直线与x轴的交点Q的坐标，若不存在，请简要说明理由.15．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、（左右），与轴交于点，直线经过点、，．(1)求抛物线的解析式；(2)点在直线上方的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点在点右侧轴上，连接，，，过点作轴交抛物线于点，连接，点在轴负半轴上，连接，若，连接，求直线的解析式16．（2023·山东济南·统考一模）已知抛物线过两点，交轴于点.(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)如图1，若点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点的坐标；(3)如图2，点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线线段于点点，过点作轴，求的最大值.17．（2023·广东佛山·统考一模）如图1，已知二次函数的图象经过，，三点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；(3)如图2，点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求周长的最大值．真题演练1．(2023·江苏无锡）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2023·湖北恩施）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点．(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．3．(2023·山西）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．4．(2023·四川宜宾）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；(3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．重难点02二次函数综合命题趋势命题趋势二次函数是初三学习的重点内容之一，也是中考数学中的热门考点。其主要的考点包括二次函数的概念，解析式的求解，函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程、不等式的应用以及二次函数的实际应用。这些考点在复习的过程当中，其关联性是非常重要的一个部分，不能说某一部分的考点在考试中只是考这个部分。随着这个中考难度的“逐渐下降”，那么更加注重各知识点之间的关联性，所以二次函数的各个考点在实际的解题或者是应用当中，除了针对每一个考点的应用能够熟练使用以外，还要加强各知识点之间的联系。热点解读热点解读二次函数是中考必考题型，常常以压轴题的形式出现。也正是这些二次函数的压轴题，难度之大，让不少考生叫苦连天。加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．满分技巧满分技巧1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）2.二次函数的压轴题主要考向1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）、几何变换等）；2）最值问题（线段、周长、面积）3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略1）线段最值（周长）问题——斜化直策略2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题4）线段差——三角形三边关系或函数5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论6）（特殊）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法限时检测限时检测1．（2023·广东茂名·统考一模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．答案:B分析：根据二次函数的平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，即可求解．【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得，，故选：．2．（2023·广东深圳·统考一模）把二次函数先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（

）A． B． C． D．答案:C分析：将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移可得新抛物线的表达式．【详解】解：，先向右平移2个单位长度得到的函数表达式为：，即，再向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故选：C．3．（2023·广东肇庆·统考一模）对于抛物线，下列判断正确的是（

）A．顶点B．抛物线向左平移个单位长度后得到C．抛物线与轴的交点是D．当时，随的增大而增大答案:C分析：根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．【详解】A、，抛物线的顶点，故错误，不符合题意，B、抛物线向左平移个单位长度后得到，，故错误，不符合题意，C、当时，，抛物线与轴的交点是，故正确，符合题意，D、，开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故错误，不符合题意，故选：C．4．（2023·广东广州·统考一模）二次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．答案:B分析：根据当时，即抛物线经过即可判断．【详解】当时，，∴抛物线经过∴只有B选项符合故选：B．5．（2023·广东佛山·统考一模）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．答案:D分析：根据“销售单价每上涨1元，每天销量减少个”结合“当销售单价定为元时，每天可售出个”；即可表示出与之间的函数关系式，再表示出每天销售纪念品获得的利润等于单件利润乘以销量即可求解．【详解】解：由题可得：，．故选：D．6．（2023·广东深圳·统考一模）二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，则函数y＝ax＋b和y＝的大致图像是（

）A． B．C． D．答案:A分析：先由的开口向下，对称轴是直线x＝1，与轴交于正半轴，判断的符号，再确定的图像分布，从而可得答案．【详解】解：的开口向下，对称轴是直线x＝1，与轴交于正半轴，＜＞＞即的图像过一，二，四象限，且过的图像在一，三象限，选项：的图像过一，二，四象限，且过的图像在一，三象限，符合题意，选项：的图像过一，二，四象限，但不过过的图像在一，三象限，不符合题意，选项：的图像过一，二，三象限，但不过过的图像在一，三象限，不符合题意，选项：的图像过一，二，四象限，过的图像在二，四象限，不符合题意，故选：7．（2023·广东佛山·统考一模）已知抛物线的顶点为，其中，与x轴的一个交点为，与y轴的交点在和之间．下列结论中：①；②；③（m为任意实数）；④正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C分析：抛物线的顶点坐标为，，与x轴有交点，说明抛物线开口向下，则，当时，而抛物线与y轴的交点在和之间，则，所以，故①是错误的；抛物线的顶点坐标为，所以抛物线关于对称轴对称，抛物线上的点也关于对称轴对称，则抛物线与x轴的另一个交点为，将此交点代入解析式，故②正确；当时y取最大值，所以正确；，而，所以，而抛物线与y轴的交点在和之间，，所以，所以正确．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，，抛物线开口向下，则，当时，而抛物线与y轴的交点在和之间，，故①是错误的；抛物线的顶点坐标为，它的对称轴，即，抛物线与x轴的一个交点为，抛物线与x轴的另一个交点为，即时，，，故②是正确的；当时，y取最大值，，，故③是正确的；前面求出抛物线与x轴的另一个交点为，即时，，，，，，又抛物线与y轴的交点在和之间，故④是正确的．综合以上②③④是正确的，故选C．8．（2023·广东中山·统考一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根为和3；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中错误的有（）个A．4 B．3 C．2 D．1答案:B分析：利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对②进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为0可得到，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【详解】解：抛物线与轴有2个交点，，，故①错误；抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为，方程的两个根是，，故②正确；，即，而时，，即，，即，故③错误；抛物线与轴的两点坐标为，，当时，的取值范围是，故④错误；抛物线的对称轴为直线，当时，随增大而增大，当时，随增大而增大，故⑤正确；所以其中结论正确有①③④，共3个．故选：B．9．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在矩形中，，，为的中点，连接、，点，点分别是、上的点，且．设的面积为，的长为，则关于的函数图象大致是（

）A． B． C． D．答案:A分析：证明为等边三角形，再利用，即可求解．【详解】解：，为的中点，则，在中，，，则，同理可得，故为等边三角形，则，，则，在中，过点作于点，则，则，该函数为开口向下的抛物线，时，的最大值为，故选：A．10．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．答案:A分析：作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线，作于E，作于F，交y轴于，抛物线的对称轴为直线，∴，当时，，∴，当时，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当点P在时，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故选：A．11．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线的解析式；（3）求的面积最大值．答案:(1)抛物线的解析式为(2)(3)的面积最大值为分析：（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解；（2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解；（3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值．【详解】（1）解：将，代入，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：令，则，解得，，∴，且，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为．（3）解：如图所示，过点作轴交于，设，则，∴，∴，∴当时，的面积有最大值，最大值为，∴的面积最大值为．12．（2023·广东茂名·统考一模）如图，直线与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点．（1）求的值和抛物线的解析式．（2）为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点．若以为顶点的四边形是平行四边形，求的值．答案:(1)，抛物线的解析式为(2)的值为或分析：（1）利用待定系数法将代入即可得到函数解析式；（2）根据平行四边形的性质即可得到，分两种情况得到的值．【详解】（1）解：把代入，得，∴解得，∴直线的解析式为，∴，把分别代入，解得，∴抛物线的解析式为，（2）解：∵，∴P，N，有两种情况：①当点在点的上方时，，∵四边形为平行四边形，∴，即，解得，②当点在点的下方时，，同理，，解得，综上所述，的值为或．13．（2023·广东深圳·统考一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

图1

备用图(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；(3)抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．答案:(1)(2)点的坐标为或(3)存在，点的坐标为或分析：（1）运用待定系数法，将，代入，即可求得抛物线的解析式；（2）先求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，根据相似三角形的性质用含的式子表示点的坐标，再由点也在直线上，得到关于的方程，解方程即可；（3）分情况讨论：①当点是抛物线上与点对称的点时，②当时，分别求得点的坐标．【详解】（1）解：把，代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：抛物线与轴交于点，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，直线的解析式为，设，过点作轴于点，过点作轴于点，，，，，，即，，，，又点在直线上，，解得或，当时，，即点的坐标为，当时，，即点的坐标为；（3）解：存在点使得，如图，①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，点关于对称轴的对称点坐标为，；②当时，则有，直线的解析式，直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为，把代入，得，解得，直线的解析式为，联立，解得，（舍去），，综上，存在点使得，点的坐标为或．14．（2023·江苏常州·常州市校考模拟预测）如图1，抛物线的图像与x轴交于两点.过点动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒.(1)求抛物线的表达式；(2)过D作交于点E，连接BE，当时，求的面积；(3)如图2，点在抛物线上.当时，连接、、，在抛物线上是否存在点P，使得若存在，直接写出此时直线与x轴的交点Q的坐标，若不存在，请简要说明理由.答案:(1)(2)(3)或分析：（1）用待定系数法即可得出答案；（2）先求出直线的解析式，然后得出，再利用即可得出答案；（3）当在右侧和在左侧两种情况加以分析即可；【详解】（1）解：（1）将，代入得，解得：∴（2）∵，设直线的解析式为：∴，解得：∴直线AC的解析式为：当时，，则当时，当，∴∵∴∴∴（3）当在右侧时，过C作轴于H，如图：∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即平分，∴，∵当时，则∴∴∴此时直线与x轴的交点Q的坐标为②当在左侧时，作Q关于直线的对称点M，作直线交抛物线于P，由对称性知此时，直线与x轴交点Q'是满足条件的点，如图：设，∵，∴∴或∴由，得直线解析式为令得，则，∴∴直线与x轴的交点Q的坐标为或15．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、（左右），与轴交于点，直线经过点、，．(1)求抛物线的解析式；(2)点在直线上方的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点在点右侧轴上，连接，，，过点作轴交抛物线于点，连接，点在轴负半轴上，连接，若，连接，求直线的解析式答案:(1)(2)(3)分析：（1）先求出点A，B，C的坐标，再代入，即可求解；（2）设点，可得，再证得，可得，从而得到，再由，得到关于t的方程，即可求解；（3）根据，证明，设点G的横坐标为m，则，再由，可得，从而得到，进而得到点，过点P作交轴于点T，可得到，过点T作交于点N，交于点M，证明，可得，设，可得，从而得到，进而得到，即可求出直线的解析式．【详解】（1）解：∵直线经过点B、C，当时，，∴，∴，∵，∴．当时，，∴，将点A、B、C分别代入得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵点D在抛物线上，∴设点，∴，∵，，∴，

∴，∵轴，∴，∴，∵，∴，解得(舍去)，，当时，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，设点G的横坐标为m，则，∴，∴，解得，∴，∴，∴，

∵轴，∴点P的横坐标为4，对于，当时，，∴点，过点P作交轴于点T，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，过点T作交于点N，交于点M，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∵，设，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为．16．（2023·山东济南·统考一模）已知抛物线过两点，交轴于点.(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)如图1，若点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点的坐标；(3)如图2，点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线线段于点点，过点作轴，求的最大值.答案】(1)抛物线的表达式为：，对称轴为；(2)点的坐标为；(3)当时，取得最大值，最大值是分析：（1）利用待定系数法即可得到抛物线的函数解析式；（2）利用折叠的性质得到边相等和角相等，再利用正切的定义即可得到正确的结果；（3）根据直线和的解析式，得到的函数解析即可得到最大值．【详解】（1）解：抛物线经过两点，∴

，解得：，∴抛物线的表达式为：，对称轴为

；（2）解：如图1，∵，∴，∵对称轴是，∴，∴由折叠得，在中，，

∴，∴，在中，，∴，，∴点的坐标为，（3）解：如图2，过点作交的延长线于点，过点作于点，∵过点∴直线的表达式为，直线的表达式为，设，∵，轴，∴，∵，∴，∴在中，，又∵，

∴得，∴，∵点在线段上，∴，∴当时，取得最大值，最大值是．17．（2023·广东佛山·统考一模）如图1，已知二次函数的图象经过，，三点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；(3)如图2，点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求周长的最大值．答案:(1)(2)或(3)分析：（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点在轴上方时，则可知当时，满足条件，由对称性可求得点坐标；当点在轴下方时，可证得，利用的解析式可求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式可求得点坐标；（3）首先根据表示出的周长，判断出当最大时，的周长最大，求出直线的解析式，设，，利用二次函数的最值求出的最大值，再分别求出，，可得结果．【详解】（1）解：由题意可得，，解得：，抛物线解析式为；（2）当点在轴上方时，过作交抛物线于点，如图1，、关于对称轴对称，、关于对称轴对称，四边形为等腰梯形，，即点满足条件，；当点在轴下方时，，，，可设直线解析式为，把代入可求得，直线解析式为，可设直线解析式为，把代入可求得，直线解析式为，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，；综上可知满足条件的点的坐标为或；（3）的周长，是定值，当最大时，的周长最大，设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，直线的解析式为，设，，，当时，最大值为2，，，，，，轴，，，，的周长最大值为．真题演练1．(2023·江苏无锡）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．答案:(1)(2)1(3)，，分析：（1）二次函数与y轴交于点，判断，根据，即二次函数对称轴为，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；（2）证明，得到，即，设，点D在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用求出t的值，即可，的值，进一步得出tan∠CDA的值；（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。(1)解：∵二次函数与y轴交于点，∴，即，∵，即二次函数对称轴为，∴，∴，∴二次函数的表达式为．(2)解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，设：，点D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），当时，，∴，，∴，∵在中，∴(3)解：存在，如图，（2）图中关于对称轴对称时，，∵点D的坐标为，∴此时，点C的坐标为，如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即，当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，∵，点C、D关于对称轴对称，∴，∴为等腰直角三角形，∴，设点C的坐标为，∴，，∴解得：，（舍），此时，点C的坐标为，当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，∵，点C、D关于对称轴对称，∴，∴为等腰直角三角形，∴，设点C的坐标为，∴，，∴解得：（舍），，此时，点C的坐标为，综上：点C的坐标为，，．2．(2023·湖北恩施）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点．(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．答案:(1)(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析(3)存在，或，(4)最短距离为，平移后的顶点坐标为分析：（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）分别求得B、C、Q的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；（3）由，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；（4）如图，作且与抛物线只有1个交点，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于，进而求得直线与的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．(1)解：∵抛物线与y轴交于点∴抛物线解析式为(2)以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：的顶点坐标为依题意得，平移后的抛物线解析式为令，解得令，则，即以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形(3)存在，或，理由如下，，，是等腰直角三角形设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，联立解得，，，是等腰直角三角形，设直线的解析式为,直线的解析式为当时，设的解析式为，由NT过点则解得的解析式为，令解得，②当时，则即解得综上所述，或(4)如图，作，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于直线的解析式为设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为则整理得：则解得直线的解析式为，即拋物线平移的最短距离为，方向为方向∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标平移后的顶点坐标为，即3．(2023·山西）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．答案:(1)，点C的坐标为；(2)(3)存在；m的值为4或解析：分析：（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待