高中数学第二章平面向量2-3-1平面向量基本定理课件新人教A版必修4

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理必备知识·自主学习导思(1)如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任意向量a能否用e1,e2表示?根据是什么?(2)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么?当非零向量a与b共线时,它们的夹角是多少?1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_______向量,那么对于这一平面内的_____向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________.(2)基底:_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线任意λ1e1+λ2e2不共线【思考】定理中的“不共线”能否去掉?提示:不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能做基底.2.向量的夹角定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(如图所示).(1)范围:向量a与b的夹角的范围是_______________.(2)当_______时,a与b同向;当_________时,a与b反向.(3)如果a与b的夹角是_____,我们说a与b垂直,记作a⊥b.0°≤θ≤180°θ=0°θ=180°90°【思考】(1)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点,它们存在夹角吗?提示:存在.(2)求两向量夹角的解题步骤是怎样的?提示:一作二证三算.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为该平面内所有向量的基底. (

)(2)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d. (

)(3)基底向量可以是零向量. (

)提示:(1)×.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.(2)×.当e1与e2共线时,结论不一定成立.(3)×.基底向量是不共线的,一定是非零向量.提示:(1)×.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.(2)×.当e1与e2共线时,结论不一定成立.(3)×.基底向量是不共线的,一定是非零向量.2.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,=c,=b,若点D满足以b与c作为基底,则=(

)

【解析】选C.因为所以3.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 (

)A.60° B.120° C.30° D.150°【解析】选A.平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,

则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.关键能力·合作学习类型一平面向量基本定理的理解(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.(2020·济南高一检测)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是 (

)①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;②对于平面α内任意向量a,使a=λe1+μe2成立的实数对(λ,μ)有无穷多个;关键能力·合作学习类型一平面向量基本定理的理解(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.(2020·济南高一检测)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是 (

)①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;②对于平面α内任意向量a,使a=λe1+μe2成立的实数对(λ,μ)有无穷多个;③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则④若存在实数λ,μ,使得λe1+μe2=0则λ=μ=0.A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:

其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 (

)

A.①② B.①③ C.①④ D.③④3.设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.【解析】1.选B.由平面向量的基本定理可知,①④是正确的.对于②,由平面向量的基本定理可知,若平面的基底确定,那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于③,当λ1=λ2=0或μ1=μ2=0时,结论不成立.2.选B.①不共线;②则共线;③不共线;④则共线.由平面内向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成一组基底,故①③满足题意.3.假设存在唯一实数λ,使c=λd,则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.由a,b不共线得,所以这样的λ是不存在的,从而c,d不共线,所以c,d能作为基底.【解题策略】对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理告诉我们,在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0.(2)对于固定的e1,e2(向量e1与e2不共线)而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.【补偿训练】已知平面向量e1,e2是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y=________.

【解析】因为平面向量e1,e2是一组基底,所以向量e1,e2不共线,所以解得x-y=3.答案:3类型二向量的夹角(直观想象、数学运算)【题组训练】1.已知则的夹角为________.

2.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为________.

3.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点.求:(1)与夹角的大小.(2)与夹角的大小.【解析】1.由已知得,显然可见共线,且是反向共线,故的夹角为180°.答案:180°2.由向量运算的几何意义知a+b,a-b是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线.如图,因为|a|=|b|=|a-b|,所以∠BOA=60°.又因为=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以a与a+b的夹角是30°.答案:30°3.(1)如图所示,在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,所以AB2+BC2=()2+1=22=AC2,所以△ABC为直角三角形.因为tanA=,所以A=30°.又因为D为AC的中点,所以∠ABD=∠A=30°,=.在△ABD中,∠BDA=180°-∠A-∠ABD=180°-30°-30°=120°,所以与的夹角为120°.(2)因为=,所以与的夹角也为120°.【解题策略】求两向量的夹角,若无图形,需作出图形,明确要求的角;当两向量起点不同时,可采用平移或作延长线的方法使两个向量的起点相同,找到向量的夹角,再结合平面几何知识求解.【补偿训练】1.在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则的夹角是 (

)

A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选C.如图,作向量则∠BAD是的夹角,在△ABC中,因为∠C=90°,BC=AB,所以∠ABC=60°,所以∠BAD=120°.2.在等边△ABC中,向量与向量的夹角为________,E为BC中点,则向量与的夹角为________.

【解析】因为△ABC为等边三角形,所以∠ABC=60°.如图所示延长边AB至点D,使AB=BD,所以=.所以∠DBC为向量与的夹角,且∠DBC=120°.因为E为BC中点,所以AE⊥BC.所以与的夹角为90°.答案:120°

90°3.已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角又是多少?【解析】如图所示,作且∠AOB=60°.以为邻边作平行四边形OACB,则=a+b,=a-b.因为|a|=|b|=2,所以平行四边形OACB是菱形,又∠AOB=60°,所以的夹角为30°,

的夹角为60°.即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°.类型三用基底表示向量(直观想象、数学运算)角度1线性运算法

【典例】若D点在三角形ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为

(

)

【思路导引】利用三角形或平行四边形法则.【解析】选C.如图,因为=4=r+s,所以所以r=,s=-,所以3r+s=.【变式探究】已知在△ABC中,P是BN上的一点.若则实数m的值为 (

)【解析】选C.设则

所以解得

角度2向量方程组法

【典例】已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a和b表示c.【思路导引】利用向量方程组法,设c=xa+yb,用待定系数法求出x,y.【解析】因为a,b不共线,所以可设c=xa+yb,则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因为e1,e2不共线,所以解得所以c=a-2b.【解题策略】平面向量基本定理的作用及注意点(1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量.【题组训练】1.(2020·焦作高一检测)设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为 (

)A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4【解析】选D.因为向量e1与e2不共线,所以解得

2.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为以a,b为基向量的线性组合,即e1+e2=________.

【解析】设e1+e2=ma+nb(m,n∈R),因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.因为e1与e2不共线,所以所以所以e1+e2=答案:

3.在平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N为BC的中点,设

(1)以b,d为基底表示.(2)以m,n为基底表示.【解析】如图所示【拓展延伸】平面向量基本定理的推广定理平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一.【拓展训练】如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用a,b表示= (

)【解析】选D.易知设则由平行四边形法则可得由于E,G,F三点共线,则2λ+2λ=1,即λ=,从而从而【补偿训练】如图,在△AOB中,=a,=b,设=2,=3,而OM与BN相交于点P,试用a,b表示向量.【解析】

因为共线,令则又设1.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 (

)

A.e1,e1+e2 B.e1-2e2,e2-2e1C.e1-2e2,4e2-2e1 D.2e1+e2,e1+e2

【解析】选C.因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),从而e1-2e2与4e2-2e1共线,故C选项符合题意.课堂检测·素养达标2.(教材二次开发:复习参考题改编)如图,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则= (

)A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1)【解析】选A.3.(2020·济宁高一检测)如图,M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点,若则=________.

【解析】由题意知,所以答案:

4.在等腰Rt△ABC中,AB⊥AC,则的夹角是________.

【解析】作线段AB的延长线AD,则∠DBC是的夹角,∠DBC=180°-∠ABC=180°-45°=135°.答案:135°Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingin