高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念必备知识·自主学习1.向量的定义与表示(1)定义:既有_____又有_____的量叫做向量.导思(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等,这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别?(2)如何形象、直观地表示既有大小,又有方向的量?(3)“若a∥b,且b∥c,则a∥c”这个说法对吗?大小方向(2)表示方法:①几何表示法:用以A为起点,以B为终点作的有向线段____表示.②字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母…(3)向量的模:向量的大小叫做向量的_____或___,如a,的模分别记作____,______.长度模|a|||【思考】(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性?只描述其中一个方面可以吗?提示:向量不仅有大小,而且有方向.大小是代数特征,方向是几何特征.看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素,二者缺一不可.(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量?提示:要准确画出向量,应先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.2.特殊向量(1)零向量:___________的向量叫做零向量,记作0.(2)单位向量:____________________的向量叫做单位向量.(3)相等向量:_________且_________的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b.(4)平行向量或共线向量:方向___________的非零向量叫做平行向量,也叫做共线向量.向量a平行于b,记作a∥b.规定_______平行于任何向量.长度等于零长度(或模)为1个单位长度相等相同或相反零向量方向相同【思考】(1)0与0相同吗?0是不是没有方向?提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.(2)若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系?提示:若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?提示:向量平行与几何中的平行不同,向量平行包括基线重合的情况,故也称向量共线.(2)若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系?提示:若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?提示:向量平行与几何中的平行不同,向量平行包括基线重合的情况,故也称向量共线.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同. (

)(2)任意两个单位向量都相等. (

)(3)平行向量的方向相同或相反. (

)(4)若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点. (

)提示:(1)×.两个有共同起点,且长度相等的向量,方向不一定相同,其终点也不一定相同.(2)×.任意两个单位向量只有长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.(3)√.由平行向量的定义可知.(4)×.若,则A,B,C,D也可能落在同一条直线上.2.下列物理量:①位移;②力;③加速度;④路程;⑤密度.其中不是向量的有 (

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.①②③既有大小,又有方向,是向量;④⑤只有大小,没有方向,不是向量.3.(教材二次开发:习题改编)如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则选项中与相等的向量是 (

)

【解析】选D.由题图知,与相等的向量是:关键能力·合作学习类型一向量的概念、零向量、单位向量(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.以下选项中,都是向量的是 (

)

A.正弦线、海拔 B.质量、摩擦力C.三角形的边长、体积 D.余弦线、速度关键能力·合作学习类型一向量的概念、零向量、单位向量(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.以下选项中,都是向量的是 (

)

A.正弦线、海拔 B.质量、摩擦力C.三角形的边长、体积 D.余弦线、速度2.下列说法中正确的是 (

)A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小3.给出下列说法:①零向量是没有方向的;②零向量的方向是任意的;③单位向量的模都相等,其中正确的是________(填上序号).

【解析】1.选D.三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向,是向量;海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向,不是向量.2.选D.不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.3.由零向量的方向是任意的,知①错误,②正确;由单位向量的模是1,知③正确.答案:②③【解题策略】1.判断一个量是否为向量的两个关键条件关键看它是否具备向量的两要素:(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.2.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:两个单位向量的长度相等,但这两个单位向量不一定相等.【补偿训练】下列说法正确的是 (

)A.有向线段与表示同一向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与任意向量共线D.对任意向量a,是一个单位向量【解析】选C.向量与方向相反,不是同一向量,A错误;有公共终点的向量的方向不一定相同或相反,B错误;当a=0时,无意义,D错误;零向量与任何向量都是共线向量,C正确.类型二相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.已知点O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,表示出各向量,如图所示.(1)与相等的向量有________,与相等的向量有________.

(2)与共线的向量有________.

(3)与的模相等的向量有________.

2.(2020·包头高一检测)下列说法正确的是 (

)A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线C.向量与是共线向量,则A,B,C,D四点一定共线D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量【解析】1.(1)根据相等向量的定义可知=,=.(2)根据共线向量的定义可知,与共线的向量为(3)易知答案:(1)

(2)(3)2.选D.当b=0时,A不对;如图,a=,c=,b与a,b与c均不共线,但a与c共线,所以B错.

在▱ABCD中,与共线,但A,B,C,D四点不共线,所以C错;若a与b有一个为零向量,则a与b一定共线,所以a,b不共线时,一定有a与b都是非零向量.【解题策略】(1)寻找相等向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向且共线的.(2)寻找共线向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.(3)共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.【补偿训练】1.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O,EF是过点O且平行于AB的线段,在所标的向量中:(1)写出与共线的向量.(2)写出与方向相同的向量.(3)写出与,的模相等的向量.(4)写出与相等的向量.【解析】等腰梯形ABCD中,AB∥CD∥EF,AD=BC.(1)题图中与共线的向量有(2)题图中与方向相同的向量有(3)题图中与的模相等的向量为,与的模相等的向量为.(4)题图中与相等的向量为.2.四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量,则与平行且长度为的向量个数有________个.

【解析】如图所示,满足与平行且长度为的向量有

,共8个,

答案:8类型三向量的表示与应用(数学运算、逻辑推理)

角度1几何应用

【典例】如图的方格由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成,方格纸中有定点A,点C为小正方形的顶点,且||=,画出所有的向量.【思路导引】起点为A,只需确定模与方向即可.【解析】画出所有的向量,如图:【变式探究】如图所示,在四边形ABCD中,N,M分别是AD,BC上的点,且.求证:【证明】因为所以||=||,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.所以||=||,且DA∥CB.又因为与的方向相同,所以=.同理可证四边形CNAM是平行四边形,所以=.因为||=||,||=||,所以||=||,DN∥MB,即与的模相等且方向相同,所以=.角度2实际应用

某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了10米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作出向量(2)求的模.【思路导引】可先选定向量的起点及方向,并根据其长度作出相关向量.可把放在直角三角形中求得||.【解析】(1)作出向量,如图所示:(2)由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.可知△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米),所以||=5.【解题策略】(1)用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.(2)利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但需说明两向量所在的基线无公共点.用平行向量可证明(判断)直线平行,但证明直线平行时,除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点.【题组训练】1.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:(1),使||=4,点A在点O北偏东45°.(2),使||=4,点B在点A正东.(3),使||=6,点C在点B北偏东30°.【解析】(1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示.(2)由于点B在点A正东方向处,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示.(3)由于点C在点B北偏东30°处,且||=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示.2.四边形ABCD中,=,且||=||,tanD=,则四边形ABCD的形状为________.

【解析】因为在四边形ABCD中,=,所以AB

DC,所以四边形ABCD是平行四边形.因为tanD=,所以∠B=∠D=60°.又||=||,所以△ABC是等边三角形,所以||=||,所以四边形ABCD是菱形.

答案:菱形【补偿训练】如图所示,平行四边形ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合}.试求集合T中元素的个数.【解析】由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个.1.下列说法正确的是 (

)A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量D.共线向量是在同一条直线上的向量【解析】选B.对A,由于0与任意向量平行,所以A错误;对B,零向量的长度是0,正确;对C,长度相等的向量方向不一定相同,故C错误;对D,共线向量不一定在同一条直线上,故D错误.课堂检测·素养达标2.下列命题中,正确的是 (

)

A.|a|=|b|⇒a=b B.|a|>|b|⇒a>bC.a=b⇒a∥b D.|a|=0⇒a=0【解析】选C.两个向量模相等,方向不一定相同,向量不一定相等,A错;向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,B错;向量相等,方向相同,一定是共线向量,C正确;若|a|=0⇒a=0,故D错.3.设M是等边△ABC的中心,则是 (

)A.有相同起点的向量 B.相等的向量C.模相等的向量 D.平行向量【解析】选C.由正三角形的性质知,|MA|=|MB|=|MC|.所以4.(教材二次开发:习题改编)已知如图的方格纸(每个方格的单位长度为1).

(1)画出,使||=3,点A在点O的正西方向.||=3,点B在点O北偏西45°方向.(2)求出||的值.【解析】(1)依题意,结合向量的表示可知,所画向量如图所示.

(2)由图知,△AOB是等腰直角三角形,所以5.如图,是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以跳到A2处,用向量表示.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.【解析】如图,马在B处只有3步可走,马在C处有8步可走,人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏5.如图,是中国象棋的半个棋盘,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以跳到A