第10讲 代数式的值-人教版新七年级《数学》暑假自学提升讲义（解析版）

第第页第10讲代数式的值（2个知识点+5个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.了解代数式的值的概念,会在给定条件下求代数式的值2.会用代数式解决简单的实际问题3.体会事物的特殊性与一般性可以相互转化的辩证关系知识点1：代数式的值一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值。代数式的值是按代数式的运算关系得到的具体数值,随字母取值的不同而不同.一旦字母的取值确定那么该代数式的值也就随之确定知识点2：求代数式的值由代数式的值的概念可知,求代数式的值有两个步骤:第一步:用数值代替代数式里的字母，简称代人”第二步:按照代数式指定的运算关系计算出结果简称“计算”考点1：求代数值的值【例1】．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知有理数n、m满足，则（

）A． B．1 C． D．2023【答案】A【分析】此题主要考查了非负数的性质，代数式求值．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据，可以求得m、n的值，从而代入计算．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故选：A．【变式1-1】．（23-24七年级上·天津宁河·期中）若，则的值是（

）A．0 B． C． D．5【答案】D【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：D．【变式1-2】（22-23七年级上·江西宜春·期中）已知，则的值等于．【答案】9【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，代入代数式计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故答案为：9．【变式1-3】．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值．【答案】14或2【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的定义，绝对值的意义，求解代数式的值，熟练掌握相反数的性质，倒数的定义，绝对值的意义是解题的关键．根据题意相反数的性质，倒数的定义，绝对值的意义，得出，，，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵a、b互为相反数，∴，

∵c、d互为倒数，∴，∵，∴，当时，原式；当时，原式．考点2：运用整理思想求代数值的值【例2】．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）若多项式的值是4，则多项式的值是（）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【分析】此题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．直接已知变形进而代入原式求出答案即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：C．【变式2-1】．（23-24七年级上·甘肃天水·阶段练习）已知，则代数式的值为（

）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可．【详解】解：∵，∴．故选B．【变式2-2】．（23-24七年级上·广东清远·期中）若代数式的值是5，则代数式的值是．【答案】【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，根据式子的特点正确变形是解答本题的关键，代数式的值是5，可得，把代数式变形为，再把代入计算即可．【详解】解：∵的值是5，∴，∴，∴故答案为：．【变式2-3】．（23-24七年级上·湖北随州·期末）若，则．【答案】【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，先求出，再根据进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．考点3：列代数式解决简单的实际问题【例3】．（24-25七年级上·全国·假期作业）学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示；当，，则元．【答案】买个足球和个篮球一共的价钱【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，求代数式的值，根据单价数量总价，确定，分别表示的意义，再根据加法的意义，得出这个代数式表示的含义，把的值代入代数式，求出结果即可，熟练掌握知识点额应用是解题的关键．【详解】表示买个足球的价钱；表示买个篮球的价钱；故答案为：买个足球和个篮球一共的价钱，当，时，，，，故答案为：．【变式3-1】．（23-24七年级上·吉林·期末）某市有两家出租车公司，收费标准不同，甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费；乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．若车辆行驶千米，本题中取正整数，不足的路程按计费，根据上述内容，完成以下问题：(1)当时，求甲、乙两家出租车公司的收费分别是多少元（用含的式子表示）；(2)当行驶路程为时，通过计算说明哪家出租车公司的费用更便宜？便宜多少元？【答案】(1)甲、乙两家出租车公司的收费分别是元和元(2)甲公司，元【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确列出代数式是解题的关键：（1）根据题意分别列出时，甲乙出租车公司的收费，再化简即可；（2）当时，甲公司收费（元），得出乙公司收费20元，得出甲公司费用更便宜，进而可求出答案．【详解】（1）解：时，甲出租车公司收费（元）；乙出租车公司收费（元）．答：甲、乙两家出租车公司的收费分别是元和元．（2）当时，甲公司收费（元）；，乙公司收费20元，，甲公司费用更便宜，（元）．答：甲公司费用更便宜，便宜元．【变式3-2】．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）某超市将每个进价为10元的文具袋以每个16元的销售价售出，平均每月能售出250个．市场调研表明：当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个．若设每个文具袋的销售价下降元．(1)试用含的式子填空：①降价后，每个文具袋的利润为___________元（利润销售价进价）；②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为___________个；(2)如果（1）中的，请计算该超市该月销售这种文具袋的利润是多少元（总利润单个利润销售数量）？【答案】(1)①②(2)980元【分析】本题考查列代数式及代数式求值，解题的关键是读懂题意，用含m的式子表示出每个利润和销售量．（1）①降价后，每个文具袋的利润为元；②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为个；（2）当时，求出的值可得答案．【详解】（1）解：①降价后，每个文具袋的利润为元；故答案为：；②∵当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个．若设每个文具袋的销售价下降元．∴降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为个；故答案为：；（2）解：当时，（元），∴该超市该月销售这种文具袋的利润是980元．【变式3-3】．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）某校餐厅计划购买一批餐桌和餐椅．现从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元．某商店开展促销活动，可以向顾客提供两种优惠方案：方案一：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；方案二：所有餐桌、餐椅均按报价的付款．现某班级要购买餐桌20张，餐椅x把（x超过20）．(1)若学校计划方案一购买，需付款元；若该班级按方案二购买，需付款元（用含有x式子表示）．(2)当时，哪种方案更划算？请通过计算说明理由．(3)若两种方案可以同时使用，当时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算该方案所需要付款的金额？【答案】(1)；(2)方案一购买合算，理由见解析(3)用方案一购买20张桌子和20张椅子，再用方案二购买20张椅子；4900元【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题的关键在于能够准确理解题意，列出相应的式子求解．（1）根据购买费用购买数量x购买单价分别表示出购买餐桌的费用和购买餐椅的费用；（2）求出时的值，比较可得；（3）结合（2）中的计算，可分别用方案一和方案二结合购买，最省钱．【详解】（1）设该校需购买x把餐椅，由题意得：方案一：元；方案二：元；（2）方案一购买合算，理由如下：当时，方案一的费用为（元），方案二的费用为（元），∵，∴方案一购买合算；（3）方案：用方案一购买20张桌子和20张椅子，再用方案二购买20张椅子，则（元），即用方案一购买20张桌子和20张椅子，再用方案二购买20张椅子．考点4：求代数式的值在图形中的应用【例4】．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如图，将边长为的正方形沿虚线剪去边长为的小正方形．

(1)求阴影部分图形的周长和面积（用含有、的式子表示）；(2)当，时，求阴影部分图形的面积．【答案】(1)，；(2)96【分析】本题考查列代数式，代数式求值：（1）利用周长公式和分割法求面积，列出代数式即可；（2）将，，代入（1）中的代数式，进行求解即可．【详解】（1）解：根据正方形的边长相等，可知，阴影部分的周长等于原大正方形的周长，即为：；阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即：；（2）把，，代入，得：．【变式4-1】．（22-23七年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图，在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为r米，广场的长为a米，宽为b米．(1)请列式表示广场空地的面积；(2)若休闲广场的长为400米，宽为200米，圆形花坛的半径为20米，求广场空地的面积（计算结果保留）．【答案】(1)（平方米）(2)（平方米）【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，关键是得到四个角的花坛的面积正好为一个圆的面积．（1）空地的面积长方形的面积个半径为r的圆的面积；（2）把相应数值代入（1）中式子求值即可．【详解】（1）广场空地的面积为：（平方米）．（2）当，，时，（平方米）．【变式4-2】．（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）某学校办公楼前有一块长为，宽为的长方形空地，在中心位置留出一个半径为的圆形区域建一个喷泉，两边是两块长方形的休息区，阴影部分为绿地．(1)用含字母和的式子表示阴影部分的面积；(2)当时，阴影部分面积是多少（取3）？【答案】(1)阴影部分的面积为；(2)阴影部分面积为13【分析】本题考查了列代数式，代数式的求值．（1）利用阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积以及圆的面积即可求解；（2）代入数据，即可求解．【详解】（1）解：∵长方形空地的长为，宽为，∴长方形空地的面积是，∵圆的半径为，∴圆的面积是，∵长方形休息区的长为，宽为，∴两块长方形的休息区的面积是，∴阴影部分的面积；（2）解：当时，阴影部分面积．【变式4-3】．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）某工厂生产了一种T型零件，该零件由两个长方形组成，其尺寸如图所示．(1)用含的式子表示T型零件的周长；(2)用含的式子表示T型零件的面积；(3)当时，求T型零件的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了列代数式，求代数的值，确定各边长度是解题的关键．（1）先确定各边长度，然后求和即可；（2）分别求两个长方形的面积，两个长方形面积相加即可；（3）将代入（2）中的代数式即可求解．【详解】（1）解：由图可知：示T型零件的周长为：；（2）两个长方形面积分别为：，，两个长方形面积之和：；故T型零件的面积为：；（3）将代入可得：．【变式4-4】．（23-24七年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆．

(1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积S．(2)请求出当，，时，S的取值（取）．【答案】(1)(2)【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，结合图形列出代数式是解题关键．（1）根据即可得到阴影部分的面积，熟练掌握把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键；（2）把字母的值代入（1）中的代数式即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，；（2）当时，．考点5：运用程序图求代数式的值【例5】．（23-24七年级上·甘肃天水·阶段练习）按如图所示的计算机程序，若开始输入，则第2023次输出的结果是（

）A．8 B．5 C．14 D．1【答案】A【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，正确归纳类推出一般规律是解题的关键．由开始输入，得第1次输出结果是8，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是14，第4次输出的结果是8，的输出的结果以8,5,14为一次循环，由2023÷3=674……1，即可得第2023次输出的结果是8．【详解】解：由开始输入，得第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为5，第3次输出的结果为14，第4次输出的结果为8，输出的结果以8,5,14为一次循环，由2023÷3=674……1，得第2023次输出的结果是8．故选：A．【变式5-1】．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】本题主要考查代数式求值，根据数值转换机的要求需要两次输入才行．根据数值转换机列代数式，再代入计算即可求解．【详解】解：由题意得当时，，故继续输入，当时，，故输出的值为8．故选：D．【变式5-2】．（22-23七年级上·江西宜春·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2023次得到的结果为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查的是求代数式的值，规律探究，熟练掌握相关方法，发现输出结果的数字变化规律是解题的关键．将代入，然后依据程序进行计算，依据计算结果得到其中的规律，然后依据规律求解即可．【详解】解：当时，第一次输出结果；第二次输出结果；第三次输出结果；第四次输出结果，由上可知，计算结果按2，1，4三个数依次循环，．所以第20次得到的结果为2．故选：B．【变式5-3】．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）小静同学按如图所示的程序输入一个正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值有．【答案】或或或【分析】本题考查了代数式求值，掌握运算法则是解本题的关键．根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的正数求出．【详解】解：依题意有，解得：；依题意有，解得：；依题意有解得：，依题意有；解得：；依题意有，解得：（不是整数，不合题意）；依题意有，解得：（不合题意）；故满足条件的的值为：或或或．故答案为：或或或．一、单选题1．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）若的值是3，则的值是（）A．7 B． C．5 D．【答案】A【分析】此题考查了代数式求值，灵活应用整体代入的思想是解本题的关键．将所求式子后两项提取2变形后，将已知的等式代入计算，即可求出值．【详解】解：∵，∴．故选：A．2．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）若，则等于（）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】本题考查了代数式求值、偶次方的非负性、绝对值的非负性、解一元一次方程，熟练掌握偶次方的非负性和绝对值的非负性是解题关键．先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性求出x，y的值，再代入计算即可得．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故选：A．3．（23-24七年级上·广东广州·期中）若的相反数是2，，且，则的值是（

）A．3 B．3或 C．或 D．【答案】D【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值的意义，以及相反数的定义，解题的关键是确定x、y的值．根据题意，结合，求出x、y的值，然后求出答案．【详解】解：∵的相反数是2，∴．∵，∴．∵，∴，．∴．故选：D．4．（23-24七年级上·云南·阶段练习）如，我们叫集合M，其中1、2、x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，）（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则则的值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了新定义下的探究性题目，正确理解新定义的含义是解题关键．根据集合元素的互异性可知，，，进而得出，从而得出两种情况讨论，分别求解再代入求值即可．【详解】解：，由互异性可知，，，，，，，，即，或，当时，解得：；当时，无解．所以当时，，，此时，符合题意．，故选：B．5．（23-24七年级上·湖北随州·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则的值是（

）．A．0 B． C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了方程的应用、代数式求值等知识点，正确列出代数式成为解题的关键．先根据幻方的定义可得，然后变形即可解答．【详解】解：如图：根据题意可得：，变形可得：．故选B．二、填空题6．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知，则代数式的值为．【答案】【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法进行求解即可．【详解】解：∵，∴；故答案为：．7．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）若a，b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，则的值是【答案】0【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数，相反数和最大负整数的定义，根据乘积为1的两个数互为相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，最大的负整数为负1得到，据此代值计算即可．【详解】解：∵a，b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，∴，∴，故答案为：0．8．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，，且，则的值为．【答案】或/或【分析】本题主要考查绝对值的性质和有理数的加法，先判断出a和b的值，再代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，或，又∵，∴，或，，∴或故答案为：或．9．（24-25七年级上·全国·假期作业）数轴上10个点所表示的数分别为．，，…，，当i为奇数时，，当i为偶数时，，那么．【答案】6【分析】本题考查的是新定义运算的含义，能被2整除的自然数是偶数，不能被2整除的自然数是奇数。当时，是奇数，则，当，是偶数，则，…将几个式子加起来观察即可.【详解】解：当时，，时，，时，，时，，∴；即；故答案为：10．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的值为．【答案】5【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．根据非负数的性质求出，，代入代数式求值即可．【详解】解：，，，解得，，，故答案为：5．11．（23-24七年级上·湖北随州·期中）当时，代数式的值为1，则当时，的值为．【答案】9【分析】本题主要考查了求代数式的值．将代入求得关于，的代数式的值，再利用整体代入的方法解答即可．【详解】解：当时，代数式的值为1，．，当时，．故答案为：9．12．（22-23七年级上·江西宜春·期中）若，则代数式的值为．【答案】5【分析】本题考查了代数式求值和整体思想．由题意得：，再将整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：5．13．（24-25七年级上·全国·假期作业）如果，，那么．【答案】34【分析】本题考查了代数式求值，先算出，再进行计算即可．【详解】解：，，，故答案为：34．14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若，则代数式的值是．【答案】【分析】本题考查了代数式求值，先将转化为，再将转化为，然后将代入计算即可得出答案．【详解】解：．故答案为：．15．（23-24七年级上·广东深圳·期中）若a，b互为倒数，c，d互为相反数，那么．【答案】3【分析】本题考查了相反数与倒数的定义以及代数式求值，正确理解相反数与倒数的定义是解题的关键．只有符号不同的两个数是互为相反数；若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据相反数的定义和倒数的定义，即得，，再代入代数式计算，即得答案．【详解】a，b互为倒数，c，d互为相反数，．故答案为：3．三、解答题16．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，求的值．【答案】5【分析】本题考查非负数的性质．根据非负数的性质，可得，，求出a、b的值，据此即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴．17．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）已知：a、b互为相反数、且都不为零，c，d互为倒数，且．(1)求m的值；(2)求：的值．【答案】(1)(2)或【分析】此题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值，掌握整体代入及分类讨论思想是解题的关键．（1）根据绝对值的性质求解即可；（2）根据相反数、倒数的定义得，，分和两种情况，代入求值即可．【详解】（1）∵∴；（2）∵a、b互为相反数、且都不为零，c，d互为倒数，∴，，∴当时，；当时，；综上所述，的值为或．18．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）若．计算：(1)，，的值；(2)的值．【答案】(1)，，；(2)4【分析】本题主要考查了非负数的性质．（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出、、的值；（2）将（1）中求出的、、的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可．【详解】（1）解：由题意，得，解得．即，，；（2）解：当，，时，．19．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）托运行李的费用计算方法是：托运行李总重量不超过30千克，每千克收费2元；超过30千克，超过部分每千克收费元．某旅客托运行李a千克（a为正整数）(1)请用代数式表示托运a千克行李的费用；(2)当时，求托运行李的费用．【答案】(1)当时，托运行李的费用为元；当时，托运行李的费用为元(2)当时，托运行李的费用为元【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值：（1）根据题意分当时，当时，两种情况讨论求解即可；（2）根据（1）所求把代入中计算求解即可得到答案．【详解】（1）解：当时，托运行李的费用为元；当时，托运行李的费用为元；（2）解：当时，元，答：托运行李的费用为元．20．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）川维中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔．笔记本的单价是元，签字笔的单价是2元．商店决定在“双十一”开展促销活动，提供了2种促销方案．方案一：买一本笔记本送一支签字笔方案二：笔记本和签字笔都按定价的付款说明：两种方案可以同时选择．现在一个学生要到该商店购买本笔记本，签字笔x支()(1)